Типовые примеры и методы их решения 1 страница

Пример 2.1.1.Сумма 20 тыс. руб. инвестируется под л центную ставку 25% годовых: а) на 6 лет; б) на 9 лет. Найд наращенные суммы при условии ежегодного начисления ных и простых процентов.

Решение,а) Полагая п = 6, Р = 20 тыс. руб., r = 0,25 „ при на­ращении сложными процентами по формуле (55) получим:

■ F₆ = 20(1 + 0,25)⁶ - 20 * 3,8147 = 76,294 тыс. руб.

Множитель наращения в формуле (55) всегда можно вычис­лить непосредственно по формуле, однако при решении этого примера можно воспользоваться и таблицей 1 значений этого множителя из приложения З¹. В данном случае на пересечении строки, соответствующей числу периодов n = 6, и столбца для r = 25% находим, что значение множителя наращения составля­ет: FM(25%,6) = 3,8147².

Если бы наращение осуществлялось простыми процентами, то по формуле (9):

F = 20(1 + 6 * 0,25) = 50 тыс. руб.

б) Поскольку в этом случае п = 9, то при наращении слож­ными и простыми процентами соответственно получим:

F₉ = 20(1 + 0.25)⁹ = 20 * 7,4506 = 149,012 тыс. руб.,

F= 20(l + 9 0.25) = 65 тыс. руб.

В обоих случаях наращение сложными процентами достав­ляет большую по величине сумму, чем наращение простыми процентами. С увеличением числа периодов начисления разница между этими наращенными суммами все больше растет. Заме­тим, однако, что если бы проценты начислялись за время, мень­шее года, то наращение простыми процентами доставило бы ббльшую сумму, чем сложными.

Пример 2.1.2.Рассчитайте наращенную сумму с исходной суммы в 1 млн руб. при размещении ее в банке на условиях на­числения простых и сложных процентов, если годовая процент­ная ставка равна 30%, периоды наращения различны: 30 дней, 90 дней, 180 дней, 1 год, 3 года, 10 лет, 20 лет, 50 лет. Полагать год равным 360 дней, Обсудите полученные результаты.

Решение. Применяя при Р = 1 и r= 0,3 для простых проц тов формулу (9), а для сложных - формулу (55), получим ел дующие результаты, представленные для наглядности в табли ном виде:

(млн руб.)

Схема начисления	30 дней (n=1/12)	90 дней (n=1/4)	180 дней	1 год (n=1)	3 года (n=3)	10 лет (и=10)	20 лет (n=10)	50 лет (n=10}
Простые проценты	1,025	1,075	1,15	1,3	1,9
Сложные проценты	1,0221	1,0678	1,1402		2,1970	13,7858	109,0496	497929,2230

Таким образом, если денежные средства размещены в банке на срок менее одного года, то более выгодна схема простых про­центов. Так, в частности, при сроке в 180 дней наращенная сумма составит: при использовании схемы простых процентов -1,15млн руб.; при использовании схемы сложных процентов -1,1402 млн руб., т.е. получили разницу между суммами в 9,8 тыс. руб. Если срок размещения денежных средств превышает один год, ситуация меняется диаметрально - более выгодна схема сложных процентов, причем наращение в этом случае идет очень быстрыми темпами. Так, при ставке в 30% годовых при исполь­зовании схемы простых процентов за 3 года еще не происходит удвоение исходной суммы, а при использовании схемы сложных процентов за 3 года исходная сумма увеличивается почти в 2,2 раза. Еще большую разницу между наращенными суммами мы видим через 10 лет и тем более через 20 и 50 лет.

Пример 2.1.3.В банке получена ссуда в размере 40 тыс. руб. на 8 лет на следующих условиях: для первых трех лет процент­ная ставка равна 28% годовых, на следующий год устанавлива­ется маржа в размере 1%, и на последующие годы маро равна 1,5%. Найдите сумму, которая должна быть возвращена банку по окончании срока ссуды при ежегодных начислениях процентов.

Решение.Поскольку имеем дело с ставкой, то, полагая в формуле (56) P = 40, m=3, п₁ = 3, n₂=1, n₃ = 4 , i = 0,28, i₂ = 0,29, i₃ = 0,305, лолуяий:

тыс. руб.

Такая же величина наращенной суммы получается, если в течение 8 лет ежегодно начисляются сложные проценты по про-

центной ставке -1 = 0,2937, т.е. = 29,37% годовых. С целью проверки найдем наращенную сумму:

40(1 + 0,2937)⁸ =313,855 тыс. руб.,

т.е. с точностью до единиц рублей получили величину . Если взять более точное значение , например = 29,3697%, то ре­зультат проверки составит 313,850 тыс. руб.

Пример 2.1.4.Предприниматель получил в банке ссуду в размере 50 тыс. руб. на 39 месяцев под процентную ставку 27% годовых на условиях ежегодного начисления процентов. Какую сумму предприниматель должен будет вернуть банку по истече­нии срока при использовании схемы сложных процентов и при использовании смешанной схемы? Возможны ли другие методы начисления процентов?

Решение.При использовании схемы сложных процентов воспользуемся формулой (55). Так как период начисления равен одному году, то п =3.25 (как правило, при измерении срока в месяцах считают, что месяц равен года, т.е. 3 месяца состав­ляют 0,25 года). Далее Р = 50 тыс. руб., r = 0.27, следовательно:

=108,726 тыс. руб.

Если использовать смешанную схему, то при w = 3 , f = 0,25 по формуле (57) получим:

=50(1 + 0.27)³(1+0.25*0.27) = 109332тыс.руб,

т.е. итоговая сумма больше, чем при начислении только сложпроцёнтами.

В случае нецелого числа лет кроме схемы сложных процентов и смешанной схемы (формулы (55) и (57)) возможны и дру-эды начисления процентов.

ю использовать схему сложных процентов для целого ^лст.взяв это число с избытком, и затем полученную сумму учесть *на 100" из простых процентов за лишнее время, до-бавленнос для достижения целого числа лет. Таким образом, если n = w+f (0<f<1), то добавляем время 1-f и получаем

целое число лет w + 1 Наращенная сумма находится по форму­ле:

Если же сумму P(l +r)^w+1 учесть простыми процентами "со 100" за лишнее время, то наращенная сумма определяется фор­мулой:

Можно использовать схему сложных процентов для целого числа лет в затем полученную сумму нарастить простыми про­центами "во 100" за дробную часть года, т.е. применить фор­мулу:

Если обозначить наращенные суммы, найденные по схеме сложных процентов и по смешанной схеме соответственно через и , то справедлива следующая цепочка неравенств:

Поскольку согласно условию примера w+1 = 3 +1=4 1-f =1-0,25 = 0,75 , то, применяя последовательно три послед ние формулы, получим:

тыс.руб,

тыс.руб.;

тыс.руб,

Очевидно, полученные значения наращенных сумм удовле­творяют приведенным выше неравенствам.

Пример 2.1.5. Клиент помещает в банк 40 тыс. руб. на 33 месяца под процентную ставку 26% годовых на условиях едино­временного возврата основной суммы долга и начисленных сложных процентов. Проанализируйте, какую сумму предстоит вернуть банку при различных вариантах и схемах начисления процентов: а) полугодовое; б) квартальное.

Решение, а) В случае полугодового начисления процентов продолжительность общего действия контракта не равна целому числу периодов начисления (т.е. не равна целому числу полуго­дий, поскольку 33 месяца (2,75 года) не делятся нацело на 6). Поэтому нужно воспользоваться формулами (58) и (59), когда параметры формул имеют следующие значения: Р = 40, п = 2,75, т = 2, = 5 (количество целых полугодий в 33 месяцах), = 0,5 (поскольку 3 месяца от 6 месяцев составляют полови­ну или же можно формально найти таким образом = mn- =2.*2,75-5 = 5,5-5 = 0,5), r⁽²⁾=0.2б.

• При реализации схемы сложных процентов:

= 78341 тыс. руб.

При реализации смешанной схемы:

тыс. руб

Отметим, что в математике целую часть числа а принято обозначать через [а]. Используя это обозначение, величину определяем таким образом: =[ т * n] = [2 * 2,75] = [5,5] = 5.

б) В случае квартального начисления процентов т = 4, r ⁴ = 0,26, = [4 * 2,75] = [1] = 11, = 0, т.е. срок помещения ка­питала равен целому числу кварталов. Поэтому формулы (58) и (59) дают один и тот же результат:

= 79,966 тыс. руб.

Естественно, в этом случае мы фактически пользуемся форму­лой (55), в которой n=11, r = 0,26/4 = 0,065. В связи с этим заметим, что, используя обозначение множителя наращения в формуле (55): FM 1(r, n) = (1 + r) , формулу (58) можно записать в виде:

Следовательно, в ряде случаев значения множителя

можно найти по таблице значений множителя FM1(r,n), полагая

в качестве r и п соответственно и тп (конечно, если таблица достаточно подробна и позволяет сделать это).

Пример 2.1.6.Предлагается оформить вклад под следующие процентные ставки: 110% годовых или 22% за квартал, причем в обоих случаях используется смешанная схема начисления про­центов. Какой вариант выгоднее, если срок хранения вклада со­ставляет: а) 9 месяцев; б) один год? До какого срока выгоднее иметь 110% годовых, а когда выгоднее ежеквартальное начис­ление по 22%? финансовый год принять равным 360 дней (ме­сяц - 30 дней).

Решение,а) Обозначим величину вклада через Р. Вначале рассмотрим вариант 110% годовых. Так как срок хранения (9 месяцев) меньше периода начисления (1 год), то согласно смешанной схеме начисляются простые проценты и можно вос­пользоваться, например, формулой (9), где r = 1,1, п = = 0,75 :

Если начисляются проценты из расчета 22% за квартал, то, поскольку 9 месяцев равны трем периодам начисления, исполь­зуем формулу (55), где r = 0,22, n = 3 :

Так как , то первый вариант выгоднее.

б) Когда срок хранения вклада равен одному году, рассуж­дая, как и в предыдущем случае, получим соответственно по первому (110%) и второму (22%) вариантам:

т.е. выгоднее второй вариант.

Выясним, начиная с какого момента выгоднее начисление 22% за квартал. Из только что изложенного решения следует, что этот "пограничный" срок хранения больше 9 месяцев, но меньше года, т.е. искомый срок равен n = 0,75+f года, где 0<f<0,25,

Для первого варианта по формуле (9) получим:

F = Р{1 + (0,75 + f) 1,1) = 1,825Р + 1,1Р.

Для второго варианта можно применить формулу (57), где г = 0,22, w = 3, и , используя уже введенное обозначение / из ис­комого срока хранения, в качестве / из формулы (57) надо взять 4/ (так как квартал в 4 раза меньше года). В результате получим:

F = Р(\ + 0,22)³ (1 + 4/ ■ 0,22) = ]$16Р + 1,598,/Р.

Приравнивая найденные наращенные суммы и сокращая обе части равенства на Р, получим уравнение с одним неизвестным / :

решая которое находим / = 0,018 года, или 6,48 дня, т.е. при­близительно 7 дней.

Прибавляя к 9 месяцам (270 дней) 7 дней, получим величину искомого срока - 277 дней.

Таким образом, в условиях примера до 277 дней выгоднее иметь 110% годовых, а после становится выгоднее начисление по 22% за квартал.

Пример 2.1.7.Некоторая сумма инвестируется под процент­ную ставку 30% годовых. Определите время, необходимое для увеличения первоначальной суммы: а) в 4 раза; б) в 2 раза при начислении в конце года сложных и простых процентов.

Решение, а) Если начисляются сложные проценты, то можно воспользоваться формулой (60), где F_n=4P_t т = 1,

n= = 5,284 года.

При начислении простых процентов найдем в общем виде время, необходимое для увеличения первоначальной суммы в к раз (кстати, формула (60) получается аналогично). Так как мно­житель наращения равен к, то для простых процентов из равенкства

1 + пт = к получаем: n = . Полагая k = 4, r = 03, получим:

n= = 10 лет.

Таким образом, для увеличения первоначальной суммы в 4 раза при начислении сложных процентов требуется времени го­раздо меньше (почти в 1,9 раза), чем при начислении простых процентов.

б) Для случая простых процентов находим:

= 3,333 года,

т.е. необходимый срок удвоения первоначальной суммы при начислении простых процентов равен обратной величине про­центной ставки, используемой при наращении.

Для случая сложных процентов формула (60) согласно уело-вию задачи примет вид (так как F_n=2P, m =1, =r):

Таким образом,

= 2,642 года.

В практических расчетах для наглядной и быстрой оценки эффективности предлагаемой ставки наращения при реализации схемы сложных процентов пользуются приблизительным расче­том времени, необходимого для удвоения инвестированной суммы, известным как "правило 72-х". Это правило заключается в следующем: если r - процентная ставка, выраженная в про­центах, то n = 72/r представляет собой число периодов, за кото­рое исходная сумма приблизительно удвоится. Это правило хо­рошо срабатывает для небольших значений r. Так, если годовая ставка r = 12%, то применение "правила 72-х" дает значение п = 6 годам (а по формуле (60) получим п = 6,116 года). Если же годовая ставка r = 30% (как в примере), то по правилу n = 2,4

года (а по формуле (60) получили п = 2,642 года). Следует также обратить внимание на то обстоятельство, что, хотя в большин­стве финансовых расчетов процентная ставка берется в десятич­ных дробях, в формуле алгоритма "правила 72-х" ставка взята в процентах.

Существуют и другие правила, с помощью которых быстро рассчитывают срок удвоения первоначального капитала для кон­кретной ставки. В литературе можно встретить "правило 70":

п= и аналогичное "правило 71". Отметим также "правило 69 ": n = + 035, в соответствии с которым для ставки r = 30% полу­чим п = + 035 = 2,65 года, т.е. достаточно близкое к полученно­му по точной формуле значению п = 2,642 года.

Пример 2.1.8.Вкладчик хотел бы за 7 лет утроить сумму, помещаемую в банк на депозит. Какова должна быть годовая номинальная процентная ставка при начислении сложных про­центов: а) каждые полгода; б), каждый месяц?

Решение, а) Так как п = 7, =3P, m = 2 , то по формуле (61):

т.е. номинальная процентная ставка должна быть не менее 16,33% годовых.

б) В этом случае m = 12 и поэтому:

Естественно, эта ставка меньше, чем поскольку при од­ной и той же исходной сумме сложные проценты начисляются в 6 раз чаще. Аналогичное неравенство справедливо и в общем случае, а именно: пусть и эквивалентные номиналь­ные годовые процентные ставки и m > i тогда <

Пример 2,1.9.Предприниматель может получить ссуду: а) на условиях ежемесячного начисления сложных процентов из расчета 32% годовых; б) на условиях ежеквартального начисле-ния сложных процентов из расчета 34% годовых. Какой вариант более предпочтителен для предпринимателя?

Решение.Относительные расходы предпринимателя по об­служиванию ссуды могут быть определены с помощью расчета по формуле (63) эффективной годовой процентной ставки - чем она выше, тем выше уровень расходов.

а) Полагая для этого варианта т = 12 , = 0,32 , получим:

б) Поскольку здесь m =4, = 0,34, то:

= 0,3859.

Таким образом, первый вариант является более предпочти­тельным для предпринимателя. Необходимо отметить, что при­нятие решения не зависит от величины кредита, поскольку кри­терием является относительный показатель - эффективная став­ка, а она, как следует из формулы (63), зависит лишь от номи­нальной ставки и количества начислений.

Пример 2.1.10.Определите номинальную процентную став­ку, если эффективная годовая процентная ставка равна 40% и сложные проценты начисляются: а) каждые полгода; б) ежеме­сячно; в) ежедневно.

Решение.Полагаем = 0,4 и пользуемся формулой (62).

а) Так как m = 2, то

r⁽²⁾ = 2[(1 + 0,4) -1]= 0,3664, или 36,64% .

б) Поскольку в этом случае m = 12 , то

r⁽¹²⁾ =12[(1 +0,4) -1] = 0,3412,или 34,12%.

в) Считая в году 360 дней, при m = 360 получим:

= 36О[(1 + О,4) -1]=0,3366,или 33,66%.

Если взять в году 365 дней, то, оставляя после запятой 4 зна­ка, получим тот же результат: r⁽³⁶⁵⁾ = 33,66%, так как при еже­дневном начислении различие между номинальными ставками можно обнаружить при высокой точности вычислений (в дан­ном случае r⁽³⁶⁰⁾ =0,3366295, r⁽³⁶⁵⁾ =03366273).

Заметим, что найденные номинальные ставки r⁽²⁾, r⁽¹²⁾ и эквивалентны, так как они найдены с помощью одной и той же эффективной ставки. Таким образом, ежегодное начис­ление сложных процентов по ставке 40% годовых дает тот же результат, что и начисление сложных процентов каждые полго­да по ставке 36,64%, или ежемесячно по ставке 34,12%, или ежедневно по ставке 33,66%. Отметим, что r⁽²⁾ >r⁽¹²⁾ >r^(36О), т.е. величина номинальной процентной ставки убывает, когда количество начислений сложных процентов в году увеличи­вается.

Пример 2.1.11.В долг на 28 месяцев предоставлена сумма в 50 тыс. руб. с условием возврата 85 тыс. руб. Найдите эффек­тивную ставку в этой финансовой сделке.

Решение. Выражая 28 месяцев в годах, получим 7/3 года. Подставляя в формулу (64) Р = 50 тыс. руб., F_n =85 тыс. руб., п = , находим:

или 25,53%

Проверим полученный ответ. Пусть в банк помещен вклад в размере 50 тыс. руб. на 7/3 года под процентную ставку 25,53% годовых и начисляются сложные проценты. Тогда наращенная сумма будет равна:

F_7/3 =5O(1 + O,2553) 84,9926 85 тыс.руб.

Пример 2.1.12.Из какого капитала можно получить 45 тыс. руб. через 6 лет наращением сложными процентами по про­центной ставке 36%, если наращение осуществлять: а) ежегод­но; б) ежеквартально?

Решение.Полагаем n = 6, F₆ = 45 тыс. руб.

а) При ежегодном наращении пользуемся формулой (65) при r = 036:

P= =7,112 тыс. руб.

б) При ежеквартальном наращении пользуемся формулой (66) при m=4 и r^(m)=036:

P= = 5,688 тыс. руб.

Если использовать обозначение множителя дисконтирова­ния FM2(r,n), формулу (66) можно записать в виде:

Поэтому в ряде случаев значения множителя можно найти по таблице 2 значений множителя FM2(r,n) из приложения 3, полагая в качестве r и n соответственно

и тп (конечно, если таблица достаточно подробна и позволяет сделать это). В частности, для случая б) имеем = 9%

и число периодов тп = 4 *6 = 24. Воспользовавшись таблицей 2 приложения 3, получим: Р = 45*0,1264 = 5,688 тыс. руб.

Пример 2.1.13.Оцените, что лучше: получить 16 тыс. руб. через 2 года или 50 тыс, руб. - через 6 лет, если можно поместить деньги на депозит под сложную процентную ставку 35% годовых?

Решение.Можно доказать, что для случая сложных процен­тов и постоянной процентной ставки справедливо утверждение: если одна сумма больше другой в некоторый момент времени, то это неравенство справедливо и для любого момента времени. Поэтому будущие поступления, являющиеся разновременными суммами, для случая сложных процентов можно оценивать с

позиции произвольно выбранного момента времени. Напомним, что в ситуации простых процентов эти утверждения не всегда имеют место.

Так как с позиции текущего момента (формула (65)):

= 8,780 тыс. руб.,

= 8,260 тыс. руб.,

то выгоднее получить 16 тыс. руб. через 2 года.

Конечно, можно было проводить все сравнения с позиции будущего: через 6 лет. Тогда определяем наращенную сумму за 4 года капитала в размере 16 тыс. руб.:

F₄ =16(1 + 0,35) = 53,144тыс. руб. и, сравнивая с 50 тыс. руб., приходим к тому же выводу (кстати, выполнив меньшее количество вычислений).

Пример 2.1.14.Определите современную ценность 20 тыс. руб., если: а) эта сумма будет получена через 4 года 9 месяцев; б) эта сумма была получена 2 года 6 месяцев назад; в) эта сумма получена в настоящий момент времени. Учесть возможность помещения денег на депозит под сложную процентную ставку 30% годовых.

Решение, а) Для того чтобы оценить современную ценность суммы денег, необходимо осуществить приведение этой суммы на настоящий момент времени, учитывая возможность инвести­рования денег под сложную процентную ставку 30%, т.е. необ­ходимо определить приведенную стоимость 20 тыс. руб. В дан­ном случае современная ценность 20 тыс. руб. равна такой сум­ме, которая при начислении сложных процентов по ставке 30% станет равной 20 тыс. руб. через 4 года 9 месяцев. Полагая в формуле (65)

n = 4,75 , F_{4 =}75 = 20 тыс. руб., r = 0,3, получим:

= 5,752 тыс. руб.

б) В этом случае современная ценность 20 тыс. руб. равна такой сумме, которая получится при наращении сложных про­центов на 20 тыс. руб. в течение 2 лет 6 месяцев по ставке 30%. Воспользовавшись формулой (55) при n = 2,5, Р = 20, r = 0,3,

получим:

=38,538 тыс.руб.

в) Поскольку в этой ситуации 20 тыс. руб. получены в на­стоящий момент времени, то их современная ценность составля­ет 20 тыс. руб.

Пример 2.1.15.Господин N поместил в банк 40 тыс. руб. на условиях начисления каждые полгода сложных процентов по годовой номинальной процентной ставке 34%. Через полтора года господин N снял со счета 18 тыс. руб., а через 3 года после этого закрыл счет. Определите сумму, полученную господином N при закрытии счета.

Решение.Обозначим через х величину суммы, полученной при закрытии счета. Для наглядности изобразим ситуацию, опи­санную в задаче, на оси времени, причем одно деление оси вре­мени будет соответствовать одному периоду начисления про­центов, т.е. одному полугодию. Сумму, помещенную в банк, изобразим над осью времени, а все изъятия - под осью: