Типовые примеры и методы их решения

Пример 1.1.1.Предприниматель получил на полтора года кредит в размере 40 тыс. руб. с условием возврата 50 тыс. руб. Определите процентную ставку, учетную ставку и дисконт-фактор за полтора года. Чему равен индекс роста суммы кредита?

Решение.Полагая в формуле (1) (см. приложение 1) t = 1,5 го­да, PV = 40 тыс. руб., FV = 50 тыс. руб., получим величину про­центной ставки за полтора года:

, или, что равносильно, = 25% .

Аналогичным образом учетную ставку и дисконт-фактор на­ходим соответственно по формулам (2),(4):

или d_1,5 = 20%;

или v_1,5 = 80%.

Заметим, что величины d_1,5, v_1,5 можно было найти, исполь­зуя и другие соотношения. Например,

;

.

Индекс роста B_1,5 суммы кредита показывает, во сколько раз возвращаемая сумма больше выданной:

.

Пример 1.1.2.Известно, что капитал, помещенный в банк, вырос за первый год в 1,4 раза, а за второй год вся сумма увели­чилась в 1,2 раза. Определите индекс роста вклада и процент­ную ставку за два года. На сколько процентов увеличился капи­тал за все время?

Решение.Индекс роста капитала В₂ за два года находим пе­ремножением индексов роста за каждый год:

.

Следовательно, двухгодовая процентная ставка, показываю­щая, на сколько процентов увеличится капитал, составит:

.

Таким образом, капитал за два года увеличится на 68%.

Пример 1.1.3.Имеется два варианта вложения капитала на 3 года. Согласно первому варианту исходный капитал за первый год увеличится на 15%, за второй год вся сумма увеличится на 35%, а за третий год - еще на 10%. Для второго варианта рост капитала составит каждый год 20% от суммы предыдущего года.

Какой вариант лучше?

Решение.Поскольку для первого варианта индексы роста капитала за каждый год равны 1,15; 1,35 и 1,1, то индекс роста за 3 года составит:

.

Подобным образом находим индекс роста капитала за 3 года для второго варианта:

.

Так как согласно первому варианту за 3 года капитал увели­чится на 70,8%, а согласно второму варианту - на 72,8%, то вто­рой вариант вложения капитала лучше.

Заметим, что 70,8% и 72,8% представляют собой процент­ные ставки за 3 года.

Пример 1.1.4.Определите доходность в виде процентной ставки за предоставление потребительского кредита на следую­щих условиях: 45% стоимости покупок оплачивается сразу, а через год вносится оставшаяся часть стоимости покупок и 10% от стоимости покупок в качестве платы за кредит.

Решение.Воспользуемся формулой (1). Обозначим через Р стоимость покупок. Поскольку 45% стоимости покупок оплачи­вается сразу, то на один год кредит предоставляется в размере PV = 0,55P. Величина дохода за предоставленный кредит соста­вит FV - PV = 0,1Р. Поэтому

или =18,18%.

Пример 1.1.5.Найдите с 90 тыс. руб.: а) 15% "со 100"; б) 15% "на 100"; в) 15% "во 100".

Решение.Выражая 15% в десятичных дробях (т.е. получая 0,15), пользуемся последовательно формулами (6), (7), (8) при r = 0,15 и Q = S = К = 90 тыс. руб.:

a) тыс. руб.;

б) тыс. руб.;

в) тыс. руб.

Получили, что по отношению к одному числу проценты "на 100" меньше процентов "со 100", которые в свою очередь меньше процентов "во 100".

Для проверки найденных процентов "на 100" надо из данно­го числа (90 тыс. руб.) вычесть полученные проценты "на 100" (11,739 тыс. руб.), определив тем самым так называемое началь­ное число. Затем от начального числа найти проценты "со 100", которые должны совпадать с найденными согласно условию за­дачи процентами "на 100". Выполним эти действия:

90 -11,739 = 78,261 тыс. руб.;

тыс. руб.

Для проверки найденных процентов "во 100" надо к данно­му числу (90 тыс. руб.) прибавить полученные проценты "во 100" (15,882 тыс. руб.) и затем от найденной суммы (т.е. на­чального числа 105,882 тыс. руб.) найти проценты "со 100":

90 + 15,882 = 105,882 тыс. руб.;

тыс. руб.

Пример 1.1.6.Предприниматель реализовал партию товара за 80 тыс. руб., получив при этом 25% прибыли. Определите ве­личину прибыли и себестоимость товара.

Решение.Поскольку 80 тыс. руб. представляют собой сумму себестоимости товара и процентов "со 100" этой себестоимости (прибыли), то величина прибыли определяется по формуле (7) вычисления процентов "на 100". Полагая S= 80 тыс. руб., r = 0,25 , находим:

тыс. руб.

Следовательно, себестоимость товара составляет 80 - 16 = 64 тыс. руб.

Пример 1.1.7.Предприниматель реализовал партию товара за 57 тыс. руб., получив при этом 5% убытка. Определите вели­чину убытка и себестоимость товара.

Решение.Поскольку 57 тыс. руб. представляют собой раз­ность себестоимости товара и процентов "со 100" этой себе­стоимости (убытка), то величина убытка определяется по фор­муле (8) вычисления процентов "во 100" при К = 57 тыс. руб. и r = 0,05:

тыс. руб.

Следовательно, себестоимость товара составляет 57 + 3 = = 60 тыс. руб.

Из разобранных двух последних примеров видно, что при применении формул вычисления процентов "на 100" или "во 100" (формулы (7) и (8)) вначале нужно определить, с каким капиталом (согласно условию задачи) имеем дело - с наращен­ным или уменьшенным, после чего решение задачи не пред­ставляет трудностей. Задачи

1.1.1. Предприятие получило кредит на один год в размере 100 тыс. руб. с условием возврата 160 тыс. руб. Рассчитайте процентную и учетную ставки.

1.1.2. Предприятие за взятый кредит через год должно вер­нуть 400 тыс. руб. Определите величину кредита, если учетная ставка равна 25%. Чему равен дисконт-фактор?

1.1.3. Кредит в размере 40 тыс. руб. выдан на два года с ус­ловием возврата 45 тыс. руб. Определите двухгодовые процент­ную и учетную ставки и дисконт-фактор.

1.1.4. Вклад 5 тыс. руб. положен в банк на 3 месяца с усло­вием, что доход от финансовой сделки составит 800 руб. Опре­делите квартальные процентную и учетную ставки и дисконт-фактор. Чему равен индекс роста вклада за квартал?

1.1.5. Определите доходность в виде процентной ставки за предоставление потребительского кредита на следующих усло­виях: 35% стоимости покупок оплачивается сразу, а через год вносится оставшаяся часть стоимости покупок и 20% от стоимо­сти покупок в качестве платы за кредит.

1.1.6. Доходы от трех финансовых операций, проведенных в течение одного и того же срока, составили соответственно 10, 8 и 20 тыс. руб. Сравните между собой нормы прибыли этих опе­раций, если в них было вложено 50, 20 и 100 тыс. руб. Чему бу­дут равны учетная ставка и дисконт-фактор в каждой финансо­вой операции?

1.1.7. Предполагается инвестировать три проекта в размере соответственно 40, 20 и 80 тыс. руб. Ожидается, что в зависимо­сти от ситуации доходности этих инвестиций за два года могут колебаться в следующих границах: для первой - от 15 до 30%, для второй - от 35 до 50%, для третьей - от 10 до 15%. Опреде­лите, какой минимальный и какой максимальный доход можно получить за два года.

1.1.8. В результате инвестирования первоначальный капитал за первый год вырос в 1,4 раза, за второй год общий капитал вы­рос в 1,6 раза и за третий год вся сумма увеличилась в 1,3 раза. Чему равен индекс роста суммы? Определите, на сколько про­центов увеличилась первоначальная сумма за 3 года.

■ -ч

1.1.9. Имеется два варианта вложения капитала на 2 года. Согласно первому варианту исходный капитал за первый год увеличится на 50%, а за второй год вся сумма увеличится на 10%. Для второго варианта рост капитала составит каждый год 30% от суммы предыдущего года. Какой вариант лучше?

1.1.10. Клиент банка получил от помещения денег на депо­зит на год 900 руб. Какая сумма была помещена на депозит, ес­ли индекс роста ее за это время составил 1,4?

1.1.11. Индексы роста вклада за четыре квартала, следующие друг за другом, составили 1,15; 1,1; 1,12 и 1,05. На сколько про­центов за это время увеличился вклад? Определите учетную ставку и дисконт-фактор: а) за полгода; б) за год.

1.1.12. Партия товара была куплена предпринимателем за 200 тыс. руб., а продана за 325 тыс. руб. Сколько процентов прибыли получил предприниматель?

1.1.13. Товарооборот магазина в июне составил 940 тыс. руб., а,в июле - 890 тыс. руб. На сколько процентов уменьшился товарооборот в июле?

1.1.14. За продажу дачного участка комиссионер получил 8 тыс. руб., что составило 5% с продажной цены. Определите, за какую сумму был продан дачный участок.

1.1.15. Предприниматель, купив первую и вторую партии то­вара соответственно за 36 тыс. руб. и 42 тыс. руб., продал их со­ответственно за 48 тыс. руб. и за 58 тыс. руб. При продаже какой партии был получен больший процент прибыли?

1.1.16. Найдите: а) 3% "на 100" с 412 руб.; б) 5% "на 100" с 735 руб.; в) 10% "на 100" с 2300 руб.; г) 25% "на 100" с 42 тыс. руб.; д) 50% "на 100" с 9 тыс. руб.

1.1.17. Найдите: а) 3% "во 100" с 1261 руб.; б) 5% "во 100" с 760 руб.; в) 10% "во 100" с 1150 руб.; г) 25% "во 100" с 23 тыс. руб.; д) 50% "во 100" с 8 тыс. руб.

1.1.18. Найдите с 1500 руб. и 12 тыс. руб.: а) 25% "со 100"; б) 25% "на 100"; в) 25% "во 100".

1.1.19. Предприятие реализовало партию товара за 230 тыс. руб., получив при этом 30% прибыли. Определите величину прибыли и себестоимость товара.

1.1.20. Предприятие реализовало партию товара за 45 тыс. руб., получив при этом 8% убытка. Определите величину убыт­ка и себестоимость товара.

1.1.21. Из-за порчи было списано 10% товара. Определите, сколько товара было списано, если его осталось 963 кг.

1.1.22. Общий заработок рабочего, включая премию в размере 10% от месячного оклада, составил 1980 руб. Найдите величину премии и величину оклада.

1.1.23. Предприниматель за 1 кг некоторого товара хочет получить 12 руб. 60 коп. Какую цену ему следует назначить, чтобы, сделав 3%-ную скидку, получить 12 руб. 60 коп. за 1 кг?

Простая процентная ставка

Основные положения

• Схема простых процентов предполагает неизменность ве­личины, с которой происходит начисление.

• При наращении с использованием простой процентной ставки приращение капитала пропорционально сроку ссуды и процентной ставке, т.е. доход инвестора растет линейно вместе со сроком.

• Точные проценты определяются исходя из точного числа дней в году (365 или 366), а обыкновенные - из приближенного числа дней в году (360).

• При точном подсчете числа дней срока ссуды определяется фактическое количество дней между двумя датами (цатой выда­чи и датой возврата ссуды). При приближенном подсчете опре­деляют точное число полных месяцев в сроке и добавляют чис­ло оставшихся дней. Длительность каждого полного месяца по­лагается равной 30 дням. При точном и при приближенном под­счете числа дней срока ссуды день ее выдачи и возврата счита­ют за один день.

• Используются следующие способы расчета простых про­центов: а) обыкновенные проценты с приближенным числом дней, обозначаемые как 360/360; б) обыкновенные проценты с точным числом дней, обозначаемые как 365/360 или ЛСГ/360; в) точный процент с точным числом дней, обозначаемый как 365/365 или ACT/ACT.

• В финансовой практике при расчете процента используют и такие величины, как дивизор и процентное число. Дивизор - это отношение принятого числа дней в году к процентной ставке. Численно дивизор равен такому количеству рублей, с которого при данной процентной ставке получается 1 руб. дохода в день. Процентным числом называется произведение величины капитала на время, в течение которого происходит наращение на капитал простых процентов (иногда это произведение еще делят на 100).

• Финансовое соглашение может не только предусматривать постоянную процентную ставку на весь период, но и устанавли­вать изменяющуюся во времени (переменную) ставку.

• При применении простых процентов доходы по мере их начисления целесообразно снимать для потребления или ис­пользования в других инвестиционных проектах или текущей деятельности.

• Для сравнения доходности финансовых операций с различ­ными сроками используют показатели, учитывающие временной период, в течение которого получен доход. Одним из показате­лей является эквивалентное значение простой годовой процент­ной ставки. При этом считается, что если в результате инвести­рования некоторой суммы получен доход, то такой же доход можно получить в результате размещения той же суммы по соот­ветствующей эквивалентной простой годовой процентной ставке.

• Реинвестированием называется вложение доходов в неко­торый проект производственного или финансового характера с намерением получить на них в дальнейшем дополнительный доход.

• Математическое дисконтирование является процессом, об­ратным к наращению первоначального капитала. При математи­ческом дисконтировании решается задача нахождения такой величины капитала (называемой приведенной стоимостью), ко­торая через заданное время при наращении простыми процента­ми по данной процентной ставке будет равна сумме, ожидаемой к получению (уплате) через это заданное время.

• При математическом дисконтировании в качестве ставки дисконтирования используется процентная ставка.

• Понятие приведенной стоимости является одним из важ­нейших в количественном анализе финансовых операций.

Вопросы для обсуждения

1. Как происходит начисление простых процентов на капитал в течение всего срока?

2. Что показывает множитель наращения в формуле нараще­ния простыми процентами? Как он связан с индексом роста первоначальной суммы?

3. Если вклад в банке увеличился на 300%, то во сколько раз увеличился вклад?

4. Верно ли, что наращение по простой процентной ставке происходит процентами "со 100"!

5. Какова зависимость наращенной суммы от времени при на­числении простых процентов по процентной ставке на ин­вестируемый капитал? Каков вид ее графика?

6. Как связаны между собой наращение по простой процент­ной ставке и арифметическая прогрессия?

7. За какой период происходит удвоение первоначальной сум­мы в результате наращения по простой процентной ставке?

8. Изменится ли величина наращенной суммы за несколько лет, если начисление простых процентов по данной процентной ставке будет осуществляться не каждый год, а чаще, напри­мер каждый месяц?

9. В каких случаях применяют наращение по простой про­центной ставке?

10. Если простую процентную ставку увеличить в два раза, то во сколько раз увеличится величина начисленных процен­тов по сравнению с ситуацией, когда использовалась ис­ходная процентная ставка?

11. Если простую процентную ставку увеличить в два раза, то на сколько процентов увеличится наращенная сумма по сравнению с ситуацией, когда использовалась исходная процентная ставка?

12. Чем отличаются точные проценты от обыкновенных?

13. Какие существуют способы подсчета числа дней срока ин­вестирования?

14. Чем можно пользоваться для упрощения процедуры расчета точного числа дней ссуды?

15. Может ли подсчет точного числа дней ссуды и приближен­ного числа дней ссуды давать один и тот же результат?

16. Какие способы расчета простых процентов используются на практике? Какие из них выгоднее для кредитора, а какие -для должника?

17. Как можно пояснить, что на практике не используется спо­соб начисления точных процентов с приближенным числом дней?

18. Что представляет собой способ начисления процентов 365/360? Чем он отличается от способа 360/360?

19. Что называется дивизором? Дайте ему экономическую ин­терпретацию.

20. Какая величина называется процентным числом? Приведи­те пример ее применения в банковских расчетах.

21. Какая ставка называется переменной? В каких случаях она применяется?

22. Чем объяснить, что доходность финансовой операции часто определяется в расчете на год?

23. Каким образом можно сравнить доходности финансовых операций с различными сроками?

24. Взимание комиссионных при выдаче ссуды увеличивает или уменьшает доходность сделки для кредитора?

25. Каким образом можно определить стоимость привлеченных денежных средств для заемщика?

26. Какая финансовая операция называется реинвестированием?

27. В чем заключается основное преимущество операции реинве­стирования при начислении простых процентов?

28. Как связано математическое дисконтирование с процессом наращения?

29. Какая ставка используется в качестве ставки дисконтирова­ния при математическом дисконтировании?

30. Что называется приведенной стоимостью?

31. Существует ли связь между дисконтным множителем и множителем наращения?

32. Как определяется дисконт при дисконтировании? Можете ли вы привести иные понятия, также называемые дисконтом?

33. Поясните фразу: «При математическом дисконтировании в условиях простых процентов ожидаемый в будущем к полу­чению капитал учитывается процентами "на 100"».