Типовые примеры н методы их решения

Пример 2.6.1.Платеж 10 тыс, руб. и со сроком уплаты через 4 года требуется заменить платежом со сроком уплаты через: а) 2 года; б) 9 лет. Определите величину нового платежа, если применяется сложная процентная ставка 30% годовых.

Решение,а) Поскольку применяется сложная процентная став­ка, то в формуле (112) а = 1 + r и сама формула принимает вид:

Полагая =10 тыс. руб., =4, = 2,r =03 , получим:

= 5,917 тыс. руб.

б) Так как в этом случае = 9, то

Р_о =10(1 + 03)^9-4 =10(1 + 0,3)⁵ =37,129 тыс. руб.

Как и следовало ожидать, с увеличением срока растет и ве­личина нового платежа.

Естественно, решать этот пример можно было, и не исполь­зуя формулу замены платежей. Так, задание первого пункта можно было сформулировать таким образом: определите сумму, которую необходимо поместить в банк под сложную процент­ную ставку 30% годовых, чтобы через 2 года она стала равной 10 тыс. руб., после чего применить формулу (66). Аналогичные соображения можно высказать и по вопросу второго пункта примера.

Пример 2.6.2.Платеж 20 тыс. руб. со сроком уплаты через 8 лет предполагается заменить платежом со сроком уплаты че­рез 5 лет. Определите величину нового платежа, если применя­ется: а) сложная процентная ставка 32% годовых; б) сложная учетная ставка 32% годовых; в) непрерывная ставка 32% за год.

Решение,а) В этом случае, как и в предыдущем примере, пользуемся формулой , где =20 тыс. руб., =8, =5,r=0,32

= 8,696 тыс. руб.

б) Так как применяется сложная учетная ставка, то в форму­ле (112) а = (1 - d)^-1 и сама формула принимает вид:

Поскольку d = 0,32, то

Р_о = 20 *(1 – 0,32)^8-5 = 20 * (1 – 0,32)³ = 6,289 тыс. руб.

в) В случае непрерывных процентов в формуле (112) а=е , следовательно,

Полагая = 032, получим

= 7,658 тыс.руб. Заметим, что если в пунктах а) и б) увеличивать число на­числений процентов в году, то величина нового платежа в слу­чае а) будет уменьшаться, приближаясь к 7,658 тыс. руб., а в случае б) - увеличиваться, приближаясь также к 7,658 тыс. руб.

Пример 2.6.3.Определите величину нового срока, если пла­теж 15 тыс. руб. через 3 года заменяется платежом: а) 8 тыс. руб.; б) 21 тыс. руб. При расчетах учитывать возможность по­мещения денег под процентную ставку 28% годовых с ежеквар­тальным начислением сложных процентов.

Решение. Так как можно вложить деньги под сложную процентную ставку, то в формуле (113) а= и формула принимает следующий вид:

а) Поскольку в рассматриваемом случае =15 тыс. руб.,

P₀=S тыс. руб., =3, m=4, r^(m) = r⁽⁴⁾ = 0,28, то согласно формуле:

= 0,677 года.

Таким образом, если в году 365 дней, то =247 дней. б) Полагая Р_о =21 тыс. руб., получим:

4,243 года.

Таким образом, новый срок составит 4 года 89 дней. Естест­венно, с ростом величины нового платежа растет и его срок.

Заметим, что если в формуле (113) для сложной процентной ставки перенести /^ в левую часть равенства и обозначить P =P,P =F , то получим формулу (60). Подобные суждения можно высказать и о связи формулы (113) (при соот­ветствующих обозначениях) с формулами (71) и (79).

Пример 2.6.4,Согласно контракту господин N обязан уплатить кредитору суммы 20, 30 и 50 тыс. руб. соответственно через 1 год 6 месяцев, 2 и 4 года. Однако он хочет вернуть долг одним платежом через 3 года 6 месяцев. Найдите величину консолидированного платежа, если применяется сложная процентная ставка 36% годо­вых. Через какое время господин N должен выплатить весь долг, если консолидированный платеж будет равен сумме выплат по первоначальному контракту? Как изменятся результаты при еже­квартальном начислении сложных процентов?

Решение.Так как применяется сложная процентная ставка, то формула (114) при а = 1 + r принимает вид:

Полагая =20 тыс. руб., Р₂=30 тыс, руб., Р =50 тыс. руб., = 1,5 , =2, n₃ = 4, = 3,5 , r = 0,36 , находим величину консолидированного платежа:

Р_о = 20 (1 – 0,32)^3,5-1,5 +30 (1 – 0,36)^3,5-2 +50(1+0,36) = 127,447 тыс. руб.

Если же господин N решает выплатить весь долг суммой 20 + 30 + 50 = 100 тыс. руб., то для определения срока выплаты воспользуемся формулой (115), где a = 1 + r и Р₀=100 тыс. руб.:

Обратим внимание, что срок п можно найти, используя уже известную величину консолидированного платежа, а именно исходя из условия, что платеж в сумме 127,447 тыс. руб. через 3 года б месяцев заменяется платежом в сумме 100 тыс. руб. Тогда можно воспользоваться формулой (113):

года

Естественно, получили тот же результат.

Если же в расчетах используется годовая номинальная процентная ставка то a= , и формула (114) принимает вид:

Полагая m=4,r =0,36,определяем выплату через 3 года 6 месяцев:

= 132,248 тыс. руб.

В случае выплаты всего долга в сумме 100 тыс. руб. для оп­ределения срока выплаты воспользуемся формулой (115), кото­рая в этих условиях принимает вид:

п₀ =

и,следовательно, искомый срок будет равен:

= 2,689 года.

Конечно, этот же результат можно было получить и по фор­муле (113), полагая =100 тыс. руб., =132,248 тыс. руб.,

года.

Пример 2.6.5. В соответствии с контрактом предпринима­тель обязан выплатить кредитору 12 тыс. руб. через 9 месяцев, после этого через 1 год - 15 тыс. руб. и еще через 1 год 6 меся­цев - 18 тыс. руб. Предприниматель предлагает выплатить 30 тыс. руб. через 2 года и еще 20 тыс. руб. - через 2 года после первой выплаты. Являются ли эти контракты эквивалентными, если есть возможность помещения денег в банк под номиналь­ную процентную ставку 32% годовых с начислением сложных процентов по полугодиям?

Решение. Как известно, два контракта считаются эквива­лентными, если приведенные стоимости потоков платежей по этим контрактам одинаковы. В качестве даты приведения при­мем дату, от которой измеряются все сроки.

Поскольку сроки выплат по первому контракту соответст­венно равны 0,75 года (9 месяцев), 1,75 года (9 месяцев + 1 год), 3,25 года (9 месяцев + 1 год + 1,5 года), то сумма приведенных стоимостей потоков платежей по первому контракту составит:

= 25,387 тыс. руб.

Аналогичным образом для второго контракта получим (за­писывая 1 + )

= 22,669 тыс. руб.

30 20

Следовательно, контракты не эквивалентны: первый кон­тракт для кредитора выгоднее.

Пример 2,6.6. Предприниматель купил у господина N грузо­вой автомобиль, заключив контракт, согласно которому пред­приниматель должен уплатить господину N 22 тыс. руб. через 9 месяцев, 40 тыс. руб. - через 3 года и 28 тыс. руб. - через 4 года 6 месяцев с момента покупки. Господин N хочет сразу же про­дать этот контракт банку. Какую сумму может заплатить банк господину N, если банк за предоставленный кредит начисляет: а) сложные проценты по годовой номинальной процентной ставке 30%; б) непрерывные проценты с силой роста 30%?

Решение. По существу необходимо решить задачу консоли­дации платежей: заменить платежи =22 тыс. руб., =4О тыс. руб., P₃ = 28 тыс. руб. со сроками соответственно = 0,75 года, =3 года, = 4,5 года одним платежом Р_о со сроком = 0 (т.е. сразу осуществить выплату всего долга).

а) В этом случае пользуемся формулой (114) при а = 1+r, где r= 03:

= 44,875 тыс. руб.

Таким образом, банк может заплатить за контракт не более

44,875 тыс. руб.

б) Так как здесь используется непрерывная ставка, то фор­мула (114) при а = е принимает вид:

Полагая = 0,3, определяем искомую сумму:

Р_о =22*e +40*e +28*e =41,089 тыс. руб.

Пример 2.6.7. Согласно финансовому соглашению господин N должен выплатить банку 10 тыс. руб. через 2 года и 30 тыс. руб. - через 5 лет с момента заключения соглашения. Госпо­дин N предлагает заменить это соглашение эквивалентным: осуществить выплаты тремя равными платежами, сделав первый платеж через 1 год, второй - через 3 года 6 месяцев и третий -через 8 лет. Какой величины должен быть каждый из этих пла­тежей, если банк на предоставленный кредит начисляет каждые полгода сложные проценты по номинальной процентной ставке 36% годовых?

Решение.Обозначим через X величину каждого нового пла­тежа. Схематично условие задачи можно изобразить на оси вре­мени (одно деление равно полугодию, т.е. равно периоду начис­ления процентов) следующим образом: над осью помещаются платежи (в тыс. руб.) по первому контракту, а под осью - по но­вому контракту.

10 30

i I i i i i i i i i i i i i __i__i__i__

о 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 t- полугодий

x х

Приведем все платежи к моменту 0 и приравняем суммы приведенных платежей по первому и по новому контрактам:

Отсюда следует:

= 12,010 тыс.руб,

Обратим внимание, что такой же результат получим, выбрав в качестве момента приведения любой другой момент времени. Пусть, например, в качестве момента приведения выбрано нача­ло шестого года (т.е. конец пятого года). В этом случае уравне­ние эквивалентности примет вид:

10*1,18 +30=x*1,18 +x*1,18 +

Поделив обе части уравнения на Ц8 , получим такое же уравнение, что и раньше.

Пример 2.6.8.Имеется обязательство выплатить суммы 30 тыс. руб. и 80 тыс. руб. соответственно через 2 года и 6 лет. По обоюд­ному согласию стороны пересматривают порядок выплат: 20 тыс. руб. выплачивается через 1 год, 40 тыс. руб. - через 4 года, остаток долга погашается через 8 лет. Определите величину третьего пла­тежа, если в расчетах используется сложная процентная ставка 28% годовых.

Решение.Обозначим через х величину остатка долга. Изо-бразим^схематично условие задачи на оси времени (одно деле­ние равно одному году): над осью помещаем платежи (в тыс. руб.) по первоначальному обязательству, а под осью - по пере­смотренному обязательству.

30 80

i I I I I I I I I j_____________

о 1 2 3 4 5 6 7 8 9 t лет

20 40 х

Выбирая за дату приведения момент заключения финансово­го соглашения, запишем уравнение эквивалентности:

Решая это уравнение относительно х, находим х = 43,049 тыс. руб.

Задачи

2.6.1. Платеж 18 тыс. руб. и со сроком уплаты через 5 лет требуется заменить платежом со сроком уплаты через: а) 3 года; б) 8 лет. Определите величину нового платежа, если применяет­ся сложная процентная ставка 24% годовых с ежеквартальным начислением процентов.

2.6.2. Платеж 30 тыс. руб. со сроком уплаты через 7 лет предполагается заменить платежом со сроком уплаты через 3 года . Определите величину нового платежа, если применяется:

а) сложная процентная ставка 40% годовых; б) сложная учетная ставка 40% годовых; б) непрерывная ставка 40% за год.

2.6.3. Определите величину нового срока, если платеж 12 тыс. руб. через 4 года заменяется платежом: а) 6 тыс. руб.; б) 16 тыс. руб. При расчетах учитывать возможность помещения денег под сложную процентную ставку 32% годовых.

2.6.4. Платеж 24 тыс. руб. со сроком уплаты через 5 лет предполагается заменить платежом 15 тыс. руб. Определите ве­личину нового срока, если применяется: а) процентная ставка 34% годовых с полугодовым начислением сложных процентов;

б) учетная ставка 34% годовых с полугодовым начислением сложных процентов; б) непрерывная ставка 34% за год.

2;6.5. Три платежа 8, 15 и 25 тыс. руб. со сроками выплат со­ответственно через 1 год, 2 года 6 месяцев и 3 года заменяются

одним платежом, выплачиваемым через 2 года, при этом приме­няется сложная процентная ставка 32% годовых. Найдите вели­чину консолидированного платежа. Какой будет срок выплаты, если консолидированный платеж будет равен сумме исходных платежей? Как изменятся результаты при ежемесячном начис­лении сложных процентов?

2.6.6. Платежи 10, 40, 20 и 35 тыс. руб. со сроками выплат соответственно через 1 год 6 месяцев, 3 года 6 месяцев, 4 и 5 лет заменяются одним платежом 70 тыс. руб. Определите срок консо­лидированного платежа, если в расчетах применяется: а) процент­ная ставка 28% годовых с ежеквартальным начислением сложных процентов; б) учетная ставка 28% годовых с ежеквартальным на­числением сложных процентов; в) непрерывная ставка с силой роста 28% за год.

2.6.7. В соответствии с контрактом господин N обязан вы­платить банку 16 тыс. руб. через полгода, после этого через 1 год - 12 тыс. руб. и еще через 2 года - 24 тыс. руб. Господин N предлагает выплатить 35 тыс. руб. через 3 года и еще 60 тыс. руб. - через 2 года после первой выплаты. Являются ли эти кон­тракты эквивалентными, если банк на предоставленный кредит каждый квартал начисляет сложные проценты по годовой номи­нальной процентной ставке 36%? В случае неэквивалентности контрактов укажите, какой из них выгоднее для господина N.

2.6.8. В соответствии с контрактом предприниматель обязан выплатить кредитору 12 тыс. руб. через 9 месяцев, после этого через 1 год - 15 тыс. руб. и еще через 1 год 6 месяцев - 18 тыс. руб. Предприниматель предлагает выплатить долг равными пла­тежами через 2 года и еще через 2 года после первой выплаты. Какой величины должна быть каждая выплата, чтобы эти кон­тракты были эквивалентными, если есть возможность помеще­ния денег в банк под номинальную процентную ставку 32% го­довых с начислением сложных процентов по полугодиям?

2.6.9. Предприниматель купил у поставщика сырье, заклю­чив контракт, согласно которому предприниматель должен уп­латить поставщику 50 тыс. руб. через 3 месяца, 25 тыс. руб. -через 9 месяцев и 35 тыс. руб. - через 1 год 6 месяцев с момента покупки. Поставщику необходимы деньги, поэтому он хочет продать контракт финансовой компании. Компания купит кон­тракт при условии начисления на свои деньги ежемесячносложных процентов по номинальной процентной ставке 30% годовых. Какую сумму получит предприниматель от финансо­вой компании, если он продаст контракт: а) в момент его заклю­чения; б) через 2 месяца после его заключения?

2.6.10. Согласно финансовому соглашению господин N дол­жен выплатить банку 5 тыс. руб. через 1 год, 15 тыс. руб. - через 2 года 6 месяцев и 10 тыс. руб. - через 4 года с момента заключе­ния соглашения. Господин N предлагает заменить это соглашение эквивалентным: осуществить выплаты четырьмя равными плате­жами, сделав первый платеж через полгода, второй - через 1 год б месяцев, третий - через 3 года и четвертый - через 5 лет. Какой величины должен быть каждый из этих платежей, если банк на­числяет на предоставленный кредит по полугодиям сложные проценты по номинальной процентной ставке 28% годовых?

2.6.11. Имеется обязательство выплатить суммы 60 тыс. руб. и 90 тыс. руб. соответственно через 3 года и 5 лет. По обоюдно­му согласию стороны пересматривают порядок выплат: 15 тыс. руб. выплачиваются через 1 год б месяцев, 45 тыс. руб. - через 2 года, 50 тыс. руб. - через 6 лет, остаток долга погашается че­рез 7 лет. Определите величину четвертого платежа, если на деньги начисляются ежеквартально сложные проценты по годо­вой номинальной процентной ставке 32%.

2.6.12. Платеж в 120 тыс. руб. со сроком уплаты через 5 лет заменяется на четыре равных платежа с выплатами соответст­венно через 2, 4, 6 и 9 лет. Какова величина этих платежей, если в расчетах применяется непрерывная ставка с силой роста 26%?

2.6.13. В соответствии с соглашением заемщик обязан вы­плачивать долг кредитору в конце каждого квартала в течение двух лет платежами 8 тыс. руб. Какова должна быть величина платежей при выплате этого долга равными полугодовыми пла­тежами, если в расчетах используется годовая номинальная процентная ставка 32% с ежеквартальным начислением слож­ных процентов?

2.6.14. По условиям контракта предприниматель в течение трех лет в конце каждого квартала должен выплачивать некото­рой фирме по 30 тыс. руб. Через год, сделав четыре платежа, предприниматель предложил через квартал выплатить весь ос­тавшийся долг. Какая сумма должна быть выплачена, если расче­ты осуществляются по годовой номинальной процентной ставке 36% годовых с ежемесячным начислением сложных процентов?

2.6.15. Господин N продает дом. Первый покупатель предла­гает ему 460 тыс. руб., причем половину суммы обещает запла­тить сразу, а оставшуюся половину - через 4 года. Второй поку­патель предлагает 450 тыс. руб., яричем третью часть суммы обещает заплатить сразу, вторую треть суммы - через 3 года и последнюю треть - через 7 лет. При этом на остающийся долг второй покупатель обязуется начислять сложные проценты по процентной ставке 15% годовых и при выплате каждой суммы выплачивать и начисленные на нее проценты. Какой из покупа­телей предлагает более выгодные условия, если господин N мо­жет поместить деньги в банк под сложную процентную ставку 30% годовых?

Глава 3 АННУИТЕТЫ

Постоянный аннуитет

Основные положения

• Одним из основных элементов финансового анализа явля­ется оценка денежного потока, генерируемого в течение ряда временных интервалов в результате реализации какого-либо проекта или функционирования того или иного вида активов. Обычно считается, что генерируемые в рамках одного времен­ного интервала поступления имеют место либо в его начале, ли­бо в его конце, т.е. они не распределены внутри интервала, а сконцентрированы на одной из его границ. В первом случае по­ток называется потоком пренумерандо или авансовым, во вто­ром - потоком постнумерандо.

• Оценка денежного потока может выполняться в рамках решения двух задач: а) прямой, предполагающей суммарную оценку наращенного денежного потока; б) обратной, предпола­гающей суммарную оценку дисконтированного (приведенного) денежного потока.

• Ключевым моментом при оценке денежного потока являет­ся молчаливая предпосылка о том, что анализ ведется с позиции "разумного инвестора", т.е. инвестора, не просто накапливаю­щего полученные денежные средства, а немедленно инвести­рующего их с целью получения дополнительного дохода. Имен­но этим объясняется тот факт, что при оценке потоков в обоих случаях (и при наращении, и при дисконтировании) предполага­ется капитализация обычно по схеме сложных процентов.

• Аннуитет (финансовая рента) представляет собой частный случай денежного потока, а именно это однонаправленный де­нежный поток с равными временными интервалами. Любой элемент такого денежного потока называется членом аннуитета

(членом ренты), а величина постоянного временного интервала между двумя его последовательными элементами называется периодом аннуитета (периодом ренты).

• Если число равных временных интервалов ограниченно, аннуитет называется срочным. Если в течение каждого базового периода начисления процентов денежные поступления происхо­дят р раз, то аннуитет часто называют р -срочным. Часто в ка­честве такого базового периода выступает календарный год.

• Аннуитет называется постоянным, если все денежные по­ступления равны между собой. В этом случае формулы для оценки будущей и приведенной стоимости аннуитета сущест­венно упрощаются. Значения коэффициента наращения аннуи­тета, входящего в формулу определения будущей стоимости, табулированы для различных значений процентной ставки и сроков действия аннуитета. Также табулированы значения ко­эффициента дисконтирования аннуитета, входящего в формулу определения приведенной стоимости.

• Ситуацию, когда в течение базового периода начисления процентов денежные поступления происходят несколько раз, а проценты начисляются один раз в конце периода, можно рас­сматривать с двух точек зрения; на отдельные взносы, посту­пающие в течение периода, начисляются либо сложные, либо

простые проценты.

• Аннуитет называется отсроченным, если начало его перво­го периода сдвинуто вправо по временной оси от момента вре­мени, на который происходит анализ.

• Аннуитет называется бессрочным (или вечной рентой), ес­ли число его элементов неограниченно большое (в том числе достаточно большое). В западной практике к бессрочным отно­сятся аннуитеты, рассчитанные на 50 и более лет. Бессрочный аннуитет также называют и вечной рентой.

Вопросы для обсуждения

1.Какой денежный поток называется потоком пренумерандо?

Приведите пример.

2.Какой денежный поток называется потоком постнумерандо?

Приведите пример.

3.Чем объясняется достаточно большое распространение на потока постнумерандо?

4. В рамках решения каких двух задач может выполняться оценка денежного потока?

5. Какая формула лежит в основе оценки наращенного денеж­ного потока?

6. Какая формула лежит в основе определения общей величины приведенного денежного потока?

7. Почему при оценке денежного потока обычно предполагает­ся капитализация по схеме сложных процентов?

8. Какой денежный поток называется аннуитетом?

9. Что называется членом аннуитета, периодом аннуитета?

10. Какой аннуитет называется срочным?

11. Какой аннуитет называется/j-срочным? 12.Приведите пример срочного аннуитета постнумерандо. 13.Приведите пример срочного аннуитета пренумерандо.

14. Какой аннуатет называется постоянным?

15.Что называется коэффициентом наращения аннуитета?

16.Каков экономический смысл коэффициента наращения ан­нуитета?

П.Как изменяется коэффициент наращения аннуитета при из­менении процентной ставки и срока действия аннуитета?

18.Как пользоваться таблицей значений коэффициента нараще­ния аннуитета?

19.Какие свойства коэффициента наращения аннуитета вы мо­жете привести? Дайте этим свойствам финансовую интерпре­тацию.

20. Какое существует соотношение между множителем наращения сложными процентами и коэффициентом наращения аннуи­тета? Каким образом, используя это соотношение, можно ин­терпретировать результат наращения сложными процентами?

21.Какие существуют подходы при рассмотрении ситуации, ко­гда в течение базового периода начисления процентов де­нежные поступления происходят несколько раз, а проценты начисляются один раз в конце периода?

22.Что называется коэффициентом дисконтирования аннуитета?

23.Каков экономический смысл коэффициента дисконтирования аннуитета?

24. Как изменяется коэффициент дисконтирования аннуитета при изменении процентной ставки и срока действия аннуитета?

25.Как пользоваться таблицей значений коэффициента дискон­тирования аннуитета?

26.Какие свойства коэффициента дисконтирования аннуитета вы можете привести? Дайте этим свойствам финансовую ин­терпретацию.

27.Какое существует соотношение между множителем дискон­тирования при дисконтировании по сложной процентной ставке икоэффициентом дисконтирования аннуитета? Каким образом можно интерпретировать это соотношение?

28.КакоЙ аннуитет называется отсроченным?

29,Как получить формулы определения будущей или приведен­ной стоимости аннуитета при начислении непрерывных про­центов?

30.Каково соотношение между будущими стоимостями анало­гичного вида аннуитетов пренумерандо и постнумерандо?

31.Какая из приведенных стоимостей аналогичного вида аннуи­тетов больше: пренумерандо или постнумерандо?

32.Какой аннуитет называется бессрочным"?

33.Приведите пример бессрочного аннуитета (вечной ренты).

34.Почему определение будущей стоимости бессрочного аннуи­тета не имеет смысла?

35,Как пояснить с финансовой точки зрения, что поток даже с неограниченным числом платежей имеет все же конечную приведенную стоимость?

Зб.Какая существует связь между приведенной стоимостью сроч­ного аннуитета и приведенными стоимостями бессрочных ан­нуитетов?

37.В каких случаях для определения приблизительно приведен­ной стоимости срочного аннуитета можно воспользоваться формулой для определения приведенной стоимости бессроч­ного аннуитета?