Тема 22. Элементы комбинаторики
Раздел III
Теория вероятностей
Тема 22. Элементы комбинаторики
Задания для решения на практическом занятии
1. Номер автомобиля состоит из 2-х букв и 4-х цифр. Сколько существует различных автомобильных номеров, если в алфавите 32 буквы?
2. Каким количеством способов могут 8 человек встать в очередь к театральной кассе?
3. Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1,2,4,6,7,8, если каждую цифру можно использовать в каждом числе один раз? Сколько среди этих чисел будет четных? Нечетных?
4. Из 12 кандидатов тренер отбирает 5 и составляет из них баскетбольную команду, в составе которой 1 центровой, 2 защитника и 2 нападающих. Каким количеством способов тренер может составить команду, если 2 кандидата могут играть только центровыми, 4 только в защите, а остальные – только в нападении?
5. Сколько чисел можно составить с использованием (всех или части) цифр 1,2,3,4,5, если каждое число должно содержать не более 3-х цифр? Сколько таких чисел получится, если повторение цифр в числе запрещено?
6. Каким количеством способов из 8 книг можно отобрать несколько, но не менее одной?
7. В пассажирском поезде 9 вагонов. Каким количеством способов можно рассадить в поезде четырех пассажиров, если все они должны ехать в разных вагонах?
8. Каким количеством способов 3 различных подарка А, В, С можно выдать трем из 15 лиц, если никто не должен получить более одного подарка? Если подарок А должно получить вполне определенное лицо?
9. Каким количеством способов из семи книг можно отобрать три и расставить их на полке?
10. Сколько чисел, содержащих цифру 3, заключено между 1 000 и 9 999?
11. Комплексная бригада состоит из 2-х маляров, 3-х штукатуров и 1-го столяра. Сколько различных бригад можно сделать из рабочего коллектива, в котором 15 маляров, 10 штукатуров и 5 столяров?
12. Каким количеством способов из 8 человек можно избрать комиссию, состоящую из 5 человек?
13. Компания из 20 мужчин разделяется на 3 группы, в 1-ю входят 3 человека, во 2-ю – 5, и в 3-ю – 12. Каким количеством способов они могут это сделать?
14. Порядок выступления 7 участников конкурса определяется жребием. Сколько различных вариантов жеребьевки при этом возможно?
15. Сколько различных десятизначных чисел можно образовать, используя по две цифры 2 и 5 и по три цифры 3 и 4?
16. В шахматном турнире участвуют 16 человек. Сколько партий должно быть сыграно в турнире, если между любыми двумя участниками должна быть сыграна одна партия?
17. Каким количеством способов можно выписать в ряд 6 плюсов и 4 минуса?
18. Сколько различных чисел можно получить, переставляя цифры числа 123 456 789, при условии, что в каждой такой перестановке как все четные цифры, так и все нечетные цифры будут идти в возрастающем порядке?
19. Сколько существует различных семизначных телефонных номеров? (Предполагается, что телефонные номера могут начинаться и с нуля)?
20. Буквы некоторого алфавита составляются из точек, тире и пробелов. Сколько букв можно составить, если использовать для их организации:
а) ровно 5 символов; б) не более 5 символов?
21. Имеются 5 сортов цветов. Каким количеством способов из них можно составить букет, содержащий 7 цветков?
22. Лифт с 7-ю пассажирами останавливается на 10-ти этажах. На каждом этаже может выйти определенное число пассажиров от 0 до 7. Сколько различных способов освобождения лифта существует (считается, что различные способы различаются лишь числом людей, вышедших на данном этаже)?
23. Из города А в город В ведут 5 дорог, а из города В в город С – 3 дороги. Сколько путей, проходящих через В, ведут из А в С?
24. В базе данных центра тестирования по каждой из пяти тем учебной дисциплины подобрано 10 различных заданий. Сколько вариантов теста можно сформировать на основании этой базы, если каждое задание может использоваться только один раз?
25. Бросают 3 игральные кости. Сколько существует возможных исходов бросания костей, при которых на всех костях выпадет различное число очков?
26. Из пункта А в пункт В ведут пять дорог. Колонну автомашин необходимо разделить на три части и направить по трем дорогам из имеющихся. Каким количеством способов можно выбрать эти дороги?
27. Каким количеством способов можно составить трехцветный полосатый флаг, если: а) имеется 5 различных цветов; б) из тех же 5 цветов, если одна из полос должна быть красной?
28. Сейфовый код состоит из 3-х цифр и 3-х букв латинского алфавита. Сколько кодовых комбинаций существует?
29. Из 10 роз и 8 георгинов нужно составить букет, содержащий 2 розы и 3 георгина. Сколько можно составить различных букетов?
30. Сколько существует способов расселить 8 студентов по трем комнатам: одноместной, трехместной и четырехместной?
Задания для самостоятельной работы
1. В автомашине 7 мест. Каким количеством способов 7 человек могут усесться в эту машину, если правами водителя обладают только 3 из них?
2. Пять мальчиков и пять девочек рассаживаются в ряд на 10 мест, причем мальчики садятся на нечетные, а девочки – на четные места. Каким количеством способов они могут это сделать?
3. В забеге участвуют 10 мальчиков. Каким количеством способов могут распределиться первые 3 места?
4. Сколько сигналов можно поднять на мачте, имея 4 флага различных цветов, если каждый сигнал должен состоять не менее, чем из двух флагов?
5. Сколько четырехзначных чисел можно составить, используя цифры 1,2,3,4,5, если: а) цифры не повторяются; б) цифры могут повторяться? Сколько в обоих случаях может получиться четных и нечетных чисел?
6. Энциклопедия состоит из 9 томов. Каким количеством способов ее можно поставить на полке в беспорядке (то есть когда не все тома поставлены в порядке следования их номеров)?
7. Каким количеством способов можно разместить учеников в классе, если присутствуют 26 человек, а мест 28?
8. Из колоды в 36 карт последовательно берется 4 карты. Сколько различных комбинаций при этом может получиться?
9. Расписание одного дня состоит из 5 уроков. Определить число вариантов расписания при выборе из 11 дисциплин, если все уроки должны быть различны.
10. Подрядчику нужны 4 плотника. К нему с предложением услуг обратилось 10 человек. Каким количеством способов он может выбрать среди них 4?
11. На окружности выбрано 10 точек. Сколько можно провести хорд с концами в этих точках. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках. Сколько выпуклых десятиугольников. Каково число замкнутых ломаных линий с вершинами в этих точках?
12. Собрание из 40 человек избирает председателя, секретаря и 5 членов комиссии. Сколько различных комиссий может быть составлено?
13. Каким количеством способов можно расположить в один ряд 13 различных карт, если определенные 10 карт должны идти (не обязательно подряд) в заранее выбранном порядке?
14. Каким количеством способов можно выписать в ряд 9 троек и 6 пятерок?
15. Каким количеством способов можно расположить в один ряд 5 красных, 5 белых и 4 черных мяча так, чтобы мячи, лежащие на краях, были одного цвета?
16. Сколько существует различных телефонных номеров, если каждый номер содержит не более 7-ми цифр?
17. Код в секретном замке набирается с помощью 6 цифр. Сколько потребуется времени для перебора всех кодов, если один код устанавливается в среднем за 5 сек.?
18. R шаров нужно разместить по К ящикам. Каким количеством способов это можно сделать?
19. Сигнал составлен из 7 флагов (1 красный, 2 синих, 3 зеленых, 1 белый). Сколько различных сигналов можно составить?
20. Из списка в 5 различных наименований продуктов требуется купить не менее трех. Сколько продуктовых наборов может быть куплено?
Задания для решения на практическом занятии
1. В ящике 12 шаров: 3 белых, 4 черных и 5 красных. Какова вероятность вынуть из ящика черный шар?
2. В ящике10 шаров: 6 белых и 4 черных. Вынули два шара. Какова вероятность того, что оба шара белые?
3. В лотерее 2 000 билетов. На один билет падает выигрыш 100 руб., на 4 билета – выигрыш по 50 руб., на 10 билетов– по 20 руб., на 20 билетов – по 10 руб., на 165 билетов – по 5 руб., на 400 билетов – по 1 руб. Остальные билеты не выигрышные. Какова вероятность выиграть по билету не менее 10 руб.?
4. В первом ящике находятся шары с номерами от 1 до 5, а во втором – с номерами от 6 до 10. Из каждого ящика вынули по одному шару. Какова вероятность того, что сумма номеров вынутых шаров:
а) не меньше 7; б) равна 11; в) не больше 11?
5. Внутри эллипса 
расположен круг 
. Найти вероятность попадания точки в кольцо, ограниченное эллипсом и кругом.
6. Два студента А и В условились встретиться в определенном месте во время перерыва между 13 ч и 13 ч 50 мин. Пришедший первым ждет другого в течении 10 мин, после чего уходит. Чему равна вероятность их встречи, если приход каждого из них в течение указанных 50 мин может произойти наудачу, и моменты прихода независимы?
7. Точка взята наудачу внутри круга радиуса R. Найти вероятность того, что эта точка окажется внутри вписанного в круг правильного треугольника. Предполагается, что вероятность попадания точки в часть круга пропорциональна площади этой части и не зависит от расположения внутри круга.
8. Брошены 2 игральные кости. Построить пространство элементарных событий. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков: а) равна 3; б) равна 5.
9. В ящике имеется 15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает 3 детали. Найти вероятность того, что извлеченные детали окажутся окрашенными.
10. В партии из N деталей имеется n стандартных. Наудачу отобраны m деталей. Найти вероятность того, что среди отобранных деталей ровно k стандартных.
11. Отдел технического контроля обнаружил 3 нестандартных детали в партии из 80-ти случайно отобранных деталей. Определить частоту появления нестандартных деталей.
Задания для самостоятельной работы
1. Брошены две игральные кости. Построить пространство элементарных событий. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна 4?
2. Монета подброшена два раза. Какова вероятность того, что оба раза выпадет герб?
3. В лотерее 1 000 билетов. Из них 500 выигрышные и 500 – невыигрышные. Куплено 2 билета. Какова вероятность того, что оба билета выигрышные?
4. В группе 30 учеников. На контрольной работе 6 учеников получили оценку «отлично», 10 – «хорошо», 9 – «удовлетворительно». Какова вероятность того, что все 3 ученика, вызванные к доске, имеют неудовлетворительные оценки по контрольной работе?
5. Точка взята наудачу внутри круга радиуса R. Найти вероятность того, что эта точка окажется от центра на расстоянии, меньшем r (r < R).
6. По цели произвели 24 выстрела, причем было зарегистрировано 19 попаданий. Найти частоту поражения цели.
7. В конверте среди 100 фотографий находится одна разыскиваемая. Из конверта наудачу извлечены 10 фотографий. Найти вероятность того, что среди них окажется нужная.
8. В ящике 100 деталей, из них 10 бракованных. Наудачу извлечены 4 детали. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей:
а) нет бракованных; б) нет годных.
9. В ящике 9 белых шаров и 1 черный. Вынули сразу 3 шара. Какова вероятность того, что все шары белые?
Задания для решения на практическом занятии
1. В ящике 10 белых, 15 черных, 20 синих и 25 красных шаров. Вынули один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар: 1) белый, 2) черный, 3) синий, 4) красный, 5) белый или черный, 6) синий или красный, 7) белый, черный или синий.
2. В первом ящике 2 белых и 10 черных шаров; во втором ящике 8 белых шаров и 4 черных. Из каждого ящика вынули по одному шару. Какова вероятность того, что оба шара белые?
3. В условиях предыдущей задачи определить вероятность того, что один из вынутых шаров белый, а другой – черный.
4. В ящике 6 белых и 8 черных шаров. Из ящика последовательно вынули 2 шара (не возвращая первый вынутый шар в ящик). Найти вероятность того, что оба шара белые.
5. Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,75, для второго – 0,8, для третьего – 0,9. Определить вероятность того, что все три стрелка одновременно попадут в цель.
6. В условиях предыдущей задачи определить вероятность того, что в цель попадет хотя бы один стрелок.
7. Вероятность выхода станка из строя в течение одного рабочего дня равна a (a – малое положительное число, второй степенью которого можно пренебречь). Какова вероятность того, что за 5 дней станок ни разу не выйдет из строя? Решить задачу при a=0,01.
8. В ящике a белых и b черных шаров. Какова вероятность того, что из двух вынутых шаров один белый, а другой – черный? Вынутый шар в ящик не возвращается.
9. В ящике 20 белых и 10 черных шаров. Вынули подряд 4 шара, причем каждый вынутый шар возвращают в ящик перед извлечением следующего и шары в ящике перемешивают. Какова вероятность того, что из четырех вынутых шаров окажется 2 белых?
10. Вероятность появления события А равна 0,4. Какова вероятность того, что при 10 испытаниях событие А появится не более трех раз?
11. Определить вероятность того, что в семье, имеющей 5 детей, будет 3 девочки и 2 мальчика. Вероятности рождения мальчика и девочки предполагаются одинаковыми.
12. В условиях предыдущей задачи найти вероятность того, что среди детей будет не больше 3-х девочек.
13. В ящике 10 белых и 40 черных шаров. Вынимают подряд 14 шаров, причем цвет вынутого шара регистрируют, а затем шар возвращают в ящик. Определить наивероятнейшее число появлений белого шара.
14. Вероятность попадания стрелком в цель равна 0,7. Сделано 25 выстрелов. Определить наивероятнейшее число попаданий в цель.
15. В результате многолетних наблюдений установлено, что вероятность выпадения дождя 1 октября в данном городе равна 
. Определить наивероятнейшее число дождливых дней 1 октября в данном городе за 40 лет.
16. Имеется 4 ящика. В первом ящике 1 белый и 1 черный шар, во втором – 2 белых и 3 черных шара, в третьем – 3 белых и 5 черных шаров, в четвертом – 4 белых и 7 черных шаров. Событие 
– выбор i-го ящика (i=1,2,3,4). Известно, что вероятность выбора i-го ящика равна 
. Выбирают наугад один из ящиков и вынимают из него шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.
17. Имеются 3 одинаковых по виду ящика. В первом ящике 20 белых шаров, во втором – 10 белых и 10 черных шаров, в третьем – 20 черных шаров. Из выбранного наугад ящика вынули белый шар. Найти вероятность того, что шар вынут из первого ящика.
18. В ящике 10 деталей, из которых четыре окрашены. Сборщик наудачу взял три детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из взятых деталей окрашена.
19. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знает предложенные ему экзаменатором три вопроса.
20. В мешочке содержится 10 одинаковых кубиков с номерами от 1 до 10. Наудачу извлекают по одному три кубика. Найти вероятность того, что последовательно появятся кубики с номерами 1, 2, 3, если они извлекаются: а) без возвращения; б) с возвращением (извлеченный кубик возвращается в мешочек).
21. Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,95 для первого сигнализатора и 0,9 для второго. Найти вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор.
22. Стрелку для поражения мишени предложено 5 винтовок, причем 3 из них – с оптическим прицелом. Вероятность поражения мишени из винтовки с оптическим прицелом – 0,9; из обычной – 0,55. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелку для одного выстрела предложена наугад взятая винтовка.
23. Для участия в студенческих отборочных соревнованиях выделено из 1-й группы 4 студента, из 2-й – 6, из 3-й – 5. Вероятности того, что отобранный студент из 1, 2 или 3-й группы попадет в сборную, равны соответственно 0,5; 0,4; 0,3. Наудачу выбранный участник соревнований попал в сборную. К какой из трех групп он вероятнее всего принадлежит?
24. Найти вероятность того, что среди взятых наудачу 5 деталей – 2 стандартные, если вероятность того, что каждая деталь стандартна, равна 0,9.
Задания для самостоятельной работы
1. В ящике a белых, b черных, c синих шаров. Вынули один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар: 1) белый, 2) черный, 3) синий, 4) белый или черный, 5) белый или синий, 6) синий или черный.
2. Вероятность попадания в цель первым стрелком равна 0,7; а вторым – 0,75. Стрелки выстрелили одновременно. Какова вероятность того, что один из них попадет в цель, а другой не попадет?
3. Вероятность того, что в южном городе N температура в июле в любой день меньше 
равна a (a – малое положительное число, второй степенью которого можно пренебречь). Какова вероятность того, что в течение первых трех дней июля температура будет не меньше ? Решить задачу при a=0,001.
4. В первом ящике 1 белый, 2 красных и 3 синих шара. Во втором ящике 2 белых, 6 красных, 4 синих шара. Из каждого ящика вынули по шару. Какова вероятность того, что среди вынутых шаров нет синих?
5. Вероятность того, что в течение дня произойдет неполадка станка, равна 0,03. Какова вероятность того, что в течение 4-х дней подряд не произойдет ни одной неполадки?
6. В классе 12 мальчиков и 18 девочек. Нужно выбрать делегацию из двух человек. Какова вероятность (если считать выбор случайным), что выбраны:
1) 2 мальчика, 2) 2 девочки, 3) мальчик и девочка?
7. Производят 3 выстрела по одной мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,5. Найти вероятность того, что в результате этих выстрелов произойдет только одно попадание.
8. Монету подбрасывают 8 раз. Какова вероятность того, что 6 раз она упадет гербом вверх?
9. Монету подбрасывают 6 раз. Какова вероятность того, что она упадет гербом вверх не более трех раз?
10. В классе 20 мальчиков и 10 девочек. На каждый из трех вопросов, заданных учителем, ответили по одному ученику. Какова вероятность того, что среди ответивших были 2 мальчика и одна девочка?
11. В каждом из четырех ящиков по 5 белых и по 15 черных шаров. Из каждого ящика вынули по одному шару. Какова вероятность вынуть 2 белых и 2 черных шара?
12. Имеется 20 ящиков однородных деталей. Вероятность того, что в одном, взятом наудачу ящике, детали окажутся стандартными, равна 0,75. Найти наивероятнейшее число ящиков, в которых все детали стандартные.
13. Первый рабочий за смену может изготовить 120 изделий, а второй – 140 изделий, причем вероятность того, что эти изделия высшего сорта, составляют соответственно 0,94 и 0,8. Определить наивероятнейшее число изделий высшего сорта, изготовленных каждым рабочим.
14. В первом ящике 5 белых и 10 черных шаров, во втором – 3 белых и 7 черных шаров. Из второго ящика в первый переложили один шар, а затем из первого ящика вынули наугад один шар. Определить вероятность того, что вынутый шар – белый.
15. В первом ящике 1 белый и 2 черных шара, во втором – 100 белых и 100 черных шаров. Из второго ящика в первый переложили один шар, а затем из первого ящика вынули наугад один шар. Определить вероятность того, что вынутый шар ранее находился во втором ящике, если известно, что он белый.
*Схема Бернулли. Формула Пуассона.
Локальная и интегральная теоремы Муавра–Лапласа [21]
1. Вероятность изготовления на автоматическом станке стандартной детали равна 0,8. Найти: 1) вероятности возможного числа появлений бракованных деталей среди 5 отобранных; 2) наивероятнейшее число появлений бракованных деталей среди отобранных.
2. Сколько раз необходимо подбросить игральную кость, чтобы наивероятнейшее число выпадений тройки было равно 10?
3. На факультете насчитывается 1 825 студентов. Какова вероятность, что 1 сентября является днем рождения одновременно 4-х студентов факультета?
4. В некоторой местности из каждых 100 семей 80 имеют холодильники. Найти: 1) вероятность того, что из 400 семей 300 имеют холодильники; 2) вероятность того, что от 300 до 360 семей (включительно) из 400 имеют холодильники; 3) вероятность того, что от 280 до 360 семей из 400 имеют холодильники.
5. В среднем 20 % пакетов акций на аукционах продаются по первоначально заявленной цене. Найти вероятность того, что из 9 пакетов акций в результате торгов по первоначально заявленной цене: 1) не будут проданы 5 пакетов; 2) будет продано: а) менее 2-х пакетов; б) не более 2-х пакетов; в) хотя бы 2 пакета; 3) наивероятнейшее число пакетов.
6. Завод отправил на базу 10 000 стандартных изделий. Среднее число изделий, повреждаемых при транспортировке составляет 0,02 %. Найти вероятность того, что из 10 000 изделий: 1) будет повреждено: а) 3; б) по крайней мере 3; 2) не будет повреждено: а) 9 997; б) хотя бы 9 997.
7. По результатам проверок налоговыми инспекциями установлено, что в среднем каждое второе малое предприятие региона имеет нарушение финансовой дисциплины. Найти вероятность того, что из 1 000 зарегистрированных в регионе малых предприятий имеют нарушения финансовой дисциплины: а) 480 предприятий; б) наивероятнейшее число предприятий; в) не менее 480; г) от 480 до 520.
8. В страховой компании 10 000 клиентов. Страховой взнос каждого клиента составляет 500 руб. При наступлении страхового случая, вероятность которого по имеющимся данным и оценкам экспертов составляет 0,5 %, страховая компания обязана выплатить клиенту страховую сумму размером 50 000 руб. На какую прибыль может рассчитывать страховая компания с вероятностью 95 %?
9. Вероятность малому предприятию быть банкротом за время t равна 0,2. Найти вероятность того, что из 6 малых предприятий за время t сохранятся:
а) 2; б) более 2-х.
10. В среднем по 15 % договоров страховая компания выплачивает страховую сумму. Найти вероятность того, что из 10 договоров с наступлением страхового случая будет связано с выплатой страховой суммы:
а) 3 договора; б) менее 2-х договоров.
11. Предполагается, что 10 % открывающихся вновь малых предприятий прекращает свою деятельность в течение года. Какова вероятность того, что из 6 малых предприятий не более 2-х в течение года прекратят свою деятельность?
12. В банк отправлено 4 000 пакетов денежных знаков. Вероятность того, что пакет содержит недостаточное или избыточное число денежных знаков, равна 0,0001. Найти вероятность того, что при проверке будет обнаружено:
а) 3 ошибочно укомплектованных пакета; б) не более 3-х пакетов.
13. Строительная фирма, занимающаяся установкой летних коттеджей, раскладывает рекламные листки по почтовым ящикам. Прежний опыт работы компании показывает, что примерно в одном случае из 2 000 следует заказ. Найти вероятность того, что при размещении 100 000 листков число заказов будет:
а) равно 48; б) находиться в границах от 45 до 55.
14. Учебник издан тиражом 10 000 экземпляров. Вероятность того, что экземпляр учебника сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Найти вероятность того, что:
а) тираж содержит 5 бракованных книг; б) по крайней мере 9 998 книг сброшюрованы правильно.
15. Вероятность того, что пассажир опоздает к отправлению поезда, равна 0,01. Найти наиболее вероятное число из 800 пассажиров и вероятность такого числа опоздавших.
16. При обследовании уставных фондов банков установлено, что пятая часть банков имеет уставный фонд свыше 100 млн руб. Найти вероятность того, что из 1 800 банков имеют уставный фонд свыше 100 млн руб.:
а) не менее 300; б) от 300 до 400 включительно.
Тема 25. Дискретные случайные величины,
их числовые характеристики и законы распределения
Задания для решения на практическом занятии
1. Случайная величина Х характеризуется рядом распределения
 | |||||
 | 0,2 | 0,4 | 0,3 | 0,08 | 0,02 |
Построить полигон распределения, функцию распределения, определить числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию и моду).
2. В ящике 6 белых и 4 черных шара. Из него 5 раз подряд извлекают шар, причем каждый раз вынутый шар возвращают в ящик и шары перемешивают. Приняв за случайную величину Х число извлеченных белых шаров, составить закон распределения этой величины, определить ее математическое ожидание и дисперсию.
3. Автоматическая телефонная станция получает в среднем за час 300 вызовов. Какова вероятность того, что за данную минуту она получит точно 2 вызова.
4. Написать биномиальный закон распределения дискретной случайной величины Х – числа выпадений «герба» при двух бросаниях монеты. Построить полигон распределения.
5. В ящике имеется 4 шара с номерами от 1 до 4. Вынули 2 шара. Случайная величина Х – сумма номеров шаров. Построить ряд распределения и функцию распределения случайной величины Х.
6. Среди семян ржи имеется 0,4 % семян сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 5 000 семян обнаружить 5 семян сорняков?
7. Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной, равна 0,01. Найти вероятность того, что среди 200 деталей окажется ровно четыре бракованных.
8. Устройство состоит из 1 000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течение времени Т равна 0,002. Найти вероятность того, что за время Т откажут ровно три элемента.
9. В партии из шести деталей имеется четыре стандартных. Наудачу отобраны три детали. Составить закон распределения дискретной случайной величины X – числа стандартных деталей среди отобранных.
Задания для самостоятельной работы
1. Случайная величина Х характеризуется рядом распределения
| | |||||
| | 0,2 | 0,3 | 0,35 | 0,1 | 0,05 |
Построить полигон распределения, функцию распределения, определить ее математическое ожидание, дисперсию и моду.
2. Стрелок производит по мишени 3 выстрела. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,3. Построить ряд распределения числа попаданий. Найти математическое ожидание.
3. В ящике 5 белых и 25 черных шаров. Вынули один шар. Случайная величина Х – число вынутых белых шаров. Построить функцию распределения.
4. Случайная величина Х характеризуется рядом распределения
| | ||||||
| | 0,24 | 0,36 | 0,20 | 0,15 | 0,03 | 0,02 |
Построить полигон распределения, функцию распределения, определить ее математическое ожидание, дисперсию и моду.
5. Книга в 1 000 страниц имеет 100 опечаток. Найти закон распределения числа опечаток на странице.
6. В партии 10 % нестандартных деталей. Наудачу отобраны 4 детали. Написать биномиальный закон распределения дискретной случайной величины Х – числа нестандартных деталей среди 4-х отобранных, построить многоугольник распределения и функцию распределения.
7. Вероятность попадания стрелком в мишень равна 2/3. Стрелок сделал 15 выстрелов. Случайная величина Х – число попаданий в мишень. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.
8.Учебник издан тиражом 100 000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Составить закон распределения числа бракованных книг в тираже.
9. В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Наудачу отобраны две детали. Составить закон распределения числа стандартных деталей среди отобранных.
Задания для решения на практическом занятии
1. Случайная величина Х задана функцией плотности распределения вероятностей
Требуется: 1) найти коэффициент а; 2) построить график плотности распределения; 3) найти вероятность попадания в промежуток (1; 2).
2. Случайная величина Х задана интегральной функцией распределения
Вычислить вероятности попадания случайной величины Х в интервалы (1,5; 2,5) и (2,5; 3,5). Найти плотность распределения (дифференциальную функцию).
3. Дана функция плотности распределения вероятностей случайной величины Х
Найти а и 
, построить их графики, найти числовые характеристики распределения (математическое ожидание, дисперсию, моду, медиану).
4. Найти числовые характеристики случайной величины с равномерным распределением.
5. Найти числовые характеристики и интегральную функцию распределения случайной величины с показательным распределением.
6. Все значения равномерно распределенной случайной величины лежат на отрезке [2; 8]. Найти вероятность попадания случайной величины в интервал (3; 5).
7. Непрерывная случайная величина распределена по показательному закону с 
. Найти вероятность того, что в результате испытаний Х попадет в интервал (0,2; 0,5). Найти числовые характеристики этой случайной величины.
8. Время 
– расформирования состава через горку – случайная величина, подчиненная показательному закону. Пусть 
– среднее число поездов, которые горка может расформировать за 1 час. Определить вероятность того, что время расформирования состава 1) меньше 30 минут, 2) больше 6 мин, но меньше 24 мин.
9. Случайная величина Х распределена по нормальному закону с математическим ожиданием а = 40 и дисперсией D = 200. Вычислить вероятность попадания случайной величины в интервал (30; 80).
10. Считается, что отклонение длины изготавливаемых деталей от стандарта является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Если стандартная длина равна а = 40 см, а СКО равно s = 0,4 см, то какую точность длины изделия можно гарантировать с вероятностью 0,8?
11. Диаметр детали, изготавливаемой на станке – случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием а = 25 см и СКО s = 0,4 см. Найти вероятность того, что две взятые наудачу детали имеют отклонение от математического ожидания по абсолютной величине не более 0,16 см.
12. Пусть Х – случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием а = 1,6 и СКО s = 1 см. Какова вероятность того, что при четырех испытаниях эта случайная величина попадет хотя бы один раз в интервал (1; 2)?
Задания для самостоятельной работы
1. Случайная величина Х задана функцией плотности распределения вероятностей
Требуется: 1) найти коэффициент а; 2) построить график плотности распределения, 3) найти вероятность попадания в промежуток 
.
2. Случайная величина Х задана интегральной функцией распределения
Вычислить вероятности попадания случайной величины Х в интервалы (1; 2,5) и (2,5; 3,5). Найти плотность распределения (дифференциальную функцию).
3. Случайная величина Х задана функцией плотности распределения вероятностей
Найти а и . Построить графики функций и 
. Найти числовые характеристики распределения (математическое ожидание, дисперсию, моду, медиану).
4. Непрерывная случайная величина распределена по показательному закону с 
. Найти вероятность того, что в результате испытаний Х попадет в интервал (0,15; 0,6). Найти числовые характеристики этой случайной величины.
5. Время расформирования состава через горку – случайная величина, подчиненная показательному закону. Пусть – среднее число поездов, которые горка может расформировать за 1 час. Определить вероятность того, что время расформирования состава составит более 0,3 часов.
6. Масса вагона – случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием 65 т и СКО s = 0,9 т. Найти вероятность того, что очередной вагон имеет массу не более 70 т, но не менее 60 т.
7. Мастерская изготавливает стержни, длина которых l представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону с математическим ожиданием 25 см и СКО 0,1 см. Найти вероятность того, что отклонение длины стержня в ту или другую сторону от математического ожидания не превзойдет 0,25 см.
8. Поезд состоит из 100 вагонов. Масса каждого вагона – случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием 65 т и СКО s = 0,9 т. Локомотив может вести состав массой не более 6 600 т, в противном случае необходимо прицеплять второй локомотив. Найти вероятность того, что второй локомотив не потребуется.
9. Случайная величина Х подчинена нормальному закону с математическим ожиданием 2,2 и СКО 0,5. Какова вероятность того, что при первом испытании случайная величина окажется на отрезке [3; 4], а при втором испытании – на отрезке [1; 2].
Таблица значений функции Гаусса
| 7 | ||||||||||
| 0,0 | 0,3989 | |||||||||
| 0,1 | ||||||||||
| 0,2 | ||||||||||
| 0,3 | ||||||||||
| 0,4 | ||||||||||
| 0,5 | ||||||||||
| 0,6 | ||||||||||
| 0,7 | ||||||||||
| 0,8 | ||||||||||
| 0,9 | ||||||||||
| 1,0 | 0,2420 | |||||||||
| 1,1 | ||||||||||
| 1,2 | ||||||||||
| 1,3 | ||||||||||
| 1,4 | ||||||||||
| 1,5 | ||||||||||
| 1,6 | ||||||||||
| 1,7 | ||||||||||
| 1,8 | ||||||||||
| 1,9 | ||||||||||
| 2,0 | 0,0540 | |||||||||
| 2,1 | ||||||||||
| 2,2 | ||||||||||
| 2,3 | Наши рекомендации |