Взаимное расположение точки и прямой

Если точка принадлежит прямой, то её проекции должны принадлежать одноименным проекциям этой прямой (аксиома принадлежности точки прямой). Из четырех предложенных на рис. 19 точек, только одна точка С лежит на прямой АВ.

Рис. 19. Взаимное расположение точек и прямой АВ

В тех случаях когда точка и прямая лежат в плоскости уровня (параллельной какой-либо из плоскостей проекций П1, П2 и П3), то вопрос о взаимном расположении прямой и точки решается при построении проекций на плоскость соответственно П1, П2 или П3. Например, прямая АВ и точка К лежат в плоскости параллельной профильной плоскости проекций (рис.20).

Рис. 20. Точка и прямая, расположенные в профильной плоскости уровня

Деление отрезка прямой линии в данном соотношении.

Из свойств параллельного проецирования известно, что если точка делит отрезок прямой в данном отношении, то проекции этой точки делят одноименные проекции прямой в том же соотношении.

Поэтому, чтобы некоторый отрезок разделить на эпюре в данном соотношении, надо в том же отношении разделить его проекции.

Рисунок 21. Деление отрезка прямой в заданном соотношении

Пример: (рис.21) Чтобы разделить отрезок АВ в отношении 2:3 из точки А1 проведем произвольный отрезок А1В*1 разделенный на 5-ть равных частей

|A1K*1|=2 , |K*1B*1|=3.

А1К*1/ К*1В*1=2/3

Соединить точку В*1 с точкой В1 и проведя из точки К*1 прямую параллельную (В1В*1) получим проекцию точки К1. Согласно теореме Фалеса (Если на одной стороне угла отложить равные отрезки и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие другую сторону, то на другой стороне отложатся равные между собой отрезки) А1К1/К1В1=2/3, далее находим К2 . Таким образом проекции точки К делят одноименные проекции отрезка АВ в данном отношении следовательно и точка К делит отрезок АВ в отношении 2/3.

Определение длины отрезка прямой линии и углов наклона прямой к плоскостям проекций

Длину отрезка АВ можно определить из прямоугольного треугольника АВС |AС|=|A1B1|, |BС|=DZ , угол a-угол наклона отрезка к плоскости П1, b-угол наклона отрезка к плоскости П2. Для этого на эпюре (рис.22) из точки B1 под углом 90° проводим отрезок |B1B1*|=DZ, полученный в результате построений отрезок A1B1*и будет натуральной величиной отрезка АВ, а угол B1A1B1* =α. Рассмотренный метод называется методом прямоугольного треугольника. Однако все построения можно объяснить, как вращение треугольника АВС вокруг стороны AС до тех пор, пока он не станет параллелен плоскости П1, в этом случае треугольник проецируется на плоскость проекций без искажения.

Для определения b-угол наклона отрезка к плоскости П2 построения аналогичные. Только в треугольнике АВВ* сторона |BВ*|=DU и треугольник совмещается с плоскостью П2.

Рисунок 22. Определение натуральной величины отрезка и угла его наклона к горизонтальной (слева) и фронтальной (справа) плоскости проекций