Простые (арифметические) проценты по вкладу

Пусть некий человек, назовём его экономическим агентом или вкладчиком, кладёт на счёт в банке V денежных единиц, например 1000 р.

По условиям договора банк обязуется ежегодно выплачивать вкладчику фиксированную долю вклада. Чаще всего эта доля выражена в процентах и называется процентом по депозиту (вкладу). Обозначим этот показа тель через r. Обозначение связано с английским термином interest rate.

В конце первого года хранения денег в банке вкладчик получит доход Vr/100

единиц.

Для того чтобы формулы были менее громоздкими, процент по вкладу удобнее выражать в долях. Например, в процентах — 5%, а в долях — 0,05.

Если выражать процент по вкладу в долях, то в конце года вкладчик полу-

чит Vr денежных единиц.

Если вкладчик забирает проценты, а вклад остаётся в банке, то в конце следующего года вкладчик получит ещё Vr денежных единиц. Другими словами, за два года вкладчик получит 2Vr единиц. Аналогично за t лет вкладчик получит Vrt денежных единиц.

Вкладчик может не забирать накопившиеся к концу года проценты, а добавлять эту сумму к основному вкладу. Договор с простыми процентами характеризуется тем, что проценты на проценты не начисляются. Условия договора по начислению процентов распространяются только на основной вклад.

В этом случае к концу года t вклад будет составлять V_t = V(1 + rt) денежных единиц.

Для целочисленного положительного (натурального) t величина вклада представляет собой арифметическую прогрессию с разностью Vr. Индекс t подчёркивает, что мы рассматриваем величину вклада как функцию времени (числа лет), а первоначальный размер вклада V и ставка процента r рассматриваются как параметры.

Формула ясно указывает, что при начислении простого процента размер вклада

растёт как линейная функция времени.

Заметим, что величина накопленного вклада будет такой же в конце периода, если процент по вкладу уменьшить в 2 раза, но подождать вдвое больше времени.

Геометрическое место точек плоскости (r, t) таких, что значение функции V_t сохраняется постоянным, называется линией уровня этой функции (рис. 1). Уравнение этой линии для вклада с простым начислением процентов имеет вид: V(1 + rt) = const.

При заданном начальном вкладе эта линия — ветвь гиперболы rt = k, лежащая в первом квадранте (по горизонтальной оси отложено время, по вертикальной — доля). При

построении графика время рассматривается как непрерывное, хотя доход выплачивается только в конце каждого года.

Если вкладчик планирует держать деньги в банке несколько лет, то начисление простых процентов явно невыгодно для него. Вкладчик быстро сообразит, что ему выгоднее забрать вклад и проценты в конце года и тут же вложить увеличенную за счёт процентов сумму денег ещё на один год, через год повторить эту операцию, и так каждый год. При такой стратегии ежегодные проценты будут начисляться на всю накопленную сумму, а не только на первоначальный вклад.

(5, с. 8-10)

Сложные проценты по вкладу

Для того чтобы избежать бессмысленных операций ежегодного закрытия вклада и открытия его вновь, банк предлагает клиентам схему начисления сложных процентов.

Начисление сложных процентов эквивалентно тому, что срок размещения вклада всегда составляет только один год, но первоначальная сумма ежегодно растёт за счёт начисленных в предыдущем году процентов. После первого года вклад составит, как и при простых процентах, V₁ = V(1 + r). После второго года — V₂ = V(1 + r)². Аналогично к

концу года t вклад будет составлять Vt = V(1 + r)^t.

При начислении сложных процентов величина вклада увеличивается по формуле геометрической прогрессии с показателем (1 + r). Теперь величина вклада растёт не как линейная, а как показательная функция.

На рис. 2 показано, как растёт вклад при начислении дохода по формуле простых и сложных процентов. По горизонтальной оси отложено время, а по вертикальной — размер вклада. Начальный вклад полагается равным одной денежной единице. Обратите внимание, что при малом сроке хранения вклада величина депозита незначительно различается для двух разных способов начисления процентов. При сроке хранения вклада в несколько десятков лет разница становится очень большой.

Линия уровня стоимости вклада при начислении сложного процента имеет вид:

t・ln(1 + r) = const (по горизонтальной оси отложено время, по вертикальной — доля) (рис. 3).

Применим выведенные формулы для решения следующей задачи.

Задача

Папа первоклассницы Тани решил накопить денег на выпускной вечер дочери. Он положил 1000 р. на счёт в банке под годовой номинальный процент 10%. Найдите сумму, которая накопится на вкладе к окончанию Таней средней школы, если проценты начисляются ежегодно:

а) по формуле простых процентов;

б) по схеме сложных процентов.

Решение.

Применение формулы простых процентов даёт 1000 ・ (1 + + 0,1 ・ 11) р. через 11 лет.

В итоге в пункте а) папа накопит к Таниному выпускному вечеру 2200 р.

При ежегодном начислении сложных процентов к выпускному вечеру будет накоплено 1000 ・ (1 + 0,1)11 = 2853 р. 12 к.

Накопленная сумма будет примерно в 1,4 раза больше, чем при начислении простых процентов. (5, с. 10 -12)

Сложно-простые проценты

Существует ещё одна схема начисления процентов на вклад, иногда называемая сложно-простыми процентами. При этой схеме устанавливается годовая ставка процента r, но начисление процентов проводится несколько раз в год. Например, начисление может проводиться ежеквартально или ежемесячно.

Обозначим количество раз начисления процентов в течение года через натуральное число m. Тогда в конце первого периода начисления вклад увеличивается до величины

V(1 + r/m).

Другими словами, при увеличении вклада в конце каждого периода используется формула простого процента.

Но в следующий период процент начисляется уже с учётом увеличения вклада, т. е. «работает» формула сложного процента.

Поэтому к концу года вклад станет равен величине V(1 + r/m)^m.

К концу года t вклад будет составлять величину V_t = V(1 +r/m)^mt.

Параметр m входит в эту формулу дважды. При его увеличении уменьшается выражение, заключённое в скобки, но увеличивается показатель степени, в которую выражение в скобках возводится. Можно доказать (см. упражнения), что при постоянных величинах r и t выражение V_t = V(1 + r/m)^mt монотонно растёт при увеличении m. При одном и том же годовом проценте чем чаще происходит начисление, тем больше величина вклада к концу года.

Рассмотрим не очень жизненный, но математически легко понимаемый пример. Пусть вкладчик кладёт в банк 1 р., но под 100% годовых. Рассчитаем размер вклада

через один год. В зависимости от переменной m размер вклада составит величину, представленную в таблице 1.

В первом столбце указано количество начислений в течение года.

Первая строка соответствует ежегодному начислению процента, 12-я — ежемесячному начислению, 52-я — еженедельному.

Второй столбец показывает величину вклада в конце года, а третий — процент, при котором однократное начисление могло бы дать такую же величину вклада. Этот показатель принято называть эффективным процентом, а годовой процент r — номинальным процентом.

Мы видим, что при еженедельном начислении (m = 52) номинальному проценту 100% соответствует эффективный процент более 169%.

При ежедневном начислении (m = 365) эффективный процент достигает почти 171,5%.

Дальнейшее увеличение числа m практически не меняет эффективный процент.

Таблица 1. Величина вклада в конце года и эффективный процент