Арифметические вычисления. Проценты.

Тема №1.

Арифметические вычисления. Проценты.

Дидактический материал.

Найдите значение выражения:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ;

8) .

Ответы:

Десятичные дроби. Действия над десятичными дробями.

1º. Обыкновенную дробь со знаменателем 10, 100, 1000 и т.д., записанную без знаменателя, называют десятичной дробью.

Например, ; ; .

2º. Правила арифметических действий над десятичными дробями:

a) При сложении (вычитании) десятичных дробей надо записать их одну под другой так, чтобы одинаковые разряды были друг под другом, а запятая под запятой и сложить (вычесть) их как натуральные числа, не забыв поставить в результате запятую под запятыми.

b) Чтобы умножить одну десятичную дробь на другую, надо выполнить умножение, не обращая внимания на запятые, и в полученном произведении отделить справа запятой столько цифр, сколько их стоит после запятой в обоих множителях вместе. Если цифр в полученном произведении недостаточно, то приписывают слева нули.

Например, .

c) При делении десятичной дроби на натуральное число надо разделить это число, не обращая внимания на запятую, и поставить в частном запятую, когда закончится деление целой части.

Например, .

d) Чтобы разделить число на десятичную дробь, нужно в делимом и делителе перенести запятую вправо на столько цифр, сколько их после запятой в делителе, а потом выполнить деление на натуральное число. Если в делимом меньше десятичных знаков, чем в делителе, то справа приписывают необходимое количество нулей.

Например, .

e) При умножении (делении) десятичной дроби на 10,100, 1000 и т.д. достаточно перенести запятую вправо (влево) на столько цифр, сколько нулей во множителе (делителе).

Например, ; .

3º. При выполнении совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями нужно учитывать рациональность выбора: иногда лучше действия выполнить в - обыкновенных дробях, а в других случаях – в десятичных.

a) Любую обыкновенную дробь можно обратить в десятичную (конечную или бесконечную периодическую), разделив числитель на знаменатель по правилу деления десятичной дроби на натуральное число.

Например, ; .

b) Чтобы обратить конечную десятичную дробь в обыкновенную, достаточно в числителе дроби записать число, стоящее после запятой, а в знаменателе – единицу с нулями, причем нулей должно быть столько, сколько цифр справа от запятой.

Например, .

c) Чтобы обратить бесконечную периодическую десятичную дробь в обыкновенную, надо из числа, стоящего до второго периода, вычесть число, стоящее до первого периода, и записать эту разность числителем, а в знаменателе написать цифру 9 столько раз, сколько цифр в периоде, и после девяток дописать столько нулей, сколько цифр между запятой и первым периодом.

Например, ; .

Дидактический материал.

Найдите значение выражения:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ;

8) ; 9) ;

10) ; 11) ;

12) ;

13) ;

14) ;

15) ;

16) ; 17) ;

18) ; 19) ;

20) .

Найти Х из пропорции:

21) ;

22) ;

23) ;

24) .

Ответы: 1) 84,075; 2) 1; 3) 6; 4) 8; 5) 20; 6) 32; 7) 1; 8) 2; 9) 4; 10) 2; 11) 3; 12) 3; 13) 0,5; 14) 3; 15) 1; 16) 3; 17) 5; 18) ; 19) 1; 20) 9; 21) 1; 22) 5; 23) 25; 24) 5.

Дидактический материал.

1) Найдите:

а) 4% от 75; б) % от 330; в) 160% от 82,25.

2) Найдите число, если:

а) 40% его равны 12; б) 1,25 % его равны 55; в) 0,8% его равны 1,84; г) % его равны .

3) Найти, сколько процентов составляет:

а) число 15,57 от числа 90; б) число 150 от числа 120; в) число 0,3 от 1,9

4) Число, % которого составляют , равно:

а) 0,672 б) 400 в) 672 г) 500 д) 472

5) Число, % которого составляет , равно:

а) 762 б) 580 в) 140 г) 350 д) 7,62

6) Сколько процентов числа 3 составляет разность между ним и 3% числа 20?

7) 18% числа 10 равны 15% числа с. Найти с.

8) После увеличения числа на 17% получили 108,81. Исходное число равно:

а) 93,05 б) 93 в) 94 г) 92 д) 92,86

9) Некоторое число уменьшили на 14%, получив в результате 95. Это число с точностью до 0,01 равно:

а) 110,46 б) 110,44 в) 109,59 г) 110,50 д) 110,47

10) Сберегательный банк начисляет по вкладам ежегодно 2% вклада. Вкладчик внес в банк 15000 руб. Какой станет сумма через 2 года?

11) По долгосрочному вкладу банк выплачивает 10% годовых. По истечении каждого года начисленная сумма присоединяется к вкладу. На этот вид вклада был открыт счет в 20000 руб., который не пополнялся и с которого не снимали деньги в течение 3-х лет. Какой доход был получен по истечении этого срока?

12) Вкладчику на положенные в банк деньги через год начислили проценты в размере 15 тыс.рублей. Не взяв их, а добавив еще 85 тыс.рублей, он оставил все деньги еще на год под те же проценты. По истечении второго срока вклад вместе с процентными начислениями составил 275 тыс.рублей. Сколько тысяч рублей было положено в банк первоначально? (При решении задачи следует учесть, что процентная ставка банка не может превышать 100% годовых).

13) Вкладчик положил в банк некоторую сумму под 10% годовых. Каждый год после начисления процентов он добавляет на свой счет 5000 рублей. В результате через три года его вклад составил 29860 рублей. Какова была сумма первоначального вклада?

14) Производительность труда второй бригады на 20% больше, чем первой бригады, а производительность труда третьей бригады на 25% меньше, чем второй. На сколько процентов производительность труда третьей бригады меньше, чем первой?

15) Владелец магазина дважды за год повышал центы на товары в среднем на 10%. На сколько процентов повысилась цена на товары за год?

16) Цены на компьютерную технику в среднем понижались за год дважды на 10%. На сколько процентов понизились цены на компьютерную технику за год?

17) Два спиртовых раствора борной кислоты одинаковой массы слили в один сосуд. Раствор какой концентрации получили в результате, если первый раствор был пятипроцентным (5% борной кислоты и 95% спирта), а второй – однопроцентный?

18) Сколько мл воды нужно добавить к 500 мл 96%-ного раствора спирта (96% спирта, 4% воды), чтобы получить 40%-ный раствор спирта?

19) Из сосуда, полностью заполненного 12%-ным раствором соли, отлили 1л и налили 1л воды. После этого в сосуде оказался 9%-ный раствор соли. Сколько литров вмещает сосуд?

20) В библиотеке имеются книги на английском, французском и немецком языках. Английские книги составляют 36% всех книг на иностранных языках. Французские – 75% английских, а остальные 185 книг – немецкие. Сколько книг на иностранных языках в библиотеке?

21) Свежие грибы содержат по массе 90% воды, а сухие – 12%. Сколько получится сухих грибов из 44 кг свежих?

Ответы: 6) 80%; 7) 12; 10) 15660; 11) 15606; 12) 150; 13) 10000; 14) 10; 15) 21; 16) 19; 17) 3; 18) 700; 19) 4; 20) 500; 21) 5.

Тема №2.

Уравнения. Модуль числа.

Квадратные уравнения.

1º. Уравнение вида , где a,b,c – действительные числа, причем а ≠ 0, называют квадратным уравнением.

Корни квадратного уравнения находят по формуле:

.

Если коэффициент а = 1, то квадратное уравнение называют приведенным; если коэффициент а ≠ 1 – неприведенным.

2º. Выражение называют дискриминантом квадратного уравнения.

Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней; если D = 0, то уравнение имеет один действительный корень (или два одинаковых корня); если D > 0, уравнение имеет два различных действительных корня.

3º. Теорема Виета. Сумма корней квадратного уравнения равна а произведение корней равно .

Для корней x₁ и x₂ приведенного квадратного уравнения формулы Виета имеют вид:

4º. Уравнения вида , , называют неполными квадратными уравнениями.

Неполные квадратные уравнения решают следующим образом:

1) ;

2) .

5º. Выражение называется квадратным трехчленом относительно х.

Квадратный трехчлен может быть разложен на линейные множители по формуле:

,

где x₁ и x₂ – корни квадратного трехчлена, т.е. корни уравнения (если уравнение имеет действительные корни).

Дидактический материал.

Решите уравнения, сводящиеся к линейным:

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ;

6. ; 7. ;

8. ; 9. ;

10. ; 11. .

Решите квадратные уравнения:

12. ; 13. ;

14. ; 15. ;

16. .

Разложите на линейные множители:

17. ; 18. ; 19. ;

20. ; 21. .

Сократите дроби:

22. ; 23. ; 24. ;

25. ; 26. ; 27. .

Упростите выражение:

28. ; 29. .

Найдите среднее арифметическое всех действительных корней уравнения:

30. ; 31. ;

32. ; 33. ;

34. ; 35. ;

36. .

Найдите расстояние от вершины параболы до точки М:

37. ; 38. ;

39. ; 39. .

Постройте график функции:

40. ; 41. ; 42. ;

43. ; 44. ; 45. ;

46. ; 47. ; 48. ;

49. ; 50. ; 51. .

52. По графику квадратичной функции определить знаки ее коэффициентов и их суммы:

Найдите рациональные корни уравнения:

53. ; 54. ; 55. ;

56. ; 57. ; 58. ;

59. ; 60. ; 61. .

Решите уравнения:

62. ; 63. ; 64. ;

65. ; 66. ; 67. ;

68. ; 69. ;

70. ; 71. ; 72. .

Тема №3.

Степени и корни.

Дидактический материал.

Вычислите:

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ; 10. ;

11. ; 12. ;

13. ; 14. ; 15. .

Внесите множители под знак общего корня:

16. ; 17. ; 18. .

Упростите выражения:

19. ; 20. ; 21. ;

22. ; 23. ;

24. ; 25. ;

26. ;

27. .

Ответы: 19. ; 20. x + 4; 21. 0,5; 22. -1; 23. ; 24. 1; 25. 3; 26. x – y;

27. .

Тема №4.

Метод интервалов.

1º. Если дискриминант квадратного трехчлена D > 0 или D = 0, то квадратное неравенство можно переписать в виде или , где x₁ и x₂ – корни квадратного трехчлена, и использовать для его решения метод интервалов.

2º. Для решения любых алгебраических уравнений

вида (1) или вида (2) , где x₁, x₂, …, x_n – действительные числа, удовлетворяющие условию x₁ < x₂ < …< x_n, а k₁, k₂, …, k_n – натуральные числа, применим обобщенный метод интервалов.

Суть его состоит в следующем: на координатной оси отмечают числа x₁, x₂, …, x_n, в промежутке справа от x_n ставят знак +,

затем, двигаясь справа налево, при переходе через очередную точку x_i меняют знак, если k_i - нечетное число и сохраняют знак, если k_i - четное число. Тогда множеством решений неравенства (1) будет объединение промежутков, в каждом из которых поставлен знак +, а множеством решений неравенства (2) будет объединение промежутков, в каждом из которых поставлен знак – .

Замечание. Обобщенный метод интервалов справедлив и для целых рациональных неравенств P(x) > 0 или Q(x) ≥ 0, и для дробно-рациональных неравенств или , причем последние равносильны неравенству и системе соответственно, где P(x), Q(x) – некоторые многочлены.

Пример 11. Решить неравенство .

Решение: Находим корни квадратного трехчлена :

Данное неравенство равносильно следующему неравенству: . Применяя метод интервалов к последнему неравенству, получим множество всех решений неравенства – отрезок [-2; 3].

Ответ: .

Пример 12. Решить неравенство .

Решение:

Находим корни числителя и знаменателя:

Указанная система равносильна следующей системе:

Нанесем найденные корни на числовую прямую. В интервалах справа налево расставим знаки плюс и минус.

Множеством всех решений данного неравенства является объединение промежутков, в которых поставлен знак минус.

Ответ: .

Дидактический материал.

Решите неравенства:

1. ; 2. ;

3. ; 4. .

Решите системы неравенств:

5. ; 6. .

Найдите целые решения системы неравенств:

7. ; 8. .

Решите неравенства:

9. ; 10. ; 11. ;

12. ; 13. ;

14. ; 15. ;

16. ; 17. ;

18. ; 19. ;

20. ; 21. ; 22. ;

23. ; 24. ;

25. ; 26. ;

27. ; 28. ; 29. ;

30. ; 31. ; 32. .

Тема №5.

Множество значений функции.

1º. Множеством (областью) значений E(y) функции y=f(x) называется множество всех таких чисел y₀, для каждого из которых найдется число x₀ такое, что f(x₀)=y₀.

2º. Областью значений всякого многочлена четной степени является промежуток , где m – наименьшее значение этого многочлена, либо промежуток , где n – наибольшее значение этого многочлена.

Областью значений всякого многочлена нечетной степени является R.

3º. Области значений основных элементарных функций:

Пример 15. Найти множество значений функции , если x≤1.

Решение: Данная функция не определена при x=0 и, следовательно, задана на множестве .

Рассмотрим x<0, тогда |x|=-x и функция принимает вид . Так как для x<0, то . Таким образом, на промежутке функция принимает значения от 5 до +∞.

Если x>0, то |x|=x и функция имеет вид . Так как для , то .

Ответ: .

Дидактический материал.

Решите неравенства:

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

7. ; 8. ; 9. ;

10. ; 11. ; 12. ;

13. ; 14. ;

15. ; 16. ;

17. ; 18. .

19. При каких x точки графика функции лежат выше прямой ?

20. При каких x точки графика лежат не ниже точек графика функции ?

Найти множество значений функции:

21. , если ; 22. , если .

Тема №6.

Иррациональные уравнения.

1º. Иррациональным называют уравнение, в котором переменная содержится под знаком корня.

При решении иррациональных уравнений применяют 2 метода: метод возведения в степень обеих частей уравнения и метод введения новой переменной (замены переменной).

2º. Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень состоит в следующем:

а) преобразуют заданное иррациональное уравнение к виду ;

б) возводят обе части полученного уравнения в n-ую степень: ;

в) учитывая, что , получают уравнение и решают его.

3º. Следует учитывать, что при возведении обеих частей уравнения в четную степень возможно появление посторонних корней. В этом случае обязательна проверка найденных корней путем их подстановки в исходное уравнение.

Пример 16. Решить уравнение .

Решение: Преобразуем уравнение к виду и возведем обе части его в квадрат. Получим:

Еще раз возведем обе части уравнения в квадрат:

Откуда получим:

Проверка: 1) При x=5 имеем: . Таким образом, x=5 является корнем заданного уравнения.

2) . Таким образом, x=197 – посторонний корень.

Ответ: 5.

4º. Метод замены переменной продемонстрируем на примере.

Пример 17. Решить уравнение .

Решение: Область определения уравнения: Пусть , тогда Поэтому Отсюда:

1) Получили неверное числовое равенство, значит, в этом случае нет корней.

2)

Ответ: -8/7.

Дидактический материал.

Решите уравнения:

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ; 10. .

Найдите наименьший корень уравнения:

11. ; 12. ;

13. .

Найдите произведение всех корней уравнения:

14. ; 15. .

Решите уравнения:

16. ; 17. ;

18. .

Тема №7.

Показательные уравнения.

Дидактический материал.

Решите уравнения:

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ; 10. ; 11. ;

12. ; 13. ;

14. ; 15. ;

16. ; 17. ;

18. ; 19. ;

20. ; 21. ;

22. ; 23. ;

24. ; 25. .

26. Найдите произведение корней уравнения .

27. Найдите сумму корней уравнения .

Найдите значение выражения:

28. , где x₀ – корень уравнения ;

29. , где x₀ – целый корень уравнения .

Решите уравнение:

30. ;

31. ; 32. .

Ответы: 1. 0; 2. -2/9; 3. 1/36; 4. 0, 0.5; 5. 0; 6. 0; 7. -2; 8. 2; 9. 1, 3; 10. 8; 11. 5; 12. 1; 13. ¼; 14. 2; 15. -2, -1; 16. -2, 1; 17. 0; 18. 1; 19. 0; 20. -1, 0; 21. -2, 2; 22. -2, 2; 23. 4; 24. -1, 2; 25. -2, -1, 3; 26. -0.3; 27. 3; 28. 11; 29. 54; 30. -1, 0, 2, 3; 31. ; 32. .

Тема №8.

Показательные неравенства.

1º. Неравенство, содержащее переменную в показателе степени, называется показательным неравенством.

2º. Решение показательных неравенств вида основано на следующих утверждениях:

если , то неравенство равносильно ;

если , то неравенство равносильно .

При решении показательных неравенств используют те же приемы, что и при решении показательных уравнений.

Пример 26. Решить неравенство (методом перехода к одному основанию).

Решение: Так как , то заданное неравенство можно записать в виде: . Так как , то данное неравенство равносильно неравенству .

.

Решив последнее неравенство, получим .

Ответ: .

Пример 27. Решить неравенство: (методом вынесения общего множителя за скобки).

Решение: Вынесем за скобки в левой части неравенства , в правой части неравенства и разделим обе части неравенства на (-2), поменяв знак неравенства на противоположный:

.

Так как , то при переходе к неравенству показателей знак неравенства опять меняется на противоположный. Получаем . Таким образом, множество всех решений данного неравенства есть интервал .

Ответ: .

Пример 28. Решить неравенство (методом введения новой переменной).

Решение: Пусть . Тогда данное неравенство примет вид: или , решением которого является интервал .

Отсюда . Поскольку функция возрастает, то .

Ответ: .

Дидактический материал.

Укажите множество решений неравенства:

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. .

6. При каких значениях x точки графика функции лежат ниже прямой ?

7. При каких значениях x точки графика функции лежат не ниже прямой ?

Решите неравенство:

8. ; 9. ; 10. ;

11. ; 12. .

13. Укажите наибольшее целое решение неравенства .

14. Найдите произведение наибольшего целого и наименьшего целого решений неравенства .

Решите неравенство:

15. ; 16.