Отношения между силлогистическими формулами простых

Атрибутивных категорических суждений

Логическое отношение следования (вывода) между силлогистическими формулами простых атрибутивных категорических суждений традиционной силлогистики касается только тех из этих формул, которые имеют в своей логической структуре общие термины, т. е. являются сравнимыми.

· Примеры

Несравнимы суждения: «В огороде бузина» и «В Киеве дядька»; «Многие пирожки вкусны» и «Некоторые здания являются небоскрёбами». Между такого рода силлогистическими формулами логическое следование за отсутствием общих терминов невозможно.

Сравнимые формулы в силлогизмах играют роль посылок и заключений и могут быть либо совместимыми (могущими являться одновременно истинными), либо несовместимыми (не могущими являться одновременно истинными). При этом силлогистическими формулами простых атрибутивных категорических суждений в традиционной силлогистике являются формулы: 1) SaP, SiP, SeP, SoP, которые могут обозначаться заглавными латинскими буквами (A, B, C, D и т. д.),

а также формулы, выражающие их отрицание 2) SaP, SiP, SeP, SoP (A,

B, C, D и т. д.), читающиеся «неверно, что все S есть P» и т. д.

Теперь определим применительно к простым категорическим атрибутивным

суждениям, выраженным посредством формул, понятие логического следования.

Логическое следование между формулами А и В существует тогда и только тогда, когда каждая модельная схема, на которой истинна выступающая посылкой формула А, является модельной схемой, на которой истинна выступающая заключением формула В.

Наличие логического следования из одной формулы-посылки к другой формуле-заключению записывается А |= В. Таким образом, силлогистика есть теория дедуктивных (т. е. таких, у которых между посылками и заключением имеется отношение логического следования) умозаключений из категорических атрибутивных суждений на основе их субъектно-предикатной структуры. В дальнейшем будем иметь в виду, что умозаключения на основе категорических суждений подразделяют на два типа: 1) непосредственные дедуктивные умозаключения, т. е. выводы из одной посылки, и 2) собственно силлогизмы (категорический силлогизм, сокращённый силлогизм (энтимема), сложные (полисиллогизмы) и сложносокращённые силлогизмы (сориты и эпихейрема). Непосредственные дедуктивные умозаключения подразделяются: 1) на выводы на основе отношения между суждениями по значениям истинности (по «логическому

квадрату»); 2) выводы из суждений посредством их преобразования.

Логический квадрат

Разновидности отношений совместимости и несовместимости силлогистических формул простых атрибутивных категорических суждений принято фиксировать с помощью «логического квадрата». Логический квадрат (квадрат противоположностей) — диаграмма, показывающая логические отношения по значениям истинности между имеющими одинаковые термины простыми категорическими атрибутивными суждениями (рис. VIII):

контрарность

Отношения между силлогистическими формулами простых - student2.ru рис. VIII SaP SeP

н.

SiP субконтрарность SoP

Разновидностями отношения совместимости являются: эквивалентность, субординация (логическое подчинение), контрарность (противоположность), субконтрарность(частичная совместимость), контрадикторность (противоречие)

· Примеры

Суждения формулы SaP «Все гиппопотамы — бегемоты» (обозначим его А) и «Любой бегемот — это гиппопотам» (обозначим его В), область высказывания которых соответствует первой модельной схеме, находятся в не фиксируемом данной диаграммой отношении равнозначности (эквивалентности).

То есть при знании значения истинности первого суждения можно сделать вывод об том же значении истинности второго суждения: А |= В (SaP |= SaP — закон силлогистического тождества для общеутвердительных высказываний). В данном случае в роли субъекта и предиката выступает одно и то же имя (с одним и тем же объёмом и содержанием), имеющее разное языковое выражение. Естественно, такого же рода умозаключение в плане значения истинности можно сделать из любой другой формулы простого категорического атрибутивного высказывания к тождественной (имеющей эквивалентную логическую структуру) формуле: SiP |= SiP — закон силлогистического тождества для частноутвердительных высказываний, соответственно, SeP |= SeP — закон силлогистического тождества для общеотрицательных высказываний и SoP |= SoP — закон силлогистического тождества для частноотрицательных высказываний.

SaPПротивоположность (контрарность) SeP

SaPподчинение (субординация) SiP

SePПодчинение (субординация) SoP

SiPЧастичное совпадение SoP

(субконтрарность)

SaP – SoP, SeP – SiP -отношения противоречия (контрадикторности).

В отношении подчинения (субординации) находятся суждения с одинаковыми терминами, имеющие одинаковое качество и разное количество.

· Примеры

Суждение формы SaP «Все люди способны к логическому мышлению» находится в отношении подчинения (является подчиняющим) с суждением формы SiP «Некоторые люди способны к логическому мышлению»; суждение формы SeP — с суждением SoP: «Ни один металл не является неэлектропроводным» и «Некоторые металлы не являются неэлектропроводными».

Это значит, что 1) зная об истинности суждений-посылок формул SaP и SeP,

мы выводим истинность суждений-заключений формул SiP и SoP, а именно: SaP |= SiP и SeP |= SoP, 2) зная о ложности суждений-посылок формул SiP и SoP, мы выводим ложность суждений-заключений формул SaP и SeP, а именно: SiP |= SaP и SoP |= SeP (читается «Если неверно, что некоторые S есть P, то неверно, что все S есть P» и «Если неверно, что некоторые S не есть P, то неверно, что ни один S не есть P»).

В случае же истинности частноутвердительного суждения логического следования в отношении суждения общеутвердительного не имеется, равно как и в случае истинности частноотрицательного суждения не следует достоверного вывода в отношении истинностной характеристики суждения общеотрицательного, т. е. истинность частного суждения оставляет общее неопределённым. Несоблюдение этого правила ведёт к логической ошибке, называемой «поспешное обобщение», суть которой заключается в том, что рассмотрев несколько частных случаев из какого-либо класса явлений, делают вывод обо всём классе.

· Примеры

«Верно, что некоторые учащиеся нашей группы — музыканты», но истинно или ложно, что «Все учащиеся нашей группы — музыканты», логически не установить; «Верно, что некоторые учащиеся нашей группы не являются музыкантами», но истинно ли или ложно, что «Ни один учащийся нашей группы не является музыкантом»?

Не представляется возможным получить логическое следование применительно к суждениям в отношении подчинения и при использовании в качестве посылок ложных общеутвердительных и общеотрицательных суждений, т. е. ложность общего суждения оставляет частное суждение неопределённым.

· Примеры

«Неверно, что все учащиеся нашей группы — музыканты», но истинно ли

или ложно, что «Некоторые учащиеся нашей группы — музыканты» логически не установить.

В отношении частичного совпадения (субконтрарности) находятся суждения с одинаковыми терминами, имеющие разное качество и частные по количеству. Такие суждения могут быть одновременно истинными, но не могут быть одновременно ложными. Если одно из них ложно, то другое с необходимостью истинно. В таком случае имеет место закон субконтрарного исключённого третьего.

· Примеры

Из ложности суждения «Некоторые металлы не являются электропроводными» логически следует истинность суждения «Некоторые металлы являются электропроводными», что может быть формализовано: SoP |= SiP. Соответственно, из формулы SiP логически следует истинность формулы SoP (SiP |= SoP), например «Если неверно, что некоторые киты являются рыбами, то истинно, что некоторые киты рыбами не являются».

Из истинности же одного из суждений, находящихся в отношении субконтрарности, истинность или ложность другого логически не следует.

· Примеры

«Верно, что некоторые слова записаны чёрными буквами», но следует ли из этого что-либо с логической необходимостью в отношении истинности или ложности суждения «Некоторые слова не записаны чёрными буквами»? Итак, отношения равнозначности, подчинения и частичного совпадения характеризуют суждения, являющиеся совместимыми, т. е. выражающими одну и ту же мысль полностью (суждения в отношении равнозначности) или в некоторой части (суждения в отношении подчинения и частичного совпадения).

Как было отмечено выше, помимо совместимых суждений существует класс несовместимых суждений, т. е. не выражающих одну и ту же мысль полностью или в некоторой части, принципиально не могущих быть одновременно и в одном и том же отношении истинными, иначе происходит нарушение уже известных нам законов противоречия и исключённого третьего. К несовместимым суждениям относятся простые категорические атрибутивные суждения, находящиеся в отношениях противоположности (противности, контрарности) и противоречия (контрадикторности).

В отношении противоположности (контрарности) находятся суждения с

одинаковыми терминами, являющиеся общими по количеству и имеющие разное качество. Из истинности одного из противоположных суждений логически следует ложность другого согласно закону контрарного противоречия (SaP |= SeP, SeP |= SaP), но ложность одного из них оставляет другое суждение неопределённым.

· Примеры

«Если верно, что ни один из нас не лжёт, то неверно, что всякий из нас говорит ложь», но если «Неверно, что все птицы улетают на юг», то следует ли из этого что-либо с логической необходимостью в отношении истинности или ложности суждения «Все птицы не улетают на юг»?

В отношении противоречия (контрадикторности) находятся суждения с

· Примеры

Дедуктивным является рассуждение: «Если верно, что все присутствовавшие

на лекции поняли излагавшийся учебный материал, то неверно, что некоторые из присутствовавших на этой лекции не поняли излагавшегося учебного материала».

МОДАЛЬНОСТЬ СУЖДЕНИЙ

Модальность (от лат.modus – мера, способ) – это выраженная в суждении дополнительная информация о логическом или фактическом статусе суждения, о регулятивных, оценочных, временных, нормативных и других его характеристиках.

СВОДНАЯ ТАБЛИЦА ВИЛОВ МОДАЛЬНОСТЕЙ

Характеристика модальности	Алетическая модальность	Эпистемич. модальность	Деонтическая модальность	Аксилоги- ческая мод.	Временная модальность
Факти-ческая	Логическая	Знания	Убеждения	абсолютная	сравнительная	абсолютная	сравнительная
Сильная положительная	Факт. Необход. (H)	Лог. Необ. (N)	Доказуемость (G)	Предполагаемость, убежденность (R)	Обязательность, Нормативность ( O )	Хорошо ( G )	Луч- ше ( B )	Всегда	Раньше
Слабая нейтральная	Факт. Случайность (C)	Логич. Случайность (S)	Неразрешимость, непроверяемость (U)	Сомневаемость (W)	Безразличность ( I )	Аксиологии-чески Безразлично ( I )	Равнодушно ( S )	Только иногда	Одновременно
Сильная отрицательная	Фактич. Невозмож. ( B)	Логиче-ская Невозм. ( М)	Опровержимость, Фальсифицируемость (Е)	Отвергаемость ( V)	Запрещаемость ( F )	Плохо ( H )	Хуже ( A)	Никогда	Позже
Слабая положительная	Фактич. возможность ( B)	Логиче-ская возможность ( М)	Предполагаемость, гипотетич. ( T)	Допускаемость ( D )	Разрешеннность ( P )	-	-	-	-

Вопросы для самоконтроля:

1. Что такое суждение?

2. Какие виды суждений?

3. Какова распределенность терминов в простом атрибутивном ассерторическом суждении?

4. Что такое модальные суждения?

Задания для самостоятельной работы:

I. Выявите среди приведённых ниже выражений одинаковые по логической

форме и укажите их логическое содержание (вид суждения, распределенность терминов в простом атрибутивном ассерторическом суждении:

1.1. Большинство учащихся в нашей группе хорошо учится.

12. Все дороги ведут в Рим.

1.3. Всё сгнило в Датском королевстве.

1.4. Уральские горы отделяют Европу от Азии.

1.5. Каждый квадрат является ромбом.

1.6. На миру и смерть красна.

1.7. Любой творящий зло не является нравственным.

1.8. Ошибочно решение о продаже акций, которое Вы приняли вчера.

1.9. Некоторые законы устарели.

1.10. Некоторые слова не являются однокоренными.

1.11. Ни один стул не является трюмо.

1.12. Никто не обнимет необъятного.

1.13. Свой дурак дороже чужого умника.

1.14. Сейчас уже нет Дон Кихотов.

1.15. Часть планет не имеет атмосферы.

1.16. Великобритания является конституционной монархией.

II. Подберите по два примера:

1. Логически правильных рассуждений, приводящих к истинному результату.

2. Логически неправильных рассуждений, приводящих к истинному результату.

3. Логически неправильных рассуждений, приводящих к ложному результату.

III. Составьте высказывания типа A, I, E, O , соблюдая распределенность терминов:

3.1. Задача, заданная на дом ( S+ ), трудная задача ( P+ ).

3.2. Педагог (S-), учитель (P+).

3.3. Русский ученый (S-), лауреат Нобелевской премии (P-).

3.4. Шоссе (S+), дорога с твердым покрытием (P-).

3.5. Животное (S-), многоклеточный организм (P+).

3.6. Паук (S+), позвоночное животное (P+).

3.7. Пантера (S+) , травоядное животное (P+).

IV. Определите вид модального суждения:

4.1. Доказано, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов его катетов.

4.2. Запрещено распространять ничем необоснованные, порочащие человека сведения.

4.3. Лучше проводить отдых на море, чем в пустыне.

4.4. Ньютон был убежден, что алхимия – это наука.

4.5. Сомнительно, что инопланетяне существуют.

4.6. Возможно, что вечный двигатель будет создан.

4.7. Опровергнуто, что двигатель с к.п.д. 100% может быть создан.

4.8. То, что сегодня пошел снег – чистая случайность.

4.9. Хорошо то, что хорошо кончается.

4.10. Раньше солнце светило ярче.

4.11. Никогда не говори никогда.

4.12. Убежден, что люди откроют новые галактики.

4.13. Полагаю, что художники Возрождения были религиозными людьми.

4.14. Возможно некоторые студенты нашей группы станут мастерами спорта.

Сложные суждения

Сложными являются суждения, в которых можно выделить правильные части, являющиеся суждениями. Они образуются из нескольких простых или других сложных суждений с помощью логических союзов. Под логическим союзом понимается содержательная связь между тематически близкими высказываниями, которая в повествовательном предложении может и не выражаться.

Основные логические союзы:

А) конъюнкция (соединение). В естественном языке выражается союзами «и», «а», «но», «да», «однако», «хотя, но», либо она может быть обозначена знаками препинания( ., ). Сложные высказывания, образуемые при помощи этого союза называются соединительными, или конъюнктивными.

Например, «В парке играет музыка, и кружатся пары в вальсе». На языке логики высказываний можем его записать в формуле (P ^ Q) , где «P» обозначили простое высказывание «В парке играет музыка», а Q – «Кружатся пары в вальсе».

Сложные конъюнктивные суждения обладают свойствами коммутативности

(перестановочности). Но могут быть и некоммутативно-конъюнктивными, в которых утверждается последовательное возникновение или существование двух или более ситуаций, где описывается причинно-следственная взаимосвязь, например, « Сидоров вышел на улицу и сломал ногу».

Кроме сложносочиненных повествовательных предложений с явно выраженными простыми предложениями, как приведенное выше, соединительные высказывания могут выражаться простыми предложениями:

1) с несколькими подлежащими при одном сказуемом: «Тигр и ягуар – хищники»;

2) с несколькими сказуемыми при одном подлежащем: «Автомобиль съехал с дороги и перевернулся»;

3) с несколькими подлежащими при нескольких сказуемых: «Санатории и дома отдыха служат для оздоровления трудящихся и находятся под опекой профсоюзов».

В первом примере число членов конъюнкции равно числу подлежащих, во втором – числу сказуемых, в третьем – сумме подлежащих и сказуемых. Как зависит логическое значение конъюнктивного высказывания от логических значений входящих в его состав простых. Например, рассмотрим высказывание « Хотя светит солнце, но идет дождь». Его логическая формула запишется как P ^ Q.

P	Q	( P ^ Q )
и	и	и
и	л	л
л	и	л
л	л	л

Приведенная мысль может быть высказана в следующих ситуациях:

А) солнце на дворе действительно светит, и на дворе действительно идет дождь;

В) солнце светит, но дождь не идет;

С) на дворе пасмурно, и идет дождь;

D) на дворе пасмурно, но дождь не идет.

Приведенное суждение является адекватным только первой ситуации, остальные три оно искажает.

Отсюда можно заключить, что конъюнктивное суждение должно признаваться истинным только в том случае, когда все входящие в его состав простые высказывания истинны. Преобразовать ложную конъюнкцию в истинную можно двояким образом: или исключить из нее ложные члены, или подвести их под отрицание, что превратит их в истинные.

В) Простая дизъюнкция

Простая дизъюнкция (разделение) — логический союз, соответствующий двум смысловым значениям грамматического союза «или», «либо». С помощью этого союза образуются разделительные, или дизъюнктивные высказывания.

Разделительными называются сложные высказывания, состоящие из двух и более простых, соединенных логическим союзом «или». Простые высказывания в составе сложного называются членами дизъюнкции, или дизъюнктами, а название союза переносится на сложное высказывание.
Дизъюнкция бывает полной, или закрытой, если в ней перечислены
все возможные случаи, и неполной, или открытой, когда перечислены только некоторые из возможных случаев. Так, высказывание «Деревья бывают или лиственные, или хвойные» представляет собой закрытую дизъюнкцию, ибо предполагается, что других деревьев, кроме лиственных и хвойных, не существует, а высказывание «Леса бывают или лиственные, или хвойные» — открытую так как, кроме перечисленных, существуют еще смешанные леса.

В естественном языке союз «или» может употребляться в двух смыслах:
соединительно-разделительном, когда он связывает характеристики не исключающие друг друга и совмещаемые в одном предмете, или такие причины, которые вызывают одно и то же следствие, действуя в отдельности или вместе, истрого-разделительном, если выраженные членами дизъюнкции характеристики не могут совмещаться в одном предмете. В высказывании «Эффективность производства достигается или повышением производительности труда, или укоренением новых технологий, или повышением цены на производимый продукт» союз «или» употреблен в соединительно-разделительном смысле и может быть заменен союзом «и». В высказывании «По объему имя может быть или единичным, или общим, или нулевым» тот же союз связывает не совместимые в одном предмете признаки. Первый смысл союза «или» называется слабой дизъюнкцией, а второй — строгой дизъюнкцией.

Слабой дизъюнкцией, таким образом, является такое высказывание, в котором утверждается истинность по крайней мере одного из простых высказываний. Когда, например, узнав, что кто-то хорошо разбирается в автомобилях, мы выскажем предположение, что он или механик, или водитель, мы не ошибемся, если этот человек окажется:

а) механиком и водителем; б) механиком, но не водителем; в) водителем, но не механиком. Наше предположение будет ложным только в том случае, когда человек, о котором мы высказали предположение, не имеет никакого отношения к названным профессиям.

P	Q	( P V Q )
и	и	и
и	л	и
л	и	и
л	л	л

Зависимость логического значения разделительного высказывания со слабой дизъюнкцией от логического значения ее членов показано в выше приведенной таблице. Слабая дизъюнкция истинна только тогда, когда по крайней мере один ее член истинен, и ложна, когда все ее члены ложны.

Строгая дизъюнкция — это сложное высказывание, в котором утверждается, что из образующих его простых высказываний только одно истинное, а остальные ложны. Она отличается от слабой дизъюнкции тем, что в последней допустима истинность всех членов дизъюнкции, а в строгой - истинность одного из ее членов исключает истинность остальных. Строгую дизъюнкцию высказывают в тех случаях, если знают, что из двух или более предположений только одно истинное, хотя и не знают, какое именно.

Зависимость логического значения строгой дизъюнкции от логических значений ее членов показана в ниже приводимой таблице.

Строгая дизъюнкция (иногда ее называют исключающей) истинна только тогда, когда лишь один ее член истинен, а остальные — ложны.