ПРИНЦИП ОБЪЕМНОСТИ (экстенсиональности) (от лат. Extentio - протяжение)

— принцип теории множеств, суть которого в том, что два множества (класса), состоящие из одних и тех же элементов, равны (совпадают, являются равнообъемными). Применительно к логике П. о. можно сформулировать так: два предиката (свойства, отношения, понятия) могут быть отождествлены друг с другом (являются неразличимыми в определенном смысле), коль скоро они имеют один и тот же объем. Так, множества, соответствующие предикатам (и соответствующим им понятиям) «равносторонние прямоугольники» и «равноугольные ромбы», одни и те же: они представляют собой множество квадратов. Эти понятия можно отождествлять между собой, сделать неразличимыми в отношении доказательства теорем. В классической логике широко используется этот принцип. Но в опытных науках П.о. постоянно нарушается: приходится различать равнообъемные понятия по свойствам, которые в них зафиксированы. Эти свойства могут быть существенными и несущественными, более существенными и менее существенными для решения различных задач. Так, два понятия - «животное, способное производить орудия труда» и «животные, обладающие мягкой мочкой уха» - равнообъемны: они выделяют, специфицируют один и тот же класс - класс людей. Но во многих случаях мы не можем их отождествлять, напр., когда пытаемся дать определение человека как общественного существа. Из двух определений «Человек есть животное, способное производить орудия труда» и «Человек есть животное, обладающее мягкой мочкой уха» мы безусловно выберем первое и отвергнем второе.

ПРИНЦИП ОДНОЗНАЧНОСТИ

-один из трех основных принципов теории отношения именования (обозначения). Согласно П.о. всякое выражение (имя) должно иметь только один денотат, т. е. обозначать только один предмет, класс предметов или свойство. П.о. исключает омонимию, т. е. обозначение одним словом разных вещей, напр.: ключ от квартиры и ключ в лесу, из которого пьют (см.: Имя, Обозначения отношение).

ПРИНЦИП ПРЕДМЕТНОСТИ

-один из трех основных принципов теории отношения именования (обозначения) Фреге — Рассела. Согласно П.п. всякое предложение говорит о денотатах входящих в него выражений. Напр., предложение «В России много крупных озер» говорит о нашей Родине и об озерах, а не о словах, их обозначающих. П.п. кажется достаточно очевидным, однако, когда нам приходится говорить о самих языковых выражениях, возможна путаница: смешение выражений с их денотатами (см.: Имя, Автонимное употребление выражений).

ПРИЧИННАЯ СВЯЗЬ

— физически необходимая связь между явлениями, при которой за одним из них всякий раз следует другое. Первое явление называется причиной, второе — действиемили следствием. Понятие «П. с.» — одно из тех понятий, без ссылки на которое обходится только редкое из наших рассуждений. Знание явлений — это прежде всего знание их возникновения и развития. В старину между стенами здания, подлежащего сносу, помещали прочный железный стержень и разводили под ним костер. От нагревания стержень удлинялся, распирая стены, и они разваливались. Нагревание здесь причина, расширение стержня - ее следствие. Камень попадает в окно, и оно разлетается на осколки. Молния ударяет в дерево, оно раскалывается и обугливается. Извергается вулкан, пепел засыпает многометровым слоем город, и он гибнет. Начинается дождь, и на земле через некоторое время образуются лужи. Во всех этих случаях одно явление — причина — вызывает, порождает, производит и т. п. другое явление — свое следствие.

П. с. не дана в опыте, ее можно установить только посредством рассуждения. В логике разработаны определенные методы проведения таких рассуждений, получившие название канонов, или методов, индукции. Первая формулировка этих методов была дана еще в начале XVII в. англ. философом Ф. Бэконом. Систематически они были исследованы в прошлом веке англ. философом и логиком Д. С. Миллем. Отсюда их наименование — «каноны (методы) Бэкона — Милля».

Методы индукции опираются на определенные свойства причинной связи.

(1) Причина всегда предшествует во времени следствию. Основываясь на этом свойстве, мы всегда ищем причину интересующего явления только среди тех явлений, которые предшествовали ему, и не обращаем внимания на все, что случилось позднее.

(2) П. с. необходима: всякий раз, когда есть причина, неизбежно наступает и следствие. Необходимость, присущая П. с., является физической необходимостью, присущей законам природы и наз. также онтологической, или каузальной, необходимостью. Физическая необходимость, как принято считать, слабее логической необходимости, присущей законам логики: логически необходимое является также физически необходимым, но не наоборот.

(3) Причина не только предшествует следствию и всегда сопровождается им, она порождает и обусловливает следствие. Понятие «порождения» не является ясным и носит во многом антропоморфный характер, но без него нельзя однозначно охарактеризовать П. с. Без него не удается, в частности, отличить причину от повода,т. е. события, непосредственно предшествуюшего другому событию, делающему возможным его наступление, но не порождающему и не определяющему его. Допустим, на нитке подвешен камень. Нитка перерезается, камень падает. Ясно, что перерезание нитки - только повод, а причина - земное притяжение. Если бы камень лежал на полу или находился в состоянии невесомости, он, лишенный подвески, все-таки не упал бы. Понятие порождения необходимо и для отличения П.с. от постоянного следования явлений друг за другом, не являющегося причинным. День постоянно и с физической необходимостью наступает после ночи, но ночь не порождает день и потому не является его причиной.

(4) Для П. с. характерно, что с изменением интенсивности или силы действия причины соответствующим образом меняется и интенсивность следствия.

(5) Причинность, наконец, всеобща: нет и не может быть беспричинных явлений; все в мире возникает только в результате действия определенных причин. Это - т. наз. закон, или принцип, причинности, требующий естественного объяснения явлений природы и общества и исключающий их объяснение с помощью каких-то сверхъестественных сил.

Логические связи утверждений о П. с. исследуются логикой причинности, возникшей в 50-е годы этого века.

ПРИЧИННОСТИ ЛОГИКА

- раздел современной логики, занимающийся исследованием структуры и логических отношений высказываний о причинных связях явлений (каузальных высказываний). Понятие причинности является одним из центральных как в науке, так и в философии науки. Причинная связь не является логическим отношением. Но то, что причинность несводима к логике, не означает, что проблема причинности не имеет никакого логического содержания и не может быть проанализирована с помощью логики. Задача логического анализа причинности заключается в систематизации тех правильных схем рассуждений, посылками или заключениями которых служат каузальные высказывания. В этом плане П. л. ничем не отличается, скажем, от логики времени или логики знания, целью которых является построение искусственных (формализованных) языков, позволяющих с большей ясностью и эффективностью рассуждать о времени или знании.

В П. л. связь причины и следствия представляется особым условным высказыванием — каузальной импликацией. Последняя иногда принимается в качестве исходного, неопределяемого явным образом понятия. Смысл ее задается множеством аксиом. Чаще, однако, такая импликация определяется через другие, более ясные или более фундаментальные понятия. В их числе понятие онтологической (каузальной, или фактической) необходимости, понятие вероятности и др.

Необходимость логическая присуща законам логики, онтологическая необходимость характеризует закономерности природы и, в частности, причинные связи. Выражение «A есть причина В» («А каузально имплицирует B») можно определить как «онтологически необходимо, что если A, то В», отличая тем самым простую условную связь от каузальной импликации.

Через вероятность причинная связь определялась так: событие A есть причина события В, только если вероятность события A больше нуля, оно происходит раньше В и вероятность наступления В при наличии A выше, чем просто вероятность В.

Понятие причинной связи определялось и с помощью понятия закона природы: A каузально влечет В, только если из A не вытекает В, но из А, взятого вместе с множеством законов природы, логически следует В. Смысл этого определения прост: причинная связь не является логической, следствие вытекает из причины не в силу законов логики, а на основании законов природы.

Для причинной связи верны, в частности, утверждения:

• >> ничто не является причиной самого себя;
• >> если одно событие есть причина второго, то второе не является причиной первого;
• >> одно и то же событие не может быть одновременно как причиной наличия какого-то события, так и причиной его отсутствия;
• >> нет причины для наступления противоречивого события и т. п.

Слово «причина» употребляется в нескольких смыслах. Наиболее сильный из них предполагает, что имеющее причину не может не быть, т. е. не может быть ни отменено, ни изменено никакими событиями или действиями. Наряду с этим понятием полной, или необходимой, причины существует также более слабое понятие частичной, или неполной, причины. Для полной причины выполняется условие: «Если событие А каузально имплицирует событие В, то А вместе с любым событием С также каузально имплицирует B». Для неполной причины верно, что в случае всяких событий а и В, если А есть частичная причина В, то существует такое событие С, что А вместе с С является полной причиной В, и вместе с тем неверно, что А без С есть полная причина В. Иначе говоря, полная причина всегда, или в любых условиях, вызывает свое следствие, в то время как частичная причина только способствует наступлению своего следствия, и это следствие реализуется лишь в случае объединения частичной причины с иными условиями.

П.л. строится так, чтобы в ее рамках могло быть получено описание и полных, и неполных причин. П. л. находит приложения при обсуждении понятий закона природы, онтологической необходимости, детерминизма и др.

ПРОБЛЕМА (от греч. problema - преграда, трудность, задача)

— вопрос или целостный комплекс вопросов, возникший в ходе познания. Не каждая П., однако, сразу же приобретает вид явного вопроса, так же как не всякое исследование начинается с выдвижения П. и кончается ее решением. Иногда П. формулируется одновременно с ее решением, случается даже, что она осознается только через некоторое время после ее решения. Зачастую поиск П. сам вырастает в особую П.

В широком смысле проблемная ситуация — это всякая ситуация, теоретическая или практическая, в которой нет соответствующего обстоятельствам решения и которая заставляет поэтому остановиться и задуматься.

От П. принято отличать псевдопроблемы — вопросы, обладающие лишь кажущейся значимостью и не допускающие сколь-нибудь обоснованного ответа. Между П. и псевдопроблемами нет, однако, четкой границы.

Из многочисленных факторов, оказывающих влияние на способ постановки П., особое значение имеют, во-первых, характер мышления той эпохи, в которую формируется и формулируется П., и, во-вторых, уровень знания о тех объектах, которых касается возникшая П. Каждой исторической эпохе свойственны свои характерные формы проблемных ситуаций; в древности П. ставились иначе, чем, скажем, в средние века или в современной науке. В хорошо проверенной и устоявшейся научной теории проблемные ситуации осознаются по-другому, чем в теории, которая только складывается и не имеет еще твердых оснований.

Основы логико-семантического истолкования П. были заложены в работах математика А. Н. Колмогорова (1903-1985), С. К. Клини и др. Согласно Колмогорову, возможна логика, систематизирующая схемы решения задач. Понятия «задача» и «решение задачи» принимаются в качестве исходных; логические задачи истолковываются как операции, позволяющие получать новые задачи из уже имеющихся задач. (А и В) означает задачу: решить обе задачи А и В; (А или В) — решить хотя бы одну из задач A, В; (если А, то В) означает задачу: свести задачу В к задаче A; (не-А) означает задачу: предположив, что дано решение A, прийти к противоречию.

Одной из форм П. является неразрешимая П.: ее «решением» выступает доказательство ее неразрешимости. Напр., разрешения П. для логики предикатов первого порядка неразрешима: не существует эффективной процедуры, которая позволяла бы для всякой формулы определить, является она теоремой или нет. Доказательство этого факта, данное в 1936 г. амер. логиком А. Чёрчем (р. 1903), дало первый пример неразрешимой П.

ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНАЯ СВЯЗКА

-операция, позволяющая из данных суждений (высказываний) строить новые суждения (высказывания). В логике высказываний высказывания (формулы) рассматриваются лишь с точки зрения их истинности или ложности. Если A и В - к.-л. формулы (простые, элементарные или сложные, построенные из элементарных), то из них с помощью П. с. могут строиться новые формулы: А & В, AvB, A-> B, А = В, если А - формула, то ~А - также формула. Символы «&», «v», «->», «=», «~» выражают П. с., которые определяются на семантическом, содержательно-алгоритмическом уровне при помощи таблиц истинности. Эти П. с. соответственно называются: конъюнкцией, дизъюнкцией, импликацией, эквиваленцией, отрицанием. Смысл П. с. в русском языке передается при помощи следующих выражений: конъюнкция - с помощью союзов «и», «а», «но», «хотя» и др.;

дизъюнкция (нестрогая) — с помощью выражений: «или», «или, или оба»;

импликация — с помощью выражений «если..., то», «влечет», «следует» (ср.: «Если А, то В», «А влечет В», «Из А следует В»);

эквиваленция - с помощью выражений «эквивалентно», «равносильно», «тогда и только тогда», «если и только если»;

отрицание — с помощью выражений «не», «неверно, что».

ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ

-функция, область значений которой составляют высказывания, обладающие определенным истинностным значением. По своей структуре П. ф. сходна с грамматическим предложением, но отличается от последнего наличием переменных, которые пробегают какое-то множество объектов; П. ф. ставит в соответствие этим объектам высказывания.

Примером П. ф. может служить выражение «х есть простое число». Имея форму грамматического предложения, оно не является высказыванием: о нем нельзя сказать, что оно истинно или ложно, его нельзя доказать или опровергнуть. Из этого выражения в результате замены переменной х некоторым числом получается высказывание. Если вместо переменной подставить число 11, получится истинное высказывание, если 8 — ложное. Несколько более сложным выражением, содержащим переменные и превращающимся при замене этих переменных постоянными в высказывание, является формула x + у = 10.

Роль переменных в П. ф. можно сравнить с ролью пробелов, оставляемых в опросном бланке: такой бланк приобретает определенное содержание только после заполнения пробелов. Точно так же П.ф. превращается в высказывание лишь после того, как переменные заменены в ней постоянными.

В обычном языке переменные не встречаются, но есть конструкции, напоминающие их, напр. «кто-то» и «какой-то» служат именами неопределенных людей. Из выражения «Кто-то первым достиг Южного полюса» получается истинное высказывание, если подставить имя «Амундсен», и ложное при подстановке имени «Скотт». Употребление переменных не столь существенно отличается, таким образом, от некоторых конструкций обычного языка.

Из П. ф. высказывание может быть получено не только путем замены переменных постоянными, но и с помощью кванторов. Так, из выражения «х есть отец у», используя кванторы «все» и «некоторый» («существует»), можно получить истинное высказывание «Для всякого у существует такой х, что есть отец у» («Всякий человек имеет отца») или ложное высказывание «Существует х, являющийся отцом всякого у» («Есть человек, являющийся отцом каждого»).

Термин «П. ф.» введен в логику англ. философом и логиком Б. Расселом (1872-1970).