Электронная теория электропроводности металлов. Дифференциальная форма законов Ома и Джоуля — Ленца. Законы Ома и Джоуля – Ленца в электронной теории
Объяснение различных свойств вещества существованием и движением в нем электронов составляет содержание электронной теории.
В 1916 г. Стюарт и Толмэн, обобщая результаты экспериментов по электропроводности металлов, установили, что в металлах носителями тока являются свободные электроны. На основании этого утверждения Лоренц и Друде создали классическую электронную теорию проводимости металлов. Лоренц считал, что свободные электроны в металле находятся в состоянии беспорядочного непрерывного движения, и в этом смысле совокупность электронов в металле представляет «электронный газ». Состояние этого газа подчиняется основным законам молекулярной физики. Также предполагалось, что движение электронов подчиняется законам классической механики.
Чтобы упростить соответствующие расчеты, допустим, что все электроны проходят между двумя последовательными соударениями одинаковые расстояния, равные средней длине свободного пробега электронов 
. При каждом соударении электрон передает решетке накопленную энергию полностью и поэтому после соударения начинает движение без начальной скорости.
Вычислим плотность тока 
, возникающего в металле под действием электрического поля с напряженностью 
.
Так как электрон несет заряд e, то плотность тока равна заряду, перенесенному электронами в единицу времени через единичную поверхность, и определится как
, (8.1)
где 
– концентрация электронов проводимости; 
– заряд электрона;
– средняя скорость упорядоченного (направленного) движения электронов.
На каждый электрон действует сила 
, и электрон приобретает ускорение
.
Поэтому к концу свободного пробега скорость электрона
, (8.2)
где 
– среднее время между двумя соударениями.
Так как электрон между соударениями движется ускоренно, то среднее значение скорости равно половине ее максимального значения
. (8.3)
Среднее время между двумя соударениями (время ускоренного движения) определяется по формуле
, (8.4)
где 
– средняя скорость теплового (хаотического) движения электронов; l – длина свободного пробега электронов.
Подставляя (8.4) в (8.3), находим
. (8.5)
Из этой формулы видно, что средняя скорость упорядоченного движения пропорциональна напряженности электрического поля . Поэтому можно записать
,
где 
не зависит от напряженности электрического поля. Величину b называют подвижностью электронов. Она равна скорости упорядоченного движения в поле с напряженностью, равной единице.
Подставляя найденное значение скорости по (8.5) в выражение плотности тока (8.1), найдем
. (8.6)
Это выражение представляет собой закон Ома, определяющий, что плотность тока пропорциональна напряженности электрического поля.
Коэффициент пропорциональности
, (8.7)
зависящий от материала проводника и внешних условий, получил название удельной электропроводности. Удельная электропроводность зависит от средней скорости хаотического движения электронов, которая в свою очередь зависит от температуры
.
Поэтому формула (8.7) объясняет факт уменьшения электропроводности с увеличением температуры металла.
В общем виде Закон Ома в дифференциальной форме записывается
.
К концу свободного пробега электроны приобретают под действием электрического поля кинетическую энергию
. (8.8)
При соударении вся эта энергия передается решетке и переходит в тепло. В единицу времени каждый электрон испытывает 
соударений. Так как в единице объема содержится 
электронов, то количество тепла 
, выделяемое в единице объема металла в единицу времени, определится по формуле
.
Воспользовавшись формулой (7.18), получим
. (8.9)
Формула (7.18) выражает закон Джоуля–Ленца в дифференциальной форме.
Таким образом, представление о свободных электронах в металлах объясняет законы Ома и Джоуля–Ленца. Однако дальнейшее развитие этой теории, встречает существенные трудности, которые можно преодолеть лишь с помощью квантовой теории.