Энергия магнитного поля

Проводник, по которому протекает электрический ток, всегда окружен магнитным полем, причем магнитное поле появляется и исчезает вместе с появлением и исчезновением тока. Магнитное поле, подобно электрическому, является носителем энергии. Естественно предположить, что энергия магнитного поля равна работе, которая затрачивается током на создание этого поля.

Рассмотрим контур индуктивностью L, по которому течет ток I. С данным контуром сцеплен магнитный поток (см. (30.1)) Ф = L×I, причем при изменении тока на dI магнитный поток изменяется на dФ = L×dI. Однако для изменения магнитного потока на величину dФ (см. § 5.25) необходимо совершить работу dA = I×dФ = L×I×dI. Тогда работа по созданию магнитного потока Ф будет равна

A = = LI². (32.1)

Следовательно, энергия магнитного поля, связанного с контуром, равна

W = LI². (32.2)

Исследование свойств переменных магнитных полей, в частности распространения электромагнитных волн, явилось доказательством того, что энергия магнитного поля локализована в пространстве. Это соответствует представлениям теории поля.

Энергию магнитного поля можно представить как функцию величин, характеризующих это поле в окружающем пространстве. Для этого рассмотрим частный случай - однородное магнитное поле внутри длинного соленоида. Подставив в формулу (32.2) выражение (30.6), получим

W = mm₀ S = mm₀ S. (32.3)

Так как в случае длинного соленоида магнитная индукция внутри него (см. (30.10)) равен:

В=mm₀nI, (32.4)

где n=N/l – число витков на единицу длины, V = Sl – объем (см. § 6.30), то выражение (32.3) примет вид

W = . (32.5)

В (32.3) N – число витков, I – сила тока измеряется в амперах. Поэтому часто говорят, что произведение NI определяет число ампер-витков соленоида. Соответственно, в (32.4) произведение nI называют числом ампер-витков на единицу длины (метр).

Магнитное поле длинного соленоида однородно и отлично от нуля только внутри него. Следовательно, энергия (32.5) локализована внутри соленоида и распределена по его объему с постоянной плотностью w, которую можно найти, разделив W на V:

w = = . (32.6)

Так как В = mm₀Н (30.10), то соотношение (32.6) можно представить в виде:

w = = = . (32.7)

Выражение (32.7) для объемной плотности энергии магнитного поля имеет вид, аналогичный формуле (15.3) для объемной плотности энергии электростатического поля, с той разницей, что электрические величины заменены в нем магнитными. Формула (32.7) выведена для однородного поля, но она справедлива и для неоднородных полей. Выражение (32.7) справедливо только для сред, для которых зависимость В от Н линейная, т.е. оно относится только к пара- и диамагнетикам (см. главу 7).

Контрольные вопросы

1 В чем заключается явление электромагнитной индукции? Что является причиной возникновения ЭДС индукции в замкнутом проводящем контуре? От чего и как зависит ЭДС индукции, возникающая в контуре?

2 Почему для обнаружения индукционного тока лучше использовать замкнутый проводник в виде катушки, а не в виде одного витка провода?

3 Сформулируйте правило Ленца, проиллюстрировав его примерами.

4 Всегда ли при изменении потока магнитной индукции в проводящем контуре в нем возникает ЭДС индукции? индукционный ток?

5 Возникает ли индукционный ток в проводящей рамке, поступательно движущейся в однородном магнитном поле?

6 Какова природа ЭДС электромагнитной индукции?

7 Выведите выражение для ЭДС индукции в плоской рамке, равномерно вращающейся в однородном магнитном поле. За счет чего ее можно увеличить?

8 Что такое вихревые токи? Вредны они или полезны?

9 Почему сердечники трансформаторов не делают сплошными?

10 В чем заключаются явления самоиндукции и взаимной индукции?

11 Какая физическая величина выражается в генри? Дайте определение генри.

12 В чем заключается физический смысл индуктивности контура? взаимной индуктивности двух контуров? От чего они зависят?

13 Запишите и проанализируйте выражения для объемной плотности энергии электростатического и магнитного полей. Чему равна объемная плотность энергии электромагнитного поля?

17 Индукция магнитного поля возросла в два раза. Как изменилась объемная плотность энергии магнитного поля?

18 Какие меры необходимо предпринимать для предотвращения разрушительных последствий при замыкании и размыкании цепей, содержащих катушки с большой индуктивностью (электромагниты, электродвигатели, электрогенераторы, трансформаторы)?

Тесты

1. Катушка длиной L=50 см и диаметром d=5 см содержит N=200 витков. По катушке течет ток I=1 А. Определите индуктивность катушки. Магнитная постоянная m₀=4p×10^-7 Гн/м.

А) 177 мкГн

В) 187 мкГн

С) 197 мкГн

Д) 207 мкГн

Е) 217 мкГн

2. В магнитном поле, индукция которого равна В, вращается стержень длиной L с постоянной угловой скоростью w. Ось вращения перпендикулярна стержню, проходит через его конец и параллельна линиям индукции магнитного поля. ЭДС индукции, возникающая в стержне, равна …

А) BL2w

В) BL2w

С) BL2w

Д) BL2w

Е) BL2w

3. Две длинные катушки намотаны на общий сердечник, причем индуктивности этих катушек L₁=0,64 Гн и L₂=0,04 Гн. Определите, во сколько раз число витков первой катушки больше, чем у второй.

А) 4 раза

В) 8 раз

С) 16 раз

Д) 128 раз

Е) 256 раз

4. Плоская горизонтальная фигура площадью S=0,1 м², ограниченная проводящим контуром, имеющим сопротивление R=5 Ом, находится в однородном магнитном поле. Какой заряд протечет по контуру за большой промежуток времени, пока проекция магнитной индукции на вертикаль равномерно меняется с В_1Z=2 Тл до В_2Z=-2 Тл?

А) 0,04 Кл

В) 0,06 Кл

С) 0,08 Кл

Д) 0,1 Кл

Е) 0,12Кл

5. Чему равна индуктивность соленоида, если при протекании по виткам соленоида тока силой 5 А, его пронизывает магнитный поток 0,5 Вб?

А) 10 мГн

В) 100 мГн

С) 1 000 мГн

Д) 250 мГн

Е) 25 мГн

6. По длинному соленоиду с немагнитным сердечником (m=1) сечением S=5 см², содержащему N=1 200 витков, течет ток силой I=2 А. Индукция магнитного поля в центре соленоида В=10 мТл. Определите его индуктивность.

А) 1 мГн

В) 2 мГн

С) 3 мГн

Д) 4 мГн

Е) 5 мГн

7. Однородное магнитное поле с индукцией В перпендикулярно к плоскости кольца, изготовленного из медной проволоки. Радиус кольца R=10 см. Диаметр проволоки d=2 мм. С какой скоростью должна изменяться во времени магнитная индукция В, чтобы индукционный ток в кольце равнялся 10 А? Удельное сопротивление меди r=1,7×10^-8 Ом×м.

А) 1,02

В) 1,08

С) 1,14

Д) 1,20

Е) 1,26

8. Катушка без сердечника длиной l=50 см содержит N=200 витков. По катушке течет ток I=1 А. Определите объемную плотность энергии магнитного поля внутри катушки. Магнитная постоянная m₀=4p×10^-7 Гн/м.

А) 0,5

В) 0,4

С) 0,3

Д) 0,2

Е) 0,1

9. Энергия магнитного поля соленоида, в котором при силе тока 10 А возникает магнитный поток 1 Вб, равна …

А) 25 Дж

В) 5 Дж

С) 10 Дж

Д) 20 Дж

Е) 100 Дж

10. Металлический диск радиусом r=10 см, расположенный перпендикулярно магнитному полю с индукцией В=1 Тл, вращается вокруг оси, проходящей через центр, с частотой n=100 с^-1. Два скользящих контакта (один на оси диска, другой – на окружности) соединяют диск с реостатом сопротивлением R=5 Ом. Чему равна тепловая мощность, выделяемая на реостате?

А) 0,5 Вт

В) 1 Вт

С) 2 Вт

Д) 4 Вт

Е) 5 Вт

11. В однородном магнитном поле, индукция которого В=50 мТл, вращается стержень длиной L=1 м с постоянной угловой скоростью w=20 рад/с. Ось вращения проходит через конец стержня и параллельно силовым линиям поля. Найдите ЭДС индукции, возникающую на концах стержня.

А) 4,5 В

В) 3,5 В

С) 2,5 В

Д) 1,5 В

Е) 0,5 В

12. Медный куб с длиной ребра а=10 см скользит по столу с постоянной скоростью V=10 м/с, касаясь стола одной из плоских поверхностей. Вектор индукции магнитного поля направлен вдоль поверхности стола перпендикулярно вектору скорости куба. Найдите модуль вектора напряженности электрического поля, возникающего внутри металла, если модуль вектора индукции В=0,2 Тл.

А) 2 000 В/м

В) 200 В/м

С) 20 В/м

Д) 2 В/м

Е) 0,2 В/м

13. Определите магнитный поток через площадь поперечного сечения катушки (без сердечника), имеющей на каждом сантиметре длины n=8 витков. Радиус соленоида r=2 см, а сила тока в нем I=2 А. Магнитная постоянная m₀=4p×10^-7 Гн/м.

А) 1,53 мкВб

В) 2,53 мкВб

С) 3,53 мкВб

Д) 4,53 мкВб

Е) 5,53 мкВб

14. Как выражается единица индуктивности в системе СИ через единицы напряжения, силы тока и времени?

А)

В)

С)

Д)

Е)

15. В однородном магнитном поле, индукция которого равна 0,1 Тл, равномерно вращается катушка, состоящая из 100 витков проволоки. Площадь поперечного сечения катушки 100 см². Ось вращения катушки перпендикулярна оси катушки и направлению магнитного поля. Угловая скорость вращения катушки равна 10 рад/с. Чему равна максимальная ЭДС, возникающая в катушке?

А) 10 В

В) 8 В

С) 4 В

Д) 2 В

Е) 1 В

16. Какова индуктивность катушки, если при равномерном увеличении тока в ней от 1 до 3 Ампер за 0,1 с возникает ЭДС самоиндукции, равная 40 В?

А) 20 Гн

В) 0,1 Гн

С) 0,2 Гн

Д) 1 Гн

Е) 2 Гн

17. По двум направляющим параллельным проводникам, расстояние между которыми L=15 см, движется с постоянной скоростью V=0,6 м/с перемычка перпендикулярно магнитному полю с индукцией В=1 Тл. В замкнутую цепь включен резистор сопротивлением R=2 Ом. Определите силу индукционного тока I в цепи.

А) 45 мА

В) 50 мА

С) 60 мА

Д) 75 мА

Е) 80 мА

18. Если магнитный поток через проводящий контур увеличивается на 0,02 Вб в результате изменения силы тока в контуре с 4 А до 8 А, то индуктивность контура L равна …

А) 1 мГн

В) 5 мГн

С) 4 мГн

Д) 2 мГн

Е) 8 мГн

19. Индуктивность соленоида при длине l=1 м и площади поперечного сечения S= 20 см² равна L=0,4 мГн. Определите силу тока в соленоиде, при которой объемная плотность энергии магнитного поля внутри соленоида равна w=0,1 Дж/м³.

А) 0,2 А

В) 0,4 А

С) 0,5 А

Д) 0,8 А

Е) 1 А

20. Чему равна индуктивность катушки, если при изменении тока в ней с 12 А до 8 А энергия магнитного поля уменьшается на 2 Дж?

А) 25 мГн

В) 40 мГн

С) 50 мГн

Д) 64 мГн

Е) 80 мГн

21. Какой магнитный поток пронизывал каждый виток катушки, имеющей n=1 000 витков, если при равномерном исчезновении магнитного поля за время t=100 мс в катушке возникает ЭДС индукции Е = 10 В?

А) 10 мВб

В) 5 мВб

С) 0,5 мВб

Д) 1 мВб

Е) 0,1 мВб

22. Определите, сколько витков проволоки, вплотную прилегающих друг к другу, диаметром d=0,5 мм с изоляцией ничтожной толщины надо намотать на картонный цилиндр диаметром D=1,5 см, чтобы получить однослойную катушку индуктивностью L=100 мкГн? Магнитная постоянная m₀=4p×10^-7 Гн/м.

А) 200

В) 225

С) 250

Д) 275

Е) 300

23. Два металлических стержня расположены вертикально и замкнуты вверху проводником. По этим стержням без трения и нарушения контакта скользит перемычка длиной L=5 см и массой m=10 г. Вся система находится в однородном магнитном поле с индукцией В=1 Тл, перпендикулярной плоскости рамки. Установившаяся скорость V=1 м/с. Найдите сопротивление перемычки. Сопротивлением стержней и провода пренебрегайте. Ускорение свободного падения g=10 м/с².

А) 2,5×10-3 Ом

В) 25×10-3 Ом

С) 5×10-3 Ом

Д) 50×10-3 Ом

Е) 12,5×10-3 Ом

24. Прямолинейный проводник длиной 20 см перемещают в однородном магнитном поле с индукцией 0,1 Тл. Проводник, вектор его скорости и вектор индукции поля взаимно перпендикулярны. С каким ускорением нужно перемещать проводник, чтобы разность потенциалов на его концах возрастала со скоростью V=0,1 В/с?

А) 2 м/с2

В) 25 м/с2

С) 20 м/с2

Д) 10 м/с2

Е) 5 м/с2

25. Магнитная индукция поля между полюсами двухполюсного генератора равна 1 Тл. Ротор имеет N=140 витков площадью S=500 см² каждый виток. Определите частоту вращения якоря, если максимальное значение ЭДС индукции равно 220 В.

А) 50 об/с

В) 40 об/с

С) 20 об/с

Д) 10 об/с

Е) 5 об/с

26. Катушка с железным сердечником имеет индуктивность, равную 1,4 Гн при силе тока в ее витках 10 А. Магнитная проницаемость материала сердечника при этих условиях равна 1 000. Чему равна индуктивность катушки после удаления сердечника из катушки?

А) 14 Гн

В) 1,4 Гн

С) 0,14 Гн

Д) 1,4×10-2 Гн

Е) 1,4×10-3 Гн

27. Между концами ускоренно движущегося металлического проводника появляется разность потенциалов U=1 мкВ. Определите величину ускорения проводника длиной L=1 м. Масса электрона m=9,1×10^-31 кг, элементарный заряд е=1,6×10^-19 Кл.

А) 26 км/с2

В) 76 км/с2

С) 126 км/с2

Д) 176 км/с2

Е) 226 км/с2

28. Соленоид диаметром d=4 см, имеющий N=500 витков, помещен в магнитное поле, индукция которого изменяется со скоростью V=1 мТл/с. Ось соленоида составляет с вектором магнитной индукции угол a=45⁰. Определите ЭДС индукции, возникающей в соленоиде.

А) 0,444 мВ

В) 0,555 мВ

С) 0,666 мВ

Д) 0,777 мВ

Е) 0,888 мВ

29. В однородном магнитном поле с индукцией 0,12 Тл находится круглая рамка диаметром 10 см, расположенная так, что вектор индукции перпендикулярен плоскости рамки. Определите количество витков рамки, если при ее повороте на угол 180⁰ за 0,14 с в ней наводится ЭДС 0,942 В.

А) 110 В) 100 С) 90 Д) 80 Е) 70

30. В однородном магнитном поле, индукция которого равна 0,1 Тл, равномерно вращается катушка, состоящая из 100 витков проволоки. Площадь поперечного сечения катушки 100 см². Ось вращения катушки перпендикулярна оси катушки и направлению магнитного поля. Угловая скорость вращения катушки равна 10 рад/с. Чему равна максимальная ЭДС, возникающая в катушке?

А) 10 В В) 8 В С) 4 В Д) 2 В Е) 1 В

31. Какую силу нужно приложить к металлической перемычке для равномерного ее перемещения со скоростью 8 м/с по двум параллельным проводникам (рельсам), расположенным на расстоянии 25 см друг от друга в однородном магнитном поле с индукцией 2 Тл? Вектор индукции перпендикулярен плоскости, в которой расположены рельсы. Проводники замкнуты резистором с электрическим сопротивлением 2 Ом.

А) 200 Н В) 2 Н С) 4 Н Д) 1 Н Е) 400 Н

Верные ответы в заданиях отмечены красным цветом.