Преобразование электрических схем

Преобразования электрических схем применяются для упрощения расчетов. Наиболее типичные методы преобразования следующие.

Последовательное соединение элементов. Согласно ЗТК при последовательном соединении элементов через них протекает один и тот же ток (рисунок 1.2).

Рисунок 1.2 – Последовательное соединение элементов

Согласно ЗНК, напряжение, приложенное ко всей цепи:

. (1.13)

Тогда для последовательного соединения резистивных элементов R₁, R₂, ..., R_n будем иметь формулу:

. (1.14)

Для последовательного соединения индуктивных элементов (рисунок 1.2):

. (1.15)

Для последовательного соединения емкостных элементов:

. (1.16)

При n = 2: С = С₁C₂/(С₁ + С₂). (1.17)

При последовательном соединении независимых источников напряжения они заменяются эквивалентным источником напряжения с задающим напряжением u_Г, равным алгебраической сумме напряжений отдельных источников. Причем со знаком «+» берутся напряжения, совпадающие с задающим напряжением эквивалентного источника, а со знаком «–» – не совпадающие (рисунок 1.3).

Рисунок 1.3 – Последовательное соединение источников напряжения

Параллельное соединение элементов. При параллельном соединении элементов, согласно ЗНК, к ним будет приложено одно и то же напряжение (рисунок 1.4). Согласно ЗТК, для тока каждой из схем, изображенных на рисунке 1.4, можно записать:

. (1.18)

Рисунок 1.4 – Параллельное соединение пассивных элементов

На основании этого уравнения для параллельного соединения резистивных элементов получаем:

. (1.19)

Для параллельного соединения емкостных элементов:

. (1.20)

Для параллельного соединения индуктивных элементов:

. (1.21)

Следовательно, цепь из n параллельно соединенных резистивных, индуктивных или емкостных элементов можно заменить одним эквивалентным резистивным, индуктивным или емкостным элементом.

В частности, при n = 2:

R = R₁R₂/(R₁ + R₂); L = L₁L₂/(L₁ + L₂) . (1.22)

Параллельно соединенные независимые источники тока можно заменить одним эквивалентным источником тока с задающим током, равным алгебраической сумме задающих токов отдельных источников. Причем со знаком «+» берутся задающие токи, совпадающие по направлению с задающим током эквивалентного источника, а со знаком «–» – не совпадающие (рисунок 1.5).

Рисунок 1.5 – Параллельное соединение источников тока

При расчете электрических цепей часто возникает необходимость преобразования источника напряжения с параметрами u_г и R_г, в эквивалентный источник тока с параметрами i_г и G_г, или наоборот – преобразование источника тока в эквивалентный источник напряжения. Эти преобразования осуществляются в соответствии с формулами:

i_г = u_г/R_г ; G_г = 1/R_г . (1.23)

Принцип наложения

Принцип наложения (суперпозиции) имеет важнейшее значение в теории линейных электрических цепей. Если рассматривать напряжения и токи источников как задающие воздействия, а напряжение и токи в отдельных ветвях цепи как реакцию (отклик) цепи на эти воздействия, то принцип наложения можно сформулировать следующим образом: реакция линейной цепи на сумму воздействий равна сумме реакций от каждого воздействия в отдельности.Принцип наложения можно использовать для нахождения реакции в линейной цепи, находящейся под воздействием нескольких источников.

Рассмотрим случай, когда в линейной цепи действует несколько источников. В соответствии с принципом наложения для нахождения тока i или напряжения u в заданной ветви осуществим поочередное воздействие каждым источником и найдем соответствующие частные реакции i_k и u_k на эти воздействия. Тогда результирующая реакция определится как

, (1.24)

где n – общее число источников.

При определении результирующих токов знак «+» берут у частных токов, совпадающих с выбранным положительным направлением результирующего тока, и знак «–» – у несовпадающих. При составлении частичных электрических схем исключаемые идеальные источники напряжения закорачиваются. В случае, если в цепи действуют источники напряжения с внутренними сопротивлениями R_Г, при их исключении они заменяются своими внутренними сопротивлениями R_Г.

При наличии идеальных источников тока соответствующие ветви исключаемых источников размыкаются, а при наличии реальных источников они заменяются своими внутренними проводимостями G_Г.

Если в линейной цепи приложено напряжение сложной формы, применение принципа наложения позволяет разложить это воздействие на сумму простейших и найти реакцию цепи на каждое из них в отдельности с последующим наложением полученных результатов.

Вопросы для самотестирования

1 Чем отличается параметр электрической цепи «сопротивление» от элемента электрической цепи «резистор»?

2 В каком элементе электрической цепи энергия запасается в магнитном поле?

3 Может ли мгновенная мощность электрического поля ёмкости быть отрицательной?

4 Как может быть реализован идеализированный источник напряжения «е_г»?

5 Закон Кирхгофа для токов гласит: алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в любом узле электрической цепи, равна нулю. Но применим ли этот закон для цепи, где токи в ветвях описываются однородными линейными алгебраическими уравнениями с постоянными коэффициентами?

Метод контурных токов

При определении токов и напряжений в отдельных ветвях цепи с n_В-ветвями по законам Кирхгофа в общем случае необходимо решить систему из n_В уравнений. Для снижения числа решаемых уравнений и упрощения расчетов используют метод контурных токов и узловых напряжений [2]. Метод контурных токов позволяет снизить число решаемых уравнений до числа независимых контуров. В его основе лежит введение в каждый контур условного контурного тока i_к, направление которого обычно выбирают совпадающим с направлением обхода контура. При этом для контурного тока будут справедливы ЗТК и ЗНК. В частности, для каждого из выделенных контуров можно составить уравнения по ЗНК. Рассмотрим резистивную цепь, схема которой изображена на рисунке 1.6.

Рисунок 1.6 – Иллюстрация метода контурных токов

Для контурных токов i_к1 и i_к2 этой схемы можно записать уравнения по ЗНК в виде:

–u_г1 + (R₁ + R₃)i_к1 + R₃i_к2 = 0 ; (1.25)

–u_г2 + R₃i_к1 + (R₂ + R₃)i_к2 = 0. (1.26)

Перенесем u_Г1 и u_Г2 в правую часть системы и получим так называемую каноническую форму записи уравненийпо методу контурных токов:

R₁₁i_к1 + R₁₂i_к2 = u_к1 , (1.27)

R₂₁i_к1 + R₂₂i_к2 = u_к2 , (1.28)

где R₁₁ = R₁ +R₃; R₂₂ = R₂ + R₃ называют собственными или контурными сопротивлениями 1-го и 2-го контуров; R₁₂ = R₂₁ = R₃ – взаимным сопротивлением 1-го и 2-го контуров; u_к1 = u_г1; u_к2 = u_г2 – контурными задающими напряжениями. Истинные токи в ветвях находятся как алгебраическая сумма контурных токов: i₁ = i_к1, i₂ = i_к2, i₃ = = i_к1 + i_к2.

Решая систему уравнений, находят величины контурных токов:

i_к1 = D₁/D_R ; i_к2 = D₂/D_R ; i_кk = D_k/D_R , (1.29)

где D_R - определитель системы:

. (1.30)

Определитель D_k находится путем замены k-го столбца правой частью приведённой выше системы. Например, для D₁имеем:

. (1.31)

Полученный результат отражает рассмотренный ранее принцип наложения.

Для линейных электрических цепей важную роль играет принцип взаимности (теорема обратимости). Он гласит: если источник напряжения, помещенный в какую-либо ветвьl пассивной линейной электрической цепи, вызывает в другой ветви k ток определенной величины, то этот же источник, будучи помещенным в ветвь k, вызывает в ветвиl ток той же величины. Справедливость этого принципа следует непосредственно из уравнений i_kk с учетом того, что D_lk = D_kl.