Расчет равновесной концентрации электронов и дырок в примесных полупроводниках

Концентрация равновесных носителей заряда определяется соотношениями (1.36) и (1.38), из которых следует, что она зависит от положения уровня Ферми. В элек­тронном полупроводнике концентрация электронов в основном обусловлена переходом электронов с энергетических уровней Е_d на энергетические уровни зоны проводимости. Поэтому концентрация п_п должна быть равна концентрации иони­зированных доноров:

Здесь вероятность отсутствия электрона на уровне Е_d, определяе­мая уравнением (1.34). Следовательно,

(1.40)

Приравнивая правые части уравнений (1.36) и (1.40), получаем:

Решая это равенство относительно Е_Fn, получаем уравнение

(1.41)

Из полученного уравнения следует, что положение уровня Ферми зависит от тем­пературы T и концентрации примеси N_d. При Т= 0 уровень Ферми располагается посередине между уровнями E_d и E_с, а с ростом температуры опускается вниз. В интервале рабочих температур (примерно от -100 °С до +100 °С) уровень Фер­ми расположен между уровнями E_i и Е_d. С ростом концентрации доноров уровень Ферми сдвигается вверх. Энергетическая диаграмма электронного полупровод­ника показана на рис. 1.45.

Заштрихованная площадь под графиком F_n(E) пропорциональна концентрации электронов п_а, а заштрихованная площадь под графиком F_P(E) — концентрации дырок р_n. Из диаграммы вытекает соотношение

Следовательно, уравнение (1.36) можно представить в виде

(1.42)

Учитывая, что , уравнение (1.38) принимает вид

(1.43)

Из полученных соотношений следует, что чем выше концентрация донорных при­месей, тем выше расположен уровень Ферми Е_Fn соответственно, выше концен­трация электронов n_n, и ниже концентрация дырок р_п. Умножая n_n на р_п, получаем:

(1.44)

Таким образом, при любой концентрации примесей произведение концентраций электронов и дырок остается постоянной величиной.

На практике в области рабочих температур можно считать, что все доноры иони­зированы, тогда п_п = N_d, следовательно, уравнение (1.42) принимает вид

Отсюда следует, что

(1.45)

Чем больше концентрация доноров, тем выше расположен уровень Ферми.

В дырочном полупроводнике концентрация дырок в основном обусловлена пере­ходом электронов с энергетических уровней валентной зоны на энергетический уровень акцепторов. Поэтому концентрация дырок должна быть равна концент­рации ионизированных примесей, то есть

(1.46)

Приравнивая правые части уравнений (1.38) и (1.46) и решая их относительно E_{F p}, получаем:

(1.47)

При Т= 0 уровень Ферми располагается посередине между уровнями Е_а и E_v, а с рос­том температуры сдвигается вверх. В рабочем интервале температур он находит­ся между уровнями E_i, и Е_a, Энергетическая диаграмма дырочного полупроводни­ка имеет вид, показанный на рис. 1.46.

Учитывая, что , уравнение (1.38) принимает вид

(1.48)

С учетом того, что , уравнение (1.36) принимает вид

(1.49)

Перемножая р_p и п_p , получаем

(1.50)

В области рабочих температур можно считать р_? = N_w тогда уравнение (1.48) при­нимает вид

Отсюда получаем

(1.51)

Из изложенного можно сделать следующие выводы:

◙ концентрация как основных, так и неосновных носителей заряда зависит от положения уровня Ферми;

◙ введение в полупроводник примесей сдвигает уровень Ферми относительно середины запрещенной зоны в электронном полупроводнике вверх, а в дыроч­ном — вниз;

◙ повышение температуры полупроводника сдвигает уровень Ферми к середи­не запрещенной зоны;

◙ увеличение концентрации примесей повышает концентрацию основных носи­телей заряда и уменьшает концентрацию неосновных носителей заряда.

Зависимость концентрации электронов и дырок от температуры показана на рис. 1.47

При Т= 0 все валентные электроны заняты в ковалентных связях, валентная зона полностью заполнена электронами, а в зоне проводимости электроны отсутству­ют. При повышении температуры происходит ионизация примесных атомов, по­этому концентрация основных носителей заряда возрастает. При температуре T_s, которая равна примерно 100 К, практически все примесные атомы ионизирова­ны. В интервале от температуры T_s до температуры T_i примерно равной 400 К, концентрация основных носителей заряда сохраняется приблизительно посто­янной и равной концентрации примесей. Некоторое увеличение концентрации в этом интервале температур объясняется тепловой генерацией электронов и ды­рок. При температуре Т > Т_i происходит более интенсивная тепловая генерация электронов и дырок, поэтому концентрация основных носителей заряда резко увеличивается и различие между концентрациями основных и неосновных носи­телей заряда уменьшается, то есть примесный полупроводник по своим свойствам приближается к свойствам собственного полупроводника.

В отличие от концентрации основных носителей, концентрация неосновных но­сителей заряда с ростом температуры растет быстрее, чем концентрация собствен­ных носителей. Чтобы убедиться в этом, примем п_n = N_d и, учитывая (1.39) и (1.44), получим:

(1.52)

Полагая р_P, = N_a и учитывая (1.39) и (1.50), получаем

(1.53)

Сравнивая (1.52) и (1.53) с (1.39), легко убедиться в том, что показатель степени экспоненты в (1.52) и (1.53) вдвое больше показателя степени экспоненты в (1.39), следовательно, повышение температуры более сильно влияет на п_P и р_П, чем на п_i Увеличение концентрации неосновных носителей заряда с ростом температуры оказывает существенное влияние на работу полупроводниковых приборов.

Практически все полупроводниковые приборы работают в интервале температур от 300 до 400 К, в котором концентрацию основных носителей заряда можно считать не зависящей от температуры и учитывать сильную температурную зависимость концентрации неосновных носителей заряда.