Концентрация электронов и дырок на примесных уровнях

Пусть в полупроводнике имеется примесный уровень (донор), который может быть занятым n_d или пустым p_d (уровень ионизован и электрон преодолел барьер E_d -E_F) (рис. 8.4).

Рис. 8.4. Электроны и дырки на донорном уровне

Полная концентрация примеси N_d :

N_d = n_d + p_d

Число состояний, имеющих электрон:

n_d = N_d ×f , (8.20)

где f – функция Ферми-Дирака.

Концентрация пустых центров:

p_d = N_d (1 – f)

Для опустошения центров преодолевается потенциальный барьер (E_d -E_F), и соотношение концентраций n_d и p_d равно:

(8.21)

Однако, статистический вес занятого состояния (n_d) вдвое больше статистического веса пустого состояния (p_d) в результате принципа Паули:

(8.22)

Тогда

(8.23)

Концентрация дырок на донорном уровне (пустых состояний):

(8.24)

На акцепторном уровне:

(8.25)

g – фактор вырождения, g=2.

Выводы

1. Поведение электронов в полупроводниках описывается квантовой статистикой Ферми-Дирака.

2. Плотность электронных состояний в зависимости от энергии описывается параболической зависимостью. Большинство состояний сосредоточено вблизи дна зоны разрешенных энергий.

3. В зависимости от положения уровня Ферми возможны три состояния электронов:

1) невырожденное – поведение как у идеального газа, описывается статистикой Больцмана;

2) вырожденное или полуметаллическое состояние, концентрация электронов не зависит от температуры;

3) промежуточный случай.

4. Концентрация электронов на примесном уровне описывается квантовой статистикой с учетом статистического веса занятых или свободных состояний.

Уравнение электронейтральности

Уравнение электронейтральности отражает закон сохранения заряда, т.е. при термодинамическом равновесии в любой точке нейтрального кристалла суммарный заряд всех заряженных частиц равен нулю.

Для полупроводников с двумя видами примеси (рис. 8.5) число отрицательных зарядов равно числу зарядов положительных:

–е(n_o+ n_a) + (p_o + p_d )е = 0 (8.26)

где n_o и p_o – равновесная концентрация электронов и дырок в зонах,

n_a = N_a – p_a; p_d = N_d – n_d,

где N_a и N_d – концентрация акцепторной и донорной примесей соответственно.

Рис. 8.5. К выводу уравнения электронейтральности в полупроводнике с двумя видами примеси

Тогда:

(n_o + n_d) – (p_o + p_a) = N_d – N_a (8.27)

Так как при наличии доноров и акцепторов уровень Ферми лежит в глубине запрещенной зоны, то полупроводник невырожден:

(8.28)

Уравнение электронейтральности используется для расчета положения и изменения уровня Ферми в полупроводниках. При этом необходимо учитывать все источники зарядов в полупроводниках, независимо от количества примесных уровней (0, 1, 2 и т.д.).