Метод использования частотных преобразований
Данный метод заключается в последовательном прохождении следующих этапов:
- Дискретизация импульсной характеристики входного сигнала.
- Нахождение комплексного частотного коэффициента передачи сигнала (передаточной функции).
- Формирование Z-преобразования от частотного коэффициента передачи.
- Дискретное преобразование Фурье от импульсной характеристики.
Условно этот алгоритм можно представить в виде следующей записи:
,
где – дискретное преобразование Фурье от импульсной характеристики. В виде схемы этот алгоритм для сигнала представлен на рис. 3.2.7.5.
Рис. 2. Структура метода использования частотных преобразований.
На рис. 2 на данной схеме сначала происходит дискретное преобразование Фурье (ДПФ) от входного сигнала, суммированного с шумом . Получается спектральная плотность от входного сигнала по k .
При их суммировании второй этап – спектр умножается на передаточную функцию .
Далее берется обратное преобразование Фурье, и получаем выходной дискретный сигнал. Таким образом, через частотное преобразование получили частотную передаточную функцию от сигнала .
На этом принципе основаны конвольверы – устройства преобразования сигнала в частотную передаточную функцию, и обратно, от частотной передаточной функции к исходному сигналу
Ход работы:
- Поострить спектр отдельно взятой гармоники (кратной частоте F1):
CFFT – быстрое преобразование Фурье
Рис. 3 Спектр гармоники кратной частоте F1
Из расчетов видно, что Z10 и Z90 отличаются только знаком мнимой части, т.е. они комплексно сопряженные.
- Построить спектр гармоники (не кратной частоте F1):
Рис. 4 Спектр гармоники не кратной частоте F1
Из графика видно, что изменение частоты на 0,5 Гц ведет к увеличению числа гармоник.
Амплитудный спектр одинаковый, симметричный и комплексно сопряженный.
- БПФ от прямоугольного импульса:
Рис. 5 Прямоугольный импульс (дискретный)
Рис. 6. Быстрое преобразование Фурье от прямоугольного импульса
- БПФ от кривой Гаусса:
Рис. 6. Дискретный импульс Гаусса
Применим БПФ:
Рис. 7. Быстрое преобразование Фурье от импульса Гаусса
- БПФ от символа Кронекера:
Рис. 8. Исходная функция
Рис. 9.1. Быстрое преобразование от символа Кронекера
Рис. 9.2. Быстрое преобразование от символа Кронекера
Выводы:
1. Построен спектр гармоники кратной частоте F1. Из расчетов видно, что Z10 и Z90 отличаются только знаком мнимой части, т.е. они комплексно сопряженные.
2. Построен спектр гармоники не кратной частоте F1. Из рис. 4 видно, что изменение частоты на 0,5 Гц ведет к увеличению числа гармоник. Амплитудный спектр одинаковый, симметричный и комплексно сопряженный.
3. Взято быстрое преобразование Фурье от прямоугольного импульса.
4. В системе математического моделирования MathCAD прямые преобразования Фурье осуществляются с помощью функций FFT(V), IFFT(V), где V – заданный вектор. Обратные преобразования Фурье вводятся функциями ICFFT(V), CFFT(V). Также можно использовать функции fft(V) и cfft(V) – те же самые алгоритмы, но с другими коэффициентами нормировки.
5. Взяты БПФ от символа Кронекера и Гауссовой кривой.