Нормального распределения

Как уже известно сущность критерия согласия Пирсона состоит в сравнении эмпирических и теоретических частот. Эмпирические частоты находят из опыта. Теоретические частоты рассчитываются следующим образом [3] .

1. Весь интервал наблюдаемых значений X (выборки объема n) делят на s частичных интервалов (x₁, х_i+1) одинаковой длины. Находят середины частичных интервалов х_i* = (x_i + x_i+1) /2; в качестве частоты n_i варианты x_i принимают число вариант, которые попали в i-й интервал. В итоге получают последовательность равноотстоящих вариант и соответствующих им частот:

х₁* х₂* . . . х_s .

n₁ n₂ . . . n_s .

При этом Σ n_i = n.

2. Вычисляют, например методом произведений, выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение σ*.

3.Нормируют случайную величину X, т. е. переходят к величине Z = (X— )/σ* и вычисляют концы интервалов (z_i , z_i+1 ) :

z_i = (x_i ‑ ) /σ*, z_i+1 = ( x_i+1 ‑ )/ σ*,

причем наименьшее значение Z, т. е. z₁ полагают равным -∞ а наибольшее , т.е. z_s , полагают равным ∞

4. Вычисляют теоретические вероятности р_i попадания в интервалы (x_i, x_i+1) по равенству :

p_i=Ф(z_i+1)-Ф (z_i),

где Ф (z) - функция Лапласа (см. таблицу приложения 4)

и, наконец, находят искомые теоретические частоты : n^'_i = пp_i .

Пример решения задачи к разделу 3.4.4. [3 ]

Пример 5. Найти теоретические частоты по заданному интервальному распределению выборки объема п =200, предполагая,что генеральная совокупность распределена нормально(табл. 3.3)

Решение

1. Найдем середины интервалов x_i* = (x_i+x_i+1)/2, Например, x_i* = (4 + 6)/2 = 5. Поступая аналогично, получим последовательность равноотстоящих вариант х_i* и соответствующих им частот n_i

x_i* 5 7 9 11 13 15 17 19 21

n_i 15 26 25 30 26 21 24 20 13

2.Пользуясь методом произведений, найдем выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение:

= 12,63, σ* = 4,695.

3.Найдем интервалы (z_i , z_i+1 ), учитывая, что = 12,63, σ* = 4,695, 1/σ* = 0,213, для чего составим расчетную табл. 3.4

Таблица 3.3.

Номер интер- вала	Границы интервала	Частота	Номер интер- вала	Границы интервала	Частота
			интервала
i	xi	xi+1	ni	i	xi	xi+1	ni
							n= 200

4.Найдем теоретические вероятности p_i и искомые теоретические частоты n_i'= np_i, для чего составим расчетную табл. 3.5.

Таблица 3.4.

i

Границы интервала

xi -

(xi+1- )

Границы интервала

			‑	‑6,63	-∞	‑1,41
			‑6,63	‑4,63	‑1,41	‑0,99
			‑4,63	‑2,63	‑0,99	‑0,56
			‑2,63	‑0,63	‑0,56	‑0,13
			‑0,63	1,37	‑0,13	0,29
			1,37	3,37	0,29	0,72
			3,37	5,37	0,72	1,14
			5,37	7,37	1,14	1,57
			7,37	‑	1,57	∞

xi

xi+1

zi= =(xi - )/ σ*

zi+1 = =(xi+1- σ*

Таблица 3.5.

i	Границы Интервала	Ф( zi )	Ф(zi+1)	pi= Ф( zi+1 )- - Ф( zi )	i=npi= = 200pi
zi	zi+1
	‑ ∞	‑1,41	‑0,5000	‑0,4207	0,0793	15,86
	‑1,41	‑0,99	‑0,4207	‑0,3389	0,0818	16,36
	‑0,99	‑0,56	‑0,3389	‑0,2123	0,1266	25,32
	‑0,56	‑0,13	‑0,2123	‑0,0517	0,1606	32,12
	‑0,13	0,29	‑0,0517	0,1141	0,1658	33,16
	0,29	0,72	0,1141	0,2642	0,1501	30,02
	0,72	1,14	0,2642	0,3729	0,1087	21,74
	1,34	1,57	0,3729	0,4418	0,0689	13,78
	1,57	∞	0,4418	0,5000	0,0582	11,64
					Σpi = 1	Σ = = 200

Искомые теоретические частоты помещены в последнем столбце табл. 3.5.