Характеристика закономерности рядов распределения. Кривые нормального распределения.

С помощью рядов распределения статистика решает одну из своих задач: характеризует и измеряет колеблемость варьирующего признака. В вариационных рядах существует связь между частотами и значениями варьирующего признака: с увеличением признака величина частоты сначала возрастает до определённой границы, а потом уменьшается. Такие изменения называются закономерностями распределения.

Статистические данные рядов распределения по конкретному признаку в графическом виде представляют собой определенные кривые распределения. Задачей статистики является определить форму кривой (тип), степень рассеивания (чем больше рассеяна кривая, тем больше колеблемость признака), степень её асимметрии, высоко- или низковершинность. Цель такого исследования – проверить нормальность условий отбора данных, т.е. если кривая асимметрична или имеет две и более вершины, то состав данных разнотипен, их необходимо перегруппировать и выделить другие, более однородные группы.

Для определения характера распределения оценивают степень его однородности, т.е. вычисляют показатели асимметрии и эксцесса.

Симметричным (нормальным) распределением является то, у которого частоты двух вариант, равностоящих в обе стороны от центра распределения, равны между собой. В нём , Mo и Me равны, т.е. показатели асимметрии равны нулю. В противном случае рассчитываются показатели асимметрии:

или .

Они могут быть положительными и отрицательными. Если показатель асимметрии положительный (As>0), значит, присутствует правосторонняя асимметрия и .

Если показатель асимметрии отрицательный ( ), то асимметрия левосторонняя и .

Коэффициент асимметрии может изменяться от (-3) до (+3). Принято считать, что асимметрия больше 0,5 (независимо от знака) – значительная, меньше 0,25 – незначительная.

На практике чаще применяется показатель асимметрии:

, - центральный момент третьего порядка*, - среднее квадратическое отклонение в кубе.

В действительности распределения данных редко бывают симметричными, т.е. нормальными. Нормальная кривая – это идеализированная форма распределения, хотя многие распределения близки к нормальному.

Преобразование фактического конкретного распределения в нормальное, т.е. определение теоретической кривой нормального распределения, необходимо, чтобы выявить общую закономерность развития изучаемого явления, возникающую под воздействием множества случайных причин, позитивных и негативных отклонений. Уравнение нормальной кривой:

(1), где - ордината, , - стандартизированная нормальная величина.

Широко применяется в теории выборочного метода для определения закономерности развития генеральной совокупности по данным выборки и для расчёта соответствующих показателей.

Из (1) видно, что и определяют черты симметричной кривой нормального распределения. В зависимости от их значений, кривая может иметь разный центр группирования, быть более удлинённой или сжатой.

Для симметричных распределений рассчитывается показатель эксцесса (островершинности):

1) показатель Линдберга :

, n – доля (%) количества вариант, лежащих в интервале, равном половине в ту или другую сторону от .

2) , - центральный момент 4-го порядка, ,

- середина интервала в интервально ряду, - величина интервала.

Если , то распределение симметричное;

Если , то распределение островершинное;

Если , то распределение плосковершинное.

Оценка существенности показателей асимметрии и эксцесса необходима для вывода об отнесении данного эмпирического распределения к типу нормального распределения. Если оно не относится к нормальному, то строится математическая модель по уравнению (1) и выявляется закономерность развития данного явления, включая и прогноз.

Существенность расхождений между эмпирическим и теоретическим распределениями определяется с помощью ряда критериев согласия: К. Пирсона (Хи-квадрат), В.И.Романовского, Б. С. Ястремского, А. Н. Колмогорова.