Расчетные модели и схемы замещения

2.1. Особенности тяговой сети и принятые допущения

Для устройств электроснабжения электрифицированной железной дороги тяговая сеть является основным видом влияющей цепи. Она включает в свой состав тяговую подстанцию, электровозы и тяговую сеть. В тяговую сеть входят питающие и отсасывающие провода, провода контактной сети, рельсы с распределенной проводимостью на землю и сама земля. Влияющее напряжение тяговой сети равно рабочему напряжению контактной сети, а ток в земле по модулю соизмерим с током контактной сети. Поэтому тяговая сеть практически полностью несимметрична и оказывает сильное влияние на соседние цепи.

При рассмотрении влияния тяговой сети на смежные линии придется считаться с распределенностью системы и с большой ее электрической длиной. Для упрощения далее приняты во внимание следующие допущения:

1) при анализе влияния тяговой сети вначале будет рассмотрено влияние только контура контактная сеть - земля; влияние рельсов будет учтено несколько позже;

2) смежную линию будем считать однородной и вначале однопроводной, затем перейдем к двухпроводной линии как к сочетанию двух однопроводных;

3) сближение с контактной сетью будем считать параллельным и вначале будем полагать длину сближения равной длине смежной линии;

4) напряжения и токи в контактной сети и в смежной линии считаются синусоидальными, во всяком случае, речь будет идти о гармонических синусоидальных составляющих при учете несинусоидальности.

2.2. Простейшая линия и ее параметры

Наиболее распространенным механизмом для анализа процессов в электрических цепях и предсказания их поведения являются законы Кирхгофа в совокупности с законом Ома и производные от них методы (контурных токов, узловых потенциалов, узловых напряжений и другие). К сожалению, все эти методы не учитывают запаздывание распространения электромагнитного поля и годятся только для электрически коротких цепей. Кроме того, все элементы электрической цепи рассматриваются квантованно, то есть распределенность элементов никак не учитывается, что не позволяет говорить о распределении потенциала по элементу даже в случае электрически малой его длины.

Максимальная скорость распространения электромагнитного поля в пространстве составляет 300 м/мкс. Цепь будет электрически короткой, если время распространения поля вдоль нее много меньше времени существенного изменения напряжения или тока в цепи; считается, что для синусоидальных напряжений и токов можно говорить о небольшой длине линии, если время распространения поля вдоль нее не превышает одной десятой периода напряжения. Для двухпроводной воздушной линии с расстоянием между проводами 3 м, высоте расположения проводов над землей 30 м и длине линии 30 км время распространения поля между проводами составит 0.01 мкс, между проводами и землей - 0.1 мкс, вдоль линии - 100 мкс, так что для электромагнитных процессов между проводами можно говорить о малых расстояниях между проводами до частот 10 Мгц, между проводами и землей - до 1 Мгц, а вдоль проводов - до частот не более 1 кГц, что соответствует частотам высших гармоник электроэнергетических систем. Именно до таких частот можно предсказывать поведение двухпроводной системы с помощью законов Кирхгофа и производных от них методов; далее нужно использовать что-нибудь другое.

Двухпроводная линия, кроме всего прочего, является простейшей из многопроводных линий, составленных из тонких параллельных друг другу проводов. Почему это так? Потому, что более простая по конструкции однопроводная линия либо использует землю в качестве обратного провода и надо заниматься вопросами распределения тока в проводящей земле, то есть теорией поля, что очень непросто; либо один провод излучает электромагнитное поле в окружающее пространство (если земля электрически далеко), что в общем случае ничуть не проще, чем с землей. Когда же проводов два, а расстояние между ними много меньше расстояния до земли, то два этих провода являются самодостаточной системой, земля им не нужна, поскольку электрическое поле двух противоположно заряженных проводов уменьшается с ростом расстояния от проводов по кубическому закону и земле почти ничего не перепадает; примерно такая же картина получается и с магнитным полем, когда токи по проводам по соседству (в одном сечении перпендикулярно проводам) протекают одинаковые и противоположных направлений.

Так что пока речь пойдет о двухпроводной линии, для которой можно не учитывать наличие расположенных вблизи нее предметов (рис. 3). Источник ЭДС в начале линии обеспечивает такое разделение зарядов, что на одном проводе будет заряд +q, а на другом -q, а также и токи в проводах оказываются одинаковыми и противоположно направленными. Если на некотором расстоянии x от начала линии выделить электрически короткий участок dx, то можно обойти трудность, связанную с невозможностью применения законов Кирхгофа к длинной линии; на малой длине dx при малости расстояний h и d по сравнению с длиной l линии на участке dx законы Кирхгофа вполне применимы! Однако вначале следует составить схему замещения участка dx, что сделано на рис. 4а. На нем элементы dR' и dR" отражают потери энергии в проводах на их нагрев, dL', dL" и dM отображают собственные индуктивности проводов и их взаимосвязь через магнитное поле, причем начала катушек расположены слева, но направления токов в катушках противоположны, что отвечает частичной взаимной компенсации магнитных полей двух проводов; емкостный элемент dC отображает запас энергии в электрическом поле между проводами, а проводимость dG соответствует утечке по изоляции между проводами.

Поскольку токи в верхнем и нижнем проводах одинаковы, можно объединить нижние элементы с верхними, оставив внизу только общий провод, при этом потенциалы проводов будут другими, но напряжения между проводами не изменятся, так что схема рис. 4б вполне пригодна для дальнейшего анализа. На этой схеме ток i и напряжение u являются функциями координаты и времени i=i(x,t), u=u(x,t) и при приросте переменной x на малую величину dx они прирастают на малые величины di и du. Можно считать, что параметры схемы замещения пропорциональны длине dx, то есть

dR = R₀ dx, dL = L₀ dx, dC = C₀ dx, dG = G₀ dx,

где величины R₀ (Ом/км), L₀ (Гн/км), C₀ (Ф/км), G₀ (См/км), называемые первичными параметрами линии, не зависят от координаты x в случае однородной линии, то есть такой линии, у которой провода и их взаимное расположение одинаковы по всей длине линии. Эти параметры не зависят обыкновенно также и от времени t. Смысл параметров следующий: R₀, L₀ - это сопротивление и индуктивность линии длиной 1 км, замкнутой на конце, а C₀, G₀ - емкость и проводимость утечки по изоляции для линии длиной 1 км с изолированными друг от друга проводами.

Рис. 3

Рис. 4

Уравнения по законам Кирхгофа для малого участка dx по рис. 4б выглядят следующим образом:

что после простейших преобразований приводит к системе дифференциальных уравнений в частных производных, называемых телеграфными уравнениями длинной линии:

(1)

Эти уравнения достаточно просто разрешаются для синусоидальных токов и напряжений, u = U_m e ^{j(ωt + Ψ)}, i = I_m e^{j(ωt + ψ)}, когда производные по времени заменяются произведением jω на комплексное действующее значение напряжения или тока (j - мнимая единица, ω - круговая частота):

(2)

где

После дифференцирования первого уравнения системы (2) по переменной x и подстановки в него второго уравнения получается уравнение вида

решением которого является выражение (3)

(3)

представляющее собою сумму отраженной и падающей волн, распространяющихся в направлении убывания координаты x и в направлении нарастания соответственно. Величина , определяющая этот процесс, называется постоянной распространения. Она составлена вещественной и мнимой частями, , которые называют соответственно коэффициентом затухания (он определяет уменьшение амплитуды напряжения после 1 км распространения) и коэффициентом фазы (этот коэффициент определяет набег фазы напряжения через 1 км). Единицы их измерения - 1/км; иногда применяются для коэффициента затухания единица Нп/км (непер на километр), поскольку коэффициент стоит в показателе экспоненты, и Нп/км - это то же, что и 1/км. Для коэффициента фазы часто вместо 1/км указывают рад/км (что то же самое), поскольку этот коэффициент является показателем мнимой экспоненты, то есть аргументом синуса и косинуса в разложении мнимой экспоненты.

Для определения тока достаточно подставить решение (3) в первое уравнение системы (2), при этом получается выражение (4)

(4)

в котором ток также представлен суперпозицией отраженной и падающей волн. В выражениях (3) и (4) - комплексные константы, определяемые источником энергии и нагрузкой в начале и в конце линии, а

называется волновым сопротивлением линии, поскольку определяет соотношение между волнами напряжения и тока. Величины и называют еще вторичными параметрами линии.

При задании граничных условий в линии будут определены константы в решении (3) - (4) и могут быть получены формулы с гиперболическими функциями. При рассмотрении процессов, происходящих на частоте 50 Гц, можно пока обойтись без этого, но в дальнейшем, при рассмотрении вопросов расчета мешающих влияний, придется иметь дело со вторичными параметрами линии и с гиперболическими функциями.

2.3. Модель однопроводной линии при сближении с контактной сетью

В этом разделе речь пойдет уже не о простейшей двухпроводной линии. Однако дело не столь уж сложное: однопроводную линию с возвратом тока через землю можно заменить эквивалентной двухпроводной линией, если высота подвеса провода над землей электрически мала (то есть много меньше длины волны электромагнитного поля в воздухе для синусоидальных напряжений и токов). При этом второй провод заменяет землю, и задача остается в рамках простейшей линии. Вопрос же о параметрах эквивалентной линии пока оставим в покое.

Необходимость подобного рассмотрения ясна: придется разбираться и с процессами в тяговой сети (контактная сеть - заземленные рельсы), и с напряжениями на проводе связи относительно земли (которые могут быть опасными для людей).

Кроме того, будем далее предполагать малой в электрическом смысле и ширину сближения, что выполняется всегда и на высших гармониках. Подобные предположения позволят воспользоваться статическими понятиями емкости, собственной и взаимной индуктивности элементов; вопрос, таким образом, будет заключаться в степени необходимого дробления схемы для возможности рассмотрения напряжений внутри распределенной системы.

Рис. 5

Если вести речь только об опасных влияниях, сказывающихся на основной частоте, то и длина системы обычно электрически мала, и можно вполне обойтись схемой замещения с сосредоточенными параметрами. Нужно, однако, иметь в виду, что для емкостного элемента предполагается эквипотенциальность обкладок, что потребует представления двухпроводной системы не одним, а несколькими конденсаторами. В целом же можно воспользоваться обычным приемом эквивалентирования длинной линии цепочечными схемами [10], выбрав для одной ячейки П-образную схему замещения и пренебрегая для простоты активными элементами. Чтобы иметь представление о напряжениях в середине линии, нужно взять по крайней мере две таких ячейки (рис. 5).

Рис. 6

На этом рисунке C₁ - емкость между контактной сетью и смежным проводом на 1 км длины системы, С₀ - емкость 1 км смежного провода по отношению к земле, M - взаимная индуктивность между контактной сетью и смежным проводом на 1 км длины смежного провода, l - длина смежного провода. Взаимную индуктивность можно учесть либо вносимым в схему смежного провода сопротивлением, либо эквивалентным источником ЭДС, определяемым законом электромагнитной индукции. Далее будет использован последний метод, так что в схеме вместо взаимной индуктивности будет источник ЭДС в каждой ячейке для провода связи с направлением в соответствии с направлением тока I_к (слева направо для рис. 5). Величина ЭДС равна для синусоидального тока при двух ячейках, что изображено на рис. 6.

РЕЗЮМЕ

Для высших гармоник наводимых токов и напряжений смежную линию уже нельзя считать электрически короткой, поскольку за время распространения электромагнитного поля вдоль линии напряжение на ее входе успевает заметно измениться.

В простейшем случае для анализа влияний контактной сети на смежную линию можно воспользоваться П-образной схемой замещения смежного провода с LC-элементами, составленной из двух ячеек. Электрическое влияние контактной сети отображается емкостными элементами, включенными между контактной сетью и смежным проводом связи, а магнитное - источниками ЭДС. Величины ЭДС источников определяются взаимной индуктивностью между контактной сетью и смежным проводом и током контактной сети.