Тема: Комплексный метод анализа цепей синусоидального тока

Цель: Получить навыки перевода синусоидальных величин в комплексные, научиться строить векторные диаграммы.

В результате выполнения практического занятия у студента формируются компетенции ПК-10 (умение проводить инженерные изыскания), ПК-17 (умение применять знание научно-технической информации, отечественного и зарубежного опыта по профилю деятельности).

Актуальность темы практического занятиязаключается в необходимости использовать комплексный метод для расчета электрических цепей.

Теоретическая часть

В настоящее время подавляющая часть электрической энергии генерируется (вырабатывается), передается и потребляется на переменном синусоидальном токе. В отличие от постоянного тока, где полярность источников электрической энергии с течением времени не меняется, при переменном токе происходит чередование полярности источников электрической энергии с определенной частотой. В России принята частота Гц для генерации и передачи электрической энергии. Таким образом, переменным ток является в случае, если он с течением времени меняет свое значение и направление. Значение тока в любой данный момент времени называют мгновенным и обозначают малой буквой . Токи, мгновенные значения которых повторяются через равные промежутки времени в той же самой последовательности, называют периодическими, а наименьший промежуток времени, через который эти повторения наблюдаются – периодом . Ток считается определенным, если известна его зависимость от времени . Термин «переменный ток» обычно применяют в узком смысле, а именно, для такого периодического тока, у которого постоянная составляющая тока равна нулю, т.е. и особенно часто для синусоидального тока .

Основные понятия синусоидального тока.

Мгновенные значения синусоидального тока определяется выражением:

(4.1)

где – амплитуда тока. Аргумент синуса называют фазой – . Угол называют начальной фазой. Фаза с течением времени непрерывно растет. После ее увеличения на весь цикл изменения тока повторяется. Величина называется угловой частотой и показывает скорость изменения фазы.

Для примера на рисунке 4.1 построены графики синусоидальных токов одинаковой частоты Гц, но с различными амплитудами и начальными фазами: , .

Рисунке 4.1 – Графики синусоидальных токов

По оси абсцисс отложено время и пропорциональная времени величина . Начальная фаза отсчитывается всегда от момента, соответствующего началу синусоиды, до момента начала отсчета времени . При положительной начальной фазе начало синусоиды тока сдвинуто влево, а при отрицательной начальной фазе для тока – вправо от начала координат. Если у нескольких синусоидальных функций, изменяющихся с одинаковой частотой, начала синусоид не совпадают, то говорят, что они сдвинуты относительно друг друга по фазе. На рисунке 4.1 , т.е. ток отстает по фазе от тока . Если у синусоидальных функций одинаковые частоты и одинаковые начальные фазы, то говорят, что функции совпадают по фазе, если разность фаз равна , то говорят, что они противоположны по фазе.

Для численного описания переменного тока, принято использовать параметр, называемый действующее значение , который характеризует действие тока в электрической цепи за период. Действующее значение (его называют также эффективным или среднеквадратичным) синусоидального тока определяется следующим образом:

Следовательно, действующее значение синусоидального тока равно . Действующее значение синусоидального тока численно равно значению такого постоянного тока, который за время, равное периоду синусоидального тока, выделяет такое же количество теплоты, что и синусоидальный ток на одном и том же сопротивлении.

Большинство измерительных приборов показывают действующее значение измеряемой величины. (Определение показаний приборов будет рассмотрено в практическом занятии 10).

Изображение синусоидально изменяющихся величин на комплексной плоскости.

На рисунке 4.2 показан синусоидальный ток , представляющий собой на комплексной плоскости вектор .

Рисунок 4.2 – Изображение синусоидальных величин на комплексной плоскости

Синусоидальный ток может быть записан в комплексном виде (точка, поставленная над током , означает, что эта величина изменяется во времени синусоидально) следующим образом:

.

где – комплексная величина, модуль (длина вектора) которой равен ;

– единица измерения по мнимой оси комплексной плоскости;

– угол, под которым вектор проведен к вещественной оси +1 комплексной плоскости, равный начальной фазе. Выражение называют показательной формой записи комплексного числа .

называют алгебраической формой записи комплексного числа .

– вещественная часть комплекса или активная составляющая тока .

– мнимая часть комплекса или реактивная составляющая тока .

Рассмотрим пример записи синусоидального тока в комплексном виде в показательной и алгебраической формах.

Пример.

Запишем в комплексном виде синусоидальные токи и :

– показательная форма записи тока ,

– алгебраическая форма записи тока ,

– показательная форма записи тока ,

– алгебраическая форма записи тока .

Изобразим на комплексной плоскости (рисунок 4.3) синусоидальные токи и .

Рисунок 4.3 – Изображение синусоидальных величин на комплексной плоскости

Сложение и вычитание синусоидальных функций времени на комплексной плоскости. Векторная диаграмма.

В результате сложении двух синусоидальных токов и одинаковой частоты получается некоторый ток той же частоты . Найдем амплитуду и начальную фазу искомого тока. Для этого сложим два тока в комплексном виде и , геометрическая сумма векторов этих токов даст комплексную амплитуду суммарного тока . Для определения разности двух токов (ЭДС, напряжений) следует произвести не сложение, а вычитание соответствующих векторов. Следует отметить, что если бы векторы , , вращались вокруг начала координат с угловой скоростью , то взаимное расположение векторов относительно друг друга осталось бы без изменений.

Векторной диаграммой называют совокупность векторов на комплексной плоскости, изображающей синусоидально изменяющиеся функции времени одной и той же частоты и построенные с соблюдением правильной ориентации их относительно друг друга по фазе. Рассмотрим сложение и вычитание синусоидальных функций на примере.

Пример.

Необходимо сложить и вычесть два тока и . Изобразим эти токи на комплексной плоскости в виде векторов и проведем их сложение и вычитание (рисунок 4.4).

Рисунок 4.4 – Сложение и вычитание синусоидальных величин

на комплексной плоскости

Проведем аналитическое сложение и вычитание токов в комплексной форме записи. Для этого используем алгебраическую форму записи комплексов токов:

,

,

,

Если необходимо разделить или умножить два комплекса, тогда используют показательную форму записи или алгебраическую.

В показательной форме записи, при умножении модули умножают, показатели складывают, при делении модули делят, показатели вычитают:

,

.

Умножение в алгебраической форме записи:

Далее, так как слагаемое станет равно . Тогда .

Деление в алгебраической форме записи, производится путем домножения числителя и знаменателя на сопряженный комплекс знаменателя. Сопряженный комплекс отличается от обычного знаком у мнимой части.

Мгновенная мощность.

Протекание синусоидальных токов по участкам электрической цепи сопровождается потреблением энергии от источников. Скорость поступления энергии характеризуется мощностью. Под мгновенной мощностью, понимают произведение мгновенного значения напряжения на участке цепи на мгновенное значение тока , протекающего по этому участку:

.

Резистивный, индуктивный и емкостной элементы в цепи синусоидального тока.

Элементами реальных электрических цепей синусоидального тока являются резисторы, катушки индуктивности и конденсаторы. Резистивный элемент – это идеализированный схемный элемент, учитывающий выделение теплоты в том или ином элементе реальной электрической цепи. Индуктивный элемент – это идеализированный, элемент представляющий катушку индуктивности без активного сопротивления . Емкостной элемент – это идеализированный элемент, представляющий собой конденсатор без потерь .

Напряжение совпадает с формой вызванного этим напряжением тока только в резистивных цепях, т.е. ток и напряжение в этом случае совпадают по фазе. В цепях с индуктивными и емкостными элементами формы напряжения и тока отличаются друг от друга.

В цепях с индуктивным элементом ток и напряжение связаны следующим выражением: . Если напряжение, приложенное к индуктивному элементу, имеет синусоидальную форму , то ток определится из выражения

, ,

где .

Произведение обозначается и называется индуктивным сопротивлением .

Таким образом, если к индуктивному элементу приложить напряжение гармонической формы, то ток будет отставать от напряжения на 90^о (рисунок 4.5 4.6).

Рисунок 4.5 – Мгновенные токи и напряжение на индуктивном и емкостном элементах. При начальной фазе напряжения равной нулю

Рисунок 4.6 – Мгновенные токи и напряжение на индуктивном и емкостном элементах. При начальной фазе тока равной нулю

В цепях с емкостным элементом ток и напряжение связаны следующим выражением . Если ко входу цепи приложено напряжение синусоидальной формы , то ток через емкостной элемент определится из выражения:

.

Так как множитель имеет размерность тока, обозначим его . Известно, что . Таким образом, ток через емкостной элемент опережает напряжение на 90^о (рисунок 4.5, 4.6). Величина обозначается и называется емкостным сопротивлением .

Задания

1. Построить кривые изменения напряжения и тока во времени и начертить векторы, изображающие заданные синусоидальные функции

; .

Чему равен сдвиг фаз между напряжением и током? Определить период Т и частоту w.

2. Найти аналитически и при помощи векторной диаграммы сумму и разность синусоидальных токов. Найти аналитически их произведение и частное от деления.

а) , ; , ;

б) , ; , ;

в) , ; , ;

3. Катушка с активным сопротивлением = 10 Ом, индуктивностью = 0,05 Гн подключена к источнику синусоидального напряжения (рисунок 7.7), действующее значение которого = 120 В, = 50 Гц. Определить полное сопротивление катушки, ток и сдвиг фаз между напряжением и током. Вычислить активную и реактивную составляющие напряжением на зажимах катушки. Построить векторную диаграмму напряжений и тока. ( = 15,7 Ом, = 18,6 Ом, = 57⁰ 30¢, = 6,45 А, = 103 B, = 64,5 В)

Рисунок 4.7

4. Найти мгновенные значения напряжения на всех участках и мгновенную мощность источника (рисунок 4.8). Дано: , = 200 Гц, = 10 Ом, = 0,01 Гн, = 80 мкФ.

Рисунок 4.8

( , , , , ).

Контрольные вопросы

1. Чем отличается переменный ток от постоянного?

2. Приведите основные характеристики синусоидального тока.

3. Как определяется действующее значения переменного тока?

4. Как изображается переменный ток на комплексной плоскости?

5. Приведите комплексные формы записи переменного тока.

6. Как аналитически и графически сложить (вычесть) два переменных тока?

7. Как аналитически умножить или разделить две комплексные величины?

8. Как определяется и что показывает мгновенная мощность?

9. Как определяется индуктивное сопротивление? Емкостное?

Список литературы, рекомендуемый к использованию по данной теме

Основная литература

1. Немцов М.В. Электротехника и электроника (6-е изд., стер.) учебник. –М: Академия, 2013. – 480 с. – ISBN: 9785446804320.

2. Электротехника и электроника: Учебное пособие для вузов / В.В. Кононенко [и др.]; под ред. В.В. Кононенко. – Изд. 6-е – Ростов н/Д: Феникс, 2010. – 784 с. (Высшее образование). – ISBN 978-5-222-17568-2.

Дополнительная литература

3. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи: Учебник. – 10-е изд. – М.: Гардарики, 2002. – 638 с.

Практическое занятие 5