Символический метод расчета цепей синусоидального тока

Сущность метода состоит в том, что для упрощения расчета цепей синусоидального тока переходят от уравнений для мгновенных значений, являющихся по сути интегро-дифференциальными уравнениями, к алгебраическим уравнениям в комплексной форме. Расчет цепи удобнее вести для комплексных действующих величин синусоидальных токов и напряжений.

Для схемы (рис. 1) c входным напряжением заданы следующие параметры:

r₁ = 4,5 Ом; r₂ = 5 Ом;

r₃ = 2,7 Ом; x_L1 = j3 Ом;

x_C2 = -j1,5 Ом; x_C3 = -j4,5 Ом; x_L4 = j3,5 Ом;

Е = 14,76 В; j_Е = 54,4°.

Рис. 1

Для заданной схемы определить токи в ветвях, падения напряжений на каждом элементе цепи, рассчитать баланс активных и реактивных мощностей и построить в масштабе векторно-топографическую диаграмму.

Порядок расчета:

1. Определяем комплексные сопротивления каждой ветви

Ом,

Ом,

Ом.

2. Определяем комплексное сопротивление разветвленного участка Z_ab:

3. Определяем комплексное сопротивление всей цепи Z_Σ:

Z_Σ =Z₁ + Z_ab = 4,5 + j3 + 3,29 – j1,13 = 7,79 + j1,87 = 7,95e ^j13,6 Ом.

4. Записываем напряжение источника в комплексной форме Е и определяем ток I₁в неразветвленной части цепи:

= 1,4 + j1,2 A.

5. Определяем напряжение на разветвленном участке «ав»:

U_ab= I₁×Z_ab= ×3,48e ^-j19° =6,46e ^j21,8° =(6+ j2,4) В.

6. Определяем токи в остальных ветвях:

A;

A.

7. Мгновенное значение тока i₃ определяем по его комплексному действующему значению I₃ =1,23e ^j80,8ْ А.

Комплексная амплитуда тока I_m3 = = ×1,23e ^j80,8ْ B,

А.

8. Комплексную мощность всей цепи определяем как

= P ± jQ,

где Е =14,76e ^j54,4ْ = 8,59 +j12 В, I₁ =1,85e ^-j40,8 А,

=14,76e ^j54,4ْ ×1,85e ^-j40,8ْ =27,3e ^j13,6 = (26,5+ j6,4)ВА.

9. Согласно закону сохранения энергии активная мощность всей цепи равна сумме активных мощностей всех n активных сопротивлений, входящих в цепь: =4,5×1,85²+5×1,2²+2,7×1,23²=26,52 Вт.

10. По закону сохранения энергии реактивная мощность всей цепи равна алгебраической сумме мощностей всех m реактивных сопротивлений, входящих в цепь (X_k >0, если сопротивление индуктивное и X_k <0, если емкостное): =

= 3×1,85² + (3,5-1,5)×1,2² + (-4,5)×1,23² = 6,43 ВAp.

Баланс активных и реактивных мощностей сходится:

P = 26,5 ≈ 26,52Вт; Q = 6,4 ≈ 6,43 ВAp.

11. Топографическая диаграмма — это векторная диаграмма цепи, в которой каждой точке электрической схемы соответствует точка на топо­графической диаграмме (рис. 2).

Это достигается тем, что векторы напряжений на отдельных элементах схемы строятся в той последовательности, в которой они расположены в схеме (обходим схему в направлении тока – по часовой стрелке).

Для построения топографической диаграммы определяем напряжения на всех элементах цепи.

U_r1 = I₁ R₁ = 1,85e ^-j40,8°×4,5 = 8,34e ^-j40,8° = 6,31 – j5,45 В;

U_L1 = I₁ X_L1 = 1,85e ^-j40,8°×3e ^j90° = 5,55e ^j49,2° = 3,63 + j4,2 В;

U_r2 = I₂ R₂ = 1,2 ×5 = 6 В;

U_С2 = I₂ X_С2 = 1,2 × 1,5 e ^-j90° = 1,8 e ^–j90° = –j1,8 В;

U_L2 = I₂ X_L2 = 1,2 ×3,5e ^j90° = 4,2 e ^j90° = j4,2 В;

U_r3 = I₃ r₃ = 1,23 × 2,7 = 3,32 В;

U_C3 = I₃ X₃ = 1,23 × 4,5 = 5,54 В.

12. Проводим проверку правильности расчета токов и напряжений по 1 и 2 законам Кирхгофа, используя алгебраическую форму записи комплексных чисел.

Проверка по 1 закону осуществляется для любого из двух узлов а или в. Например, для узла а:

I₁ – I₂ – I₃ = 0, значит I₁ = I₂ + I₃,

следовательно, 1,4 + j1,2 = 1,2 + 0,2 + j1,21 » 1,4 + j1,21.

Аналогично проводим проверку по 2 закону для контура а в с, обходя его по часовой стрелке

E = U_r2 + U_L2 + U_C2 + U_r1 + U_L1.

8,59 +j12 = 6,31 – j5,45 + 3,63 + j4,2 + 6 + j4,2 – j1,8.

Если результаты проверок удовлетворительные, то можно строить векторную диаграмму.

13. Выбираем масштабы по току и напряжению μ_I = 0,1 А/мм, μ_U = 1 В/мм. Построение топографической векторной диаграммы начинаем с построения векторов токов, которые проводим из начала координат под углами, найденными в П4 и П6. Диагональ параллелограмма должна соответствовать вектору ₁= ₂+ ₃.

Из начала координат под углом Ψ_u = -54,4° строим вектор питающего напряжения Е. Затем так же из начала координат (точка а) по направлению тока I₂ строим сначала вектор падения напряжения U_r2, а затем последовательно вектора U_L2 и U_С2, ориентируя их соответствующим образом относительно тока I₂. Построение векторов U_r1 и U_L1 ориентируем относительно тока I₁. Векторная сумма этих последовательно построенных пяти падений напряжений, согласно 2 закону Кирхгофа, равна вектору питающего напряжения Е.

Аналогичным образом строим сумму векторов падений напряжений U_r3 и U_C3, ориентируя их по току третьей ветви I₃.

Рис. 2