Проверка гипотезы однородности статистического материала

В математической статистике используется несколько критериев однородности [8] : критерий знаков, Вилкоксона, Пирсона, Ван-дер-Вардена, Смирнова. Первые четыре критерия менее трудоемки, но при этом имеют меньшую чувствительность (мощность). Ограничимся рассмотрением критерия Вилкоксона. [3]

Критерий Вилкоксона служит для проверки однородности двух независимых выборок : x1, х2 ,..., хп и у1, y2, …, yn . Достоинство этого критерия состоит в том, что он применим к случайным величинам, распределения которых неизвестны; требуется лишь, чтобы величины были непрерывными.

Если выборки однородны, то считают, что они извлечены из одной и той же генеральной совокупности и, следовательно, имеют одинаковые» причем неизвестные, непрерывные функции распределения F1(х) и F2(х).Таким образом, нулевая гипотеза состоит в том, что при всех значениях аргумента (обозначим его через х) функции распределения равны между собой:

F1(х)=F2(х).

. Конкурирующими являются следующие гипотезы:

F1(х)=F2(х),F1(х)>F2(х). и F1(х) <F2(х).

Заметим, что принятие конкурирующей гипотезы

Н1: F1(х) <F2(х )означает, что X > У.

Действительно, неравенство F1(х)<F2(х) равносильно неравенству Р (X < х) < Р (У < х). Отсюда легко получить, что Р (X > х) > Р (У > x). Другими словами, вероятность того, что случайная величина X превзойдет фиксированное действительное число х, больше, чем вероятность случайной величине У оказаться большей, чем х; в этом смысле X > У.

Аналогично, если справедлива конкурирующая гипотеза H1: F1(х)> F2(х), то X < У.

Далее предполагается, что объем первой выборки меньше (не больше) объема второй: n1 Проверка гипотезы однородности статистического материала - student2.ru n2 если это не так, то выборки можно перенумеровать (поменять местами).

А. Проверка нулевой гипотезы в случае, если объем обеих выборок не превосходит 25.

Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне значимости α = 2Q проверить нулевую гипотезу Н0 : F1(х)= F2(х) об однородности двух независимых выборок объемов n1 и n2 (n1 Проверка гипотезы однородности статистического материала - student2.ru n2) при конкурирующей гипотезе Н1: F1(х) Проверка гипотезы однородности статистического материала - student2.ru F2(х), надо:

1)расположить варианты обеих выборок в возрастающем порядке, т. е. в виде одного вариационного ряда, и найти в этом ряду наблюдаемое значение критерия Wнабл. ‑ сумму порядковых номеров вариант первой выборки;

2)найти по таблице приложения 3 нижнюю критическую точку wнижн.кр (Q; n1, n2), где Q =α/2;

3)найти верхнюю критическую точку по формуле

W верхн .кр =( n1 + n2+ 1) n1 ‑ w нижн.кр .

Если Wнабл. < wнижн.кр или Wнабл. > wверхн.кр —нулевую гипотезу отвергают.

Если wнижн.к <Wнабл. < wверхн.кр - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Пример решения задачи к разделу 3.4.1. [3 ]

(для случая, если объем обеих выборок не превосходит 25)

Пример 1. При уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипо­тезу об однородности двух выборок объемов n1=6 и n2= 8:

xi 15 23 25 26 28 29

yi 12 14 18 20 22 24 27 30

при конкурирующей гипотезе Н1: F1(х) Проверка гипотезы однородности статистического материала - student2.ru F2(х)

Решение. Расположим варианты обеих выборок в виде одного вариационного ряда и перенумеруем их:

порядковые номера 1 23 4 5 67 89 101112 1314

варианты… 12 14 15 18 20 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Найдем наблюдаемое значение критерия Вилкоксона — сумму порядковых номеров первой вариант первой выборки:

Wнабл. = 3+7+9 +10+12 +13 = 54.

Найдем по таблице приложения 3 нижнюю критическую точку, учитывая, что Q= α/2 = 0,05/2 = 0,025, n1 =6, n2 =8

W нижн.кр (0,025; 6, 8) = 29.

Найдем верхнюю критическую точку:

W верхн.кр = (n1+ n2+1) n1 - wверхн.кр = (6 + 8+1)٠6 – 29 = 61.

Так как 29 < 54 < 61, т. е wнижн.кр < Wнабл. < wверхн.кр — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу об однородности выборок.

Правило 2. При конкурирующей гипотезе F1(х) > F2 (х) надо найти по таблице нижнюю критическую точку wнижн.кр (Q; n1, n2), где Q =α.

Если Wнабл. > wнижн.кр —нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если Wнабл. < wнижн.кр —нулевую гипотезу отвергают.

Правило 3.При конкурирующей гипотезе Н1:F1(х)<F2(x) надо найти верхнюю критическую точку: wверхн..кр (Q; n1, n2)= ( n1 + n2+ 1) n1 ‑ wнижн.кр (Q; n1, n2), где Q =α

Если Wнабл. < wверхн.кр ‑ нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если Wнабл. > wнижн.кр ‑ нулевую гипотезу отвергают.

Замечание. Если несколько вариант только одной выборки одинаковы, то в общем вариационном ряду им приписывают обычные порядковые номера (совпавшие варианты нумеруют так, как если бы они были различными числами); если же совпадают варианты разных выборок, то всем им присваивают один и тот же порядковый номер, равный среднему арифметическому порядковых номеров, которые имели бы эти варианты до совпадения.

Наши рекомендации