Расчёт электростатического поля.

Расчёт электростатического поля.

Электростатическое поле равномерно заряженной оси.

Рассмотрим электростатическое поле оси, заряженной с равномерной плотностью заряда (где q – заряд, l – длина оси). Используем для этого теорему Гаусса в интегральной форме:

Выделим вокруг данной оси соосный с ней цилиндр единичной длины (l=1) с произвольным радиусом R. В объеме данного цилиндра сосредоточен заряд τ. Линии напряженности электростатического поля скользят вдоль оснований цилиндра и пересекают только его боковую поверхность S=2πRl=2πR. Напряженность поля во всех точках этой поверхности одинакова, так как они равноудалены от заряженной оси. Кроме того, линии напряженности перпендикулярны к этой поверхности, поэтому можно записать:

Поэтому теорему Гаусса для данного случая можно записать так:

или

Откуда

(1.1)

В векторном выражении , где - единичный вектор, направленный в радиальном направлении по отношению к заряженной оси.

В выражении (1.1) , где

ε_а – абсолютная диэлектрическая проницаемость вещества (Ф/м)

ε₀ – диэлектрическая проницаемость вакуума (или диэлектрическая постоянная)

ε₀=8,86·10^-12 (Ф/м)

ε – относительная диэлектрическая проницаемость вещества.

Поле двух параллельных заряженных осей.

Рассмотрим поле двух параллельных заряженных осей А и В. Плотность заряда обоих осей одинакова и равна τ, а знак заряда противоположный. Определим напряженность поля в некоторой произвольной точке М, удаленной от провода А на расстояние АМ=а и от В на расстояние ВМ=b.

Используя метод наложения, запишем

(1.2)

где

(1.2а)

(1.2б)

где и - единичные вектора (орты) по направлению отрезков a и b (совпадают соответственно с и ).

Далее определим потенциал в точке М также используя принцип наложения, т.е.

(1.3)

Так как , то

или

(1.3а)

При определении учтем, что заряд на оси В отрицательный, поэтому

(1.3б)

Для определения постоянной интегрирования С рассмотрим точку, лежащую на линии нулевого потенциала (т.е равноудаленную от осей А и В). Для неё φ=0. Тогда

Так как ln1=0, то С=0. Окончательно имеем

(1.4)

Построение графика изменения напряженности вдоль прямой,

Соединяющий оси проводов.

Для этой цели используем формулы (1.2), (1.2а) и (1.2б). Следует выделить три области (см. рис. 2):

1 – между проводами А и В (точка М и ей подобные);

2 – левее левого провода (точка N);

3 – правее правого провода (точка P).

В первой области (точка M) вектора E_A и E_B совпадают по направлению. Поэтому

Если обозначить a=x и b=d-x, где x – расстояние от оси левого провода до точки М и d – расстояние между осями проводов, то

или

(1.5а)

Для точек, лежащих левее левого провода

Примем a=x, тогда b=d+x

(1.5б)

Для точек Р, лежащих правее правого провода

Удобно принять b=x, тогда a=d+x

(1.5в)

В данном случае формулы (1.5б) и (1.5в) тождественны, что говорит о симметрии картины изменения Е за проводами (2–я и 3–я области). При этом следует помнить, что направление векторов Е за пределами проводов противоположно направлению Е в точках, лежащих между проводами. Рекомендуемые точки для построения графика Е показаны на рис. 3.

Точки

3, 4, 8, 9 – в непосредственной близости от проводов

2 и 5 – на расстоянии d/4 от левого провода

7 и 10 – на расстоянии d/4 от правого провода

6 – на расстоянии d/2 от левого и правого провода

Так как напряженность Е особенно резко изменяется вблизи проводов, то для построения более точного графика можно дополнительно рассчитать значение Е в точках, близких к 3, 4, 8 и 9.

Но указанные на рис. 3 точки являются минимально необходимыми. При построении графика Е размерность рекомендуется брать в (кВ/см) или (В/см).

Соединяющей оси проводов.

Для этой цели используем формулу (1.4)

Используем те же области, что и при построении графика Е.

Для области 1 между проводами (точка М и ей подобные) принимаем a=x и b=d-x, тогда для этого участка:

Отсюда

(1.6а)

Для области 2, лежащей левее левого провода (точка N), принимаем a=x и b=d+x:

Отсюда

(1.6 б)

Для области 3, лежащей правее правого провода (точка Р), принимаем a=d+x и b=x:

(1.6 в)

т.е формулы (1.6 б) и (1.6 в) отличаются только знаком.

Расчетные точки для определения φ те же, что для определения Е (см. рис. 3). Примерный вид графиков Е и φ показан на рис. 4 и рис. 5. На этих графиках для наглядности увеличен диаметр проводов.

Кривая изменения потенциала

§ 1.5 Определение емкости двухпроводной линии без учета земли.

Потенциал на поверхности провода определяется по формуле (1.4):

Учитывая, что в реальной линии расстояние между проводами d гораздо больше радиуса провода можно принять:

для провода А: b=d и a=R, тогда

для провода В: b=R и a=d, тогда

Напряжение между проводами:

Тогда удельная емкость линии (емкость единицы длины линии) С₀ равна:

Итак, без учета влияния земли:

(1.7)

С учетом влияния земли.

В этом случае используем метод зеркальных отображений, согласно которому учитывается влияние не только исходных проводов, но и их зеркальных отображений относительно поверхности земли, несущих на себе заряды, равные по величине зарядам исходных проводов, но противоположных им по знаку (см. рис. 6).

Согласно первой группе формул Максвелла:

(1.8 а)

(1.8 б)

В этих формулах:

φ₁ и φ₂ – потенциалы проводов;

τ₁ и τ₂ – линейная плотность зарядов этих проводов;

α₁₁ и α₂₂ – собственные потенциальные коэффициенты (они учитывают влияние только своего зеркального отображения);

α₁₂ и α₂₁ – взаимные потенциальные коэффициенты (они учитывают влияние на данный провод соседнего провода и его зеркального отображения).

Выведем формулы для определения потенциальных коэффициентов. Пусть τ₂=0 и τ₁=1, тогда из формулы (1.8 а) имеем α₁₁= φ₁. В этом случае потенциал провода 1 определяется зарядом самого провода и его зеркального отображения. Поэтому в формуле для определения потенциала:

следует подставить b=2h₁ и a=R. Тогда:

(1.9 а)

Рассуждая подобным образом (приняв τ₂=1 и τ₁=0) из формулы (1.8 б) α₂₂=φ₂ В итоге получим:

(1.9 б)

Взаимный потенциальный коэффициент определим положив в формуле (1.8 а) τ₁=0 и τ₂=1. В этом случае α₁₂=φ₁ т.е. это потенциал первого провода определяемый зарядами второго провода и его зеркального отображения, расстояния до которых равны соответственно a=d₁₂ и b=D₁₂. Таким образом:

(1.9 в)

Нетрудно убедиться, что α₁₂= α₂₁.

В полученных выражениях

Эти формулы используют, если задан параметр «k». Если задано расстояние d₁₂, то

Выведем выражение для определения напряженности между проводами U₁₂=φ₁ – φ₂. Используем формулы (1.8 а) и (1.8 б).

Учтем, что в нашем случае τ₁=-τ₂ и α₁₂= α₂₁. Тогда

Удельная емкость двухпроводной линии с учетом влияния земли:

(1.10)

Подставим в полученную формулу выражения для потенциальных коэффициентов (1.9 а), (1.9 б) и (1.9 в) и произведем ряд преобразований.

Итак,

(1.11)

Сравнивая формулы (1.7) и (1.11) видим, что они отличаются на множитель . Если провода подвешены на одной высоте, то h₁=h₂=h и этот множитель выглядит так: . При достаточно большой высоте , тогда и С₀=С_0зем, т.е. влиянием земли можно пренебречь.

Пример №1.

Пример №2.

Расчёт электростатического поля.