Связь между символами плоскостей и направлений (граней и ребер).

Зная символы 2-х плоскостей можно найти символы ребра (направления), по которому они пересекаются и наоборот. Символы плоскости (hkl) и направления [mnp] связаны между собой: h m+k n+l p = 0. Найдем символы ребра [mnp] по которому пересекаются две грани (h₁k₁l₁) и (h₂k₂l₂). Для этого необходимо решить систему уравнений:

h₁ m + k₁n + l₁ p = 0

h₂ m + k₂ n + l₂ h = 0 (2.3)

Решением системы уравнений являются детерминанты:

, , (2.4)

а отношение det-ов дает символ грани:

(2.5)

Аналогично можно найти символы грани по символам двух, лежащих на ней ребер:

(2.6)

Обратная решетка.

Обратная решетка представляет собой удобную абстракцию, позволяющую математически просто и точно описывать условия, в которых протекает то или иное явление в твердом кристаллическом теле. Каждой кристаллической структуре соответствуют две решетки: кристаллическая решетка и обратная решетка. Они связаны между собой соотношениями:

; ; . (2.7)

- векторы обратной решетки; - векторы прямой решетки. Векторы кристаллической решетки имеют размерность длины, а размерность векторов обратной решетки [длина]^-1.

Так как , то скалярное произведение:

, (2.8)

. (2.9)

При построении обратной решетки векторы перепендикулярны соответственно , , и, обратно, векторы перпендикулярны парам векторов , , . Векторы прямой решетки связаны с векторами обратной решетки аналогичными формулами:

; ; ; (2.10)

где - объем элементарной ячейки обратной решетки: _.

Свойства обратной решетки:

1. обратная и прямая решетки взаимно сопряжены;

2. решетка обратная обратной, есть исходная прямая решетка;

3. каждый узел [[mnp]]* обратной решетки соответствует семейству параллельных плоскостей (hkl) прямой решетки;

4. обратная решетка Бравэ сама является решеткой Бравэ.

Векторы трансляции связывают в прямой кристаллической решетке пары точек, которые имеют одинаковые атомные окружения. В обратном пространстве также вводится понятие трансляций, которые описываются векторами обратной решетки, образующих следующее семейство:

, (2.11)

где h, k и l – целые числа.

Если прямая решетка строго периодична, то обратная решетка, т.е. множество точек, удовлетворяющих условию (2.11), также периодична и бесконечна. Однако для решения тех задач, где удобно пользоваться представлением об обратной решетки, достаточно бывает ограничиться конечными объемом обратного пространства.

Элементарную ячейку Вигнера-Зейтца для обратной решетки называют первой зоной Бриллюэна. Первая зона Бриллюэна является зоной с наименьшим объемом. Она полностью ограничена плоскостями, которые делят пополам перпендикулярные к ним векторы обратной решетки, проведенные из начала координат.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. Сколько атомов приходится на одну элементарную ячейку объемноцентрированной кубической решетки?

РЕШЕНИЕ.

В элементарной ОЦК ячейке имеются узлы кристаллической решетки двух типов: узлы, находящиеся в вершинах куба, и узел, находящийся на пересечении двух пространственных диагоналей куба. Каждый узел в вершинах принадлежит одновременно восьми элементарным ячейкам. Следовательно, на данную элементарную ячейку приходится 1/8 узла. Узел, находящийся на пересечении диагоналей, целиком находится в ячейке. Так как вершин восемь, то на одну элементарную ячейку в ОЦК решетке приходится 2 атома.

ОТВЕТ: 2 атома.

Пример 2. Найти индексы плоскостей, проходящих через узловые точки кристаллической решетки с координатами 9; 10; 30, если параметры решетки а = 3, в = 5 и с = 6.

РЕШЕНИЕ

Из кристаллографии следует, что

h : k : l = , (2.12)

где h, k, l - индексы Миллера. Тогда

h : k : l = .

Таким образом, искомые индексы плоскости (10 15 6).

ОТВЕТ: Индексы плоскости (10 15 6).

Пример 3. Доказать, что расстояние между плоскостями (hkl) решетки кристалла равно обратной величине длины вектора из начала координат в точку hkl обратной решетки.

РЕШЕНИЕ

Если через обозначить единичный вектор нормали к плоскости (hkl), то межплоскостное расстояние

. (2.13).

Но . Тогда .

Поскольку , то .

Таким образом .

ОТВЕТ: .

ЗАДАЧИ, РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО

РЕШЕНИЯ

2.1. Определить плотность кристалла стронция, если известно, что кристаллическая решетка гранецентрированной кубической сингонии, а период решетки равен 0,43 нм.

ОТВЕТ: r = 2,6×10³ кг/м³.

2.2. Плотность кристалла NaCl равна r = 2,18×10³ кг/м³. Атомный вес натрия равен 23, а хлора - 35,46. Определить постоянную решетки.

ОТВЕТ: а = 2,81 Å.

2.3. Чему равно число атомов в элементарной ячейке гексагональной плотноупакованной решетки?

ОТВЕТ: 6 атомов.

2.4. Показать, что с/а для идеальной гексагональной структуры с плотной упаковкой равно: с/а = (8/3)^1/2 = 1,633.

ОТВЕТ: с/а = 1,633.

2.5. Определить объемы элементарной ячейки через радиусы равновеликих шаров, образующих плотные упаковки для: 1) объемноцентрированной; 2) гранецентрированной; 3) гексагональной плотноупакованной решеток.

ОТВЕТ: ; ; .

2.6. Пусть элементарная ячейка простой кубической решетки построена из одинаковых атомов, представляющих собой жесткие сферы с радиусом r. Ребро элементарной ячейки а = 2 r (атомы касаются друг друга). Показать, что часть объема занятая атомами при таком расположении, равна p/6 = 0,523.

ОТВЕТ: V_ат. = 0,523.

2.7. Объемноцентрированная кубическая решетка состоит из атомов одного вида, имеющих радиусы r. Пусть атомы, расположенные по диагонали, которая проходит через центр куба, касаются друг друга. Показать, что часть объема, занятая атомами при таком расположении, равна .

ОТВЕТ: V_ат. = 0,68.

2.8. Пусть гранецентрированная кубическая и гексагональная решетки постороены из одинаковых атомов, представляющих собой жесткие сферы с радиусом r. Показать, что часть объема, занятая атомами при таком расположении, равна: .

ОТВЕТ: V_ат = 0,74.

2.9. Два элемента а и b образуют кристалл аb, у которого решетка типа NaCl. Показать, что атомы, расположенные по диагонали грани куба, не могут касаться друг друга, если больше чем 2,44.

ОТВЕТ: = 2,44.

2.10. Пусть атомы а и b образуют кристалл, имеющий структуру CsCl, и представляют собой жесткие сферы с радиусами r_a и r_b. Показать, что атомы, расположенные по диагонали, которая проходит через центр куба, не могут касаться друг друга, если или больше чем 1,37.

ОТВЕТ: = 0,73; = 1,37.

2.11. Написать индексы Миллера для плоскостей, содержащих узлы с кристаллографическими индексами [[111]], [[ ]], [[ ]]. Найти также отрезки, отсекаемые этими плоскостями на осях координат.

ОТВЕТ: ( ); отрезки на осях: 4а; 2b; 1c.

2.12. Даны грани (320) и (110). Найти символы ребра их пересечения.

ОТВЕТ: [001].

2.13. Даны два ребра [ ] и [201]. Найти символ грани, в которой они лежат одновременно.

ОТВЕТ: ( ).

2.14. Положение плоскостей в гексагональной системе определяется с помощью четырех индексов. Найти индекс i в плоскостях (100), (010), (110) и (211) гексагональной системы.

ОТВЕТ: ( ); ( ); ( ); ( ).

2.15. Найти символы плоскости, отсекающей на осях координат отрезки 4а,

3 b, 2с.

ОТВЕТ: (hkl) = (346).

2.16. Найти символ плоскости, параллельной осям X и Z и отсекающей 3 единицы на оси Y.

ОТВЕТ: hkl = (010).

2.17. Элементарная ячейка магния принадлежит к гексагональной системе и имеет параметры а = 3,20 Å и с = 5,20 Å. Определить векторы обратной решетки.

ОТВЕТ: а* = 0,75 Å^-1; b* = 0,75 Å^-1; c* = 0,40 Å^-1.

2.18. Выразить углы между векторами обратной решетки через углы прямой решетки.

ОТВЕТ: ; ; .

2.19. Показать, что решетка, обратная кубической объемноцентрированной, будет кубической гранецентрированной.

2.20. Определить угол между плоскостями (201) и (310) в ромбической системе с параметрами решетки а = 10,437 Å , b = 12,845 Å , c = 24, 369 Å .

ОТВЕТ: j = 17⁰.

2.21. Найти угол, образуемый гранями (100) и (010) кубического кристалла.

ОТВЕТ: j = p/2.

2.22. В триклинной решетке цианита параметры а,b,c и углы a,b,g элементарной ячейки соответственно равны 7,09; 7,72; 5,56 Å; 90⁰55`; 101<sup>0</sup>2`; 105⁰44`. Определить расстояния между плоскостями (102).

ОТВЕТ: d_hkl = 2,23 Å.

2.23. Получить формулы для вычисления межплоскостных расстояний кристаллов:

1) ромбической; 2) гексагональной; 3) тетрагональной; 4) кубической систем из формулы для межплоскостных расстояний кристаллов триклинной системы.

ОТВЕТ: В ромбической системе в гексагональной

в тетрагональной в кубической

2.24. Векторы примитивных трансляций гексагональной пространственной решетки можно выбрать следующим образом:

а) показать, используя формулу V= , что объем примитивной ячейки равен .

б) показать, что векторы примитивных трансляций обратной решетки равны:

; ; , так что решетка есть ее собственная обратная, но с поворотом осей.