Электростатических полей в вакууме

Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости. Бесконечная плоскость (рис. 1.6) заряжена с постоянной поверхностной плотностью – заряд, приходящийся на единицу поверхности). Линии напряженности перпендикулярны рассматриваемой плоскости и направлены от нее в обе стороны. В качестве замкнутой поверхности выберем цилиндр, основания которого параллельны заряженной плоскости, а ось перпендикулярна ей. Так как образующие цилиндра параллельны линиям напряженности ( ), то поток вектора напряженности сквозь боковую поверхность цилиндра равен нулю, а полный поток сквозь цилиндр равен сумме потоков сквозь его основания (площади оснований равны и для основания Е_n совпадает с Е), т. е. равен 2 ES.

Заряд, заключенный внутри построенной цилиндрической поверхности, равен sS. Согласно теореме Гаусса (1.13), , откуда

(1.14)

Рис. 1.6	Рис. 1.7

Поле двух бесконечных параллельных разноименно заряженных плоскостей(рис. 1.7). Пусть плоскости заряжены равномерно разноименными зарядами с поверхностными плотностями +s и –s. Поле таких плоскостей найдем как суперпозицию полей, создаваемых каждой из плоскостей в отдельности. Слева и справа от плоскостей поля компенсируют друг друга, поэтому здесь напряженность поля Е = 0. В области между плоскостями ( определяются по формуле (1.14)), поэтому результирующая напряженность

(1.15)

Поле равномерно заряженной сферичеcкой поверхности.Сферическая поверхность радиуса R с общим зарядом Q заряжена равномерно с поверхностной плотностью+s.

Так как заряд равномерно распределен по поверхности, поле, создаваемое им, обладает сферической симметрией, поэтому линии напряженности направлены радиально (рис. 1.8).

Рис. 1.8

Выберем сферу радиуса r, имеющую общий центр с заряженной сферой.

Если r > R, то внутрь поверхности попадает весь заряд Q, создающий рассматриваемое поле, и по теореме Гаусса (1.13) откуда

(1.16)

При r >R поле убывает с расстоянием r по такому же закону, как и для точечного заряда. Если , то замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, т.к. они располагаются на поверхности и напряженность поля

Поле равномерно заряженного бесконечного цилиндра (нити). Бесконечный цилиндр радиуса R (рис.1.9) заряжен равномерно с линейной плотностью – заряд, приходящийся на единицу длины). Линии напряженности направлены по радиусам круговых сечений цилиндра с одинаковой густотой во все стороны относительно оси цилиндра. В качестве замкнутой поверхности выберем коаксиальный с заряженным цилиндр радиуса r и высотой l. Поток вектора сквозь торцы коаксиального цилиндра равен нулю (торцы параллельны линиям напряженности), а сквозь боковую поверхность – .

По теореме Гаусса (1.13), при откуда

(1.17)

Рис. 1.9

Если r < R, то замкнутая поверхность зарядов внутри не содержит, поэтому в этой области также E=O. Таким образом, напряженность поля вне равномерно заряженного бесконечного цилиндра определяется выражением (1.17), внутри же его поле отсутствует.