Применение теоремы Гаусса к расчету некоторых электростатических полей в вакууме

Поле равномерно заряженной бесконечной пластины (Рисунок 4).

Поверхностная плотность зарядов - заряд, приходящийся на единицу поверхности пластины.

Поток вектора напряженности через боковую поверхность цилиндра равен 0. Полный поток через цилиндр равен сумме потоков сквозь два его основания:

Рисунок 4. Поле равномерно заряженной бесконечной пластины

.

Заряд внутри цилиндра q = s ×S;

По теореме Гаусса:

Поле равномерно заряженной бесконечной пластины однородно, т.к. напряженность поля Е не зависит от длины цилиндра.

Поле двух бесконечных параллельных разноименно заряженных плоскостей (рисунок 5). Верхние стрелки на рисунке соответствуют полю от положительно заряженной плоскости,

Рисунок 5. Поле двух бесконечных разноименно заряженных плоскостей

а нижние – от отрицательно заряженной плоскости. Слева и справа от плоскостей поля вычитаются и поэтому слева и справанапряженность поля Е = 0.

Напряженность поля между плоскостями:

Поле равномерно заряженной сферической поверхности радиусом R с поверхностной плотностью + s (Рисунок 6).

Рисунок 6. Поле равномерно заряженной сферической поверхности

Построим мысленно сферу радиуса r > R. Весь заряд окажется внутри этой сферы: , откуда напряженность: .

Таким образом, при r > R поле убывает с увеличением r по такому же закону, как у точечного заряда. Если r < R, то замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов и поле равно 0.

Поле объемно заряженного шара (Рисунок 7).

Напряженность внутри шара: . Это значит, что внутри шара при наблюдается линейная зависимость напряженности от .

Шар радиусом R с общим зарядом q равномерно заряженс объемной плотностьюr.

		Рисунок 7. Поле объемно заряженного шара

Напряженность поля вне шара будет та же, что в предыдущем случае: .

Поле равномерно заряженного бесконечного цилиндра (нити)

Бесконечный цилиндр радиуса R заряжен с линейной плотностью заряда . Поток вектора E сквозь торцы равен 0, а сквозь боковую поверхность: . По теореме Гаусса при r > R: , откуда: (r ³ R)

При r < R замкнутая поверхность зарядов внутри не содержит, поэтому в этой области Е = 0.

Контрольные вопросы

1. Что Вы знаете об электрическом заряде?

2. Изложите закон Кулона.

3. Расскажите об относительной и абсолютной диэлектрической проницаемости среды.

4. Что Вы знаете о пробном заряде?

5. Расскажите о напряженности электрического поля.

6. Изложите принцип суперпозиции электрических полей.

7. Дайте формулировку теоремы Гаусса для электростатических полей.

Работа по перемещению заряда в электрическом поле. Потенциальность электростатического поля.

Работа вычисляется: .

Рисунок 8. Работа по перемещению заряда

Если в электростатическом поле точечного заряда , находящегося в вакууме, перемещать из точки 1 в точку 2 другой

точечный заряд вдоль произвольной траектории (рисунок 8), то сила , приложенная к заряду , совершает элементарную работу:

= где

Полная работа А по перемещению заряда из точки 1 в точку 2:

Работа при перемещении заряда не зависит от траектории, а зависит только от начального и конечного положения заряда .

Следовательно, электростатическое поле точечного заряда – потенциальное, а электростатические силы - консервативные.

Работапо перемещению электрического заряда в электростатическом поле по любому замкнутому пути равна нулю: .

Если перемещается единичный точечный заряд, то элементарная работа сил поля на пути равна: где

– проекция вектора напряженности на направление элементарного перемещения . . Поскольку работа в электрическом поле по замкнутому пути равна нулю, то: ,

Интеграл - называется циркуляцией вектора напряженности электростатического поля.

Из предыдущего выражения следует, чтоциркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль любого замкнутого контура равна 0.

Это означает, что линии напряженности электростатического поля не могут быть замкнутыми.