Эксперимент в квантовой механике

Помимо искажений, возникающих вследствие субьективности экспериментатора, на результаты влияет и принципиально вероятностный характер самого процесса измерения физической величины, что описывается квантовой механикой. Если система находится в чистом состоянии и описывается волновой функцией y_n, то ожидаемое значение áAñ наблюдаемой величины A равно интегралу , где – оператор этой наблюдаемой. В одном измерении можно получить только одно значение из набора собственных состояний оператора (каждое – с определенной вероятностью), и интеграл предсказывает результат серии экспериментов.

Более общим квантово-механическим описанием системы является матрица плотности [2]

ρ=∑_n ρ_n|Y_nñáY_n|.

Диагональные элементы матрицы плотности án|r|nñ задают вероятность обнаружить в эксперименте чистое состояние |nñ. Однако в большинстве экспериментов обнаруживается не единственное чистое состояние. Детектор в общем случае реагирует на несколько состояний |nñ с относительными вероятностями («эффективностями») e_n. Полная вероятность срабатывания прибора определяется выражением

W=∑_n e_n án|r|nñ.

Если ввести оператор, аналогичный матрице плотности

e = ∑_n e_n |nñán|,

то выражение для W можно представить как след произведения двух матриц

W = tr re.

Оператор e называется «матрицей эффективности» измерительного прибора и полностью описывает его реакцию. Если прибор с достоверностью реагирует только на одно состояние |nñ (т.е. является идеальным фильтром), то e_n =|nñán|. В этом случае из смеси можно выделить чистое состояние |nñ, и первое выражение сводится к выражению

W=W_n = án|r|nñ.

Планирование эксперимента

В любой экспериментальной задаче два аспекта: планирование эксперимента и статистический анализ данных, причем эти два аспекта тесно взаимосвязаны, так как метод анализа непосредственно зависит от использованного плана. Организация эксперимента должна позволить применить для анализа данных статистические методы, поскольку если данные эксперимента содержат ошибки, то статистические методы являются единственным объективным подходом к их анализу.

В основе планирования эксперимента лежат два основных принципа: репликация и рандомизация. Под репликацией понимается повторение основного эксперимента. Повторные опыты позволяют экспериментатору получить оценку ошибки эксперимента (случайной погрешности). Эта оценка становится основной «мерой» при определении того, являются ли наблюдаемые различия в данных в действительности статистически различными.

Рандомизация означает, что распределение экспериментального материала и порядок, в котором должны проводиться отдельные опыты, устанавливаются случайным образом. Для применения статистических методов требуется, чтобы наблюдения (или ошибки) были независимыми случайными переменными. Рандомизация, как правило, обеспечивает справедливость этого допущения.

Примерная схема эксперимента такова:

1. Признание факта существования задачи и ее формулировка. Необходимо уточнить все представления о целях эксперимента.

2. Выбор факторов. Необходимо отобрать независимые переменные или факторы, которые будут исследоваться в эксперименте. Нужно также выбрать диапазон и значения факторов, которые будут использованы в эксперименте. Эти значения могут быть заданы через шаг или выбраны случайным образом.

3. Выбор переменной отклика. Отклик, который предстоит измерять, должен содержать информацию об исследуемой проблеме. Нужно подумать также и о том, как будет измеряться отклик и какова вероятная точность этих измерений.

4. Выбор погрешности эксперимента. Необходимо задать величину отличия от истинного отклика, который планируется обнаружить, и величину риска, на который можно пойти, с тем, чтобы выбрать соответствующий объем выборки (число реплик). Необходимо всегда согласовывать между собой статистическую точность, длительность и стоимость эксперимента.

5. Выбор математической модели эксперимента. Должна быть предложена математическая модель эксперимента, что позволит провести статистический анализ данных. Также надо определить, в каком порядке будут собираться данные, и какой метод рандомизации будет применен.

6. Проведение эксперимента. Эксперимент должен проходить в соответствии с планом. Особое внимание нужно обращать на рандомизацию, точность измерений и поддержание как можно большей однородности внешних условий эксперимента.

7. Анализ данных. Для анализа данных эксперимента должны применяться статистические методы. При этом важно не забывать и о точности вычислений.

8. Выводы и рекомендации. Нужно дать физическую интерпретацию статистических выводов и оценить их практическое значение, а затем вынести рекомендации об использовании результатов. Представляя свои результаты и выводы, экспериментатор должен стараться использовать как можно меньше специальной статистической терминологии и формулировать свое сообщение по возможности проще [3].

Вопросы для самопроверки:

· Чем определяется вероятность обнаружения в определенном состоянии системы, описываемой матрицей плотности?

· Какие принципы, позволяющие уменьшить случайные и систематические ошибки, должны лежать в основе планирования эксперимента?

· С какими параметрами эксперимента в первую очередь конкурирует точность результатов?