Конденсаторы. Электроёмкость конденсаторов
Наибольший эффект увеличения электроёмкости проводника достигается для конденсаторов, представляющих собой две металлических пластины, разделённые слоем диэлектрика. На пластины (обкладки) подают заряды, одинаковые по модулю и противоположные по знаку. Форма конденсатора обеспечивает существование электрического поля только в пространстве между ними. Это позволяет устранить влияние на электроёмкость конденсатора окружающих его тел.
На рис.4.5 приведено схематическое изображение плоского, сферического и цилиндрического конденсаторов.
б) |
|
Рис.4.5. Виды конденсаторов: а – плоский; б – сферический; в – цилиндрический
Электроёмкость конденсатора вводится формулой
, (4.4)
где q – заряд положительно заряженной пластины конденсатора; - разность потенциалов между его обкладками.
Электроёмкость конденсатора, как и электроёмкость уединённого проводника, зависит только от его геометрических размеров и диэлектрических свойств среды между его пластинами.
Запишем формулы для электроёмкости конденсаторов различного вида:
а) плоский конденсатор. Из формул (4.4) и (1.27) получим:
,
где S – площадь одной пластины конденсатора; d – расстояние между ними; ε – относительная диэлектрическая проницаемость среды между обкладками конденсатора;
б) сферический конденсатор. Радиусы обкладок обозначим R1 и R2 ( ). Электрическое поле конденсатора обладает сферической симметрией и согласно теореме Гаусса определяется зарядом только внутренней сферы. Учитывая формулу разности потенциалов между обкладками конденсатора (1.28), получаем:
;
в) электроёмкость цилиндрического конденсатора:
,
где h – высота конденсатора; R1 и R2 – радиус внутренней и внешней поверхностей.
ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ
Энергия системы зарядов
Получим выражение для потенциальной энергии системы двух точечных зарядов и , находящихся на расстоянии . Когда заряды удалены друг от друга на бесконечность, они не взаимодействуют, и энергия в этом случае равна нулю. При сближении зарядов на расстояние совершается работа против сил электрического поля, которая идет на увеличение потенциальной энергии системы. Сближение зарядов можно произвести, приближая к или к .Работа переноса заряда из бесконечности в точку, удаленную от на , равна
,
где - потенциал, создаваемый зарядом в той точке, в которую перемещается заряд . Аналогично работа переноса заряда из бесконечности в точку, удаленную от на , равна
,
где - потенциал, создаваемый зарядом в той точке, в которую перемещается заряд .
Значение работ в обоих случаях одинаково и каждое из них выражает энергию системы:
.
Для того чтобы в выражение энергии системы оба заряда входили симметрично, запишем его следующим образом:
. (5.1)
Формула (5.1) задает энергию системы двух зарядов. Перенесем из бесконечности еще один заряд и поместим его в точку, находящуюся на расстоянии от и от . При этом совершается работа
,
где - потенциал, создаваемый зарядами и в той точке, в которую перемещается заряд .
В сумме с и работа будет равна энергии трех зарядов:
. (5.2)
Выражение (5.2) можно привести к виду:
Добавляя к системе зарядов последовательно и т.д., можно убедиться в том, что в случае N зарядов потенциальная энергия системы равна:
, (5.3)
где - потенциал, создаваемый в той точке, где находится , всеми зарядами, кроме k-го.