Электрическое поле в вакууме

Кунаков В.С.

К 91 Электростатика. Постоянный электрический ток: учеб. пособие. / B.C. Кунаков, И.В. Мардасова, О.М. Холодова, В.А. Тызыхян. – Ростов н/Д: Издательский центр ДГТУ, 2010. – 66 с.

ISBN 978-5-7890-0574-3

В учебном пособии в краткой форме рассматриваются основные вопросы электростатики (электростатическое поле в вакууме и в диэлектриках, диэлектрики и проводники в электрическом поле), а также основные понятия и законы постоянного тока в рамках общего курса физики.

Цель пособия – оказать помощь студентам первого и второго курсов технических и инженерно-экономических специальностей при освоении теоретического материала, решении задач, подготовке к выполнению лабораторных работ по разделу «Электричество».

Предназначено для студентов очной, заочной и ускоренной форм обучения.

УДК 530

Печатается по решению редакционно-издательского совета

Донского государственного технического университета

Научный редактор д-р техн. наук, проф. B.C. Кунаков

© Кунаков B.C., Мардасова И.В.,

Холодова О.М., Тызыхян В.А., 2010

ISBN 978-5-7890-0574-3 © Издательский центр ДГТУ, 2010

ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ

Электрический заряд, атомистичность заряда,

Элементарный заряд

Все тела в природе способны электризоваться, т.е. приобретать электрический заряд. Причем заряды существуют двух знаков: условно называемые положительными и отрицательными.

Электрический заряд является неотъемлемым свойством некоторых элементарных частиц. Заряд всех элементарных частиц (если он не равен нулю) одинаков по абсолютной величине. Его называют элементарным зарядом. Положительный элементарный заряд обозначают +е, отрицательный – –е.

К числу элементарных частиц принадлежат, в частности, электрон (несущий отрицательный заряд -е), протон (несущий положительный заряд +е) и нейтрон (заряд которого равен нулю). Из этих частиц построены атомы и молекулы любого вещества, поэтому электрические заряды входят в состав всех тел. Обычно частицы, несущие заряды разных знаков, присутствуют в равных количествах и распределены в теле с одинаковой плотностью. В этом случае алгебраическая сумма зарядов в любом элементарном объёме тела равна нулю, и каждый такой объём (и тело в целом) будет нейтральным. По ряду причин от атома могут отрываться, наименее прочно связанные с ядром, электроны и присоединяться к другим атомам. Атомы, лишившиеся электронов, называются положительными ионами. Наоборот, атомы, присоединившие к себе лишние электроны, называются отрицательными ионами. Если, например, потереть стеклянную палочку о бумагу, то атомы стекла потеряют электроны и палочка зарядится положительно, бумага - отрицательно.

Поскольку всякий заряд q образуется совокупностью элементарных зарядов, он является целым кратным е :

. (1.1)

Однако электрический заряд настолько мал, что возможную величину макроскопических зарядов можно считать изменяющейся непрерывно.

Если физическая величина может принимать только определённые дискретные значения, говорят, что эта величина квантуется. Факт, выражаемый формулой (1.1), означает, что электрический заряд квантуется.

Величина заряда, измеряемая в различных инерциальных системах отсчёта, оказывается одинаковой. Следовательно, электрический заряд является релятивистки инвариантным. Отсюда вытекает, что величина заряда не зависит от того, движется этот заряд или покоится.

В СИ электрический заряд измеряют в кулонах (Кл). Однако, несмотря на то, что первое понятие в электричестве, с которым мы встретились ‑ это заряд, единица измерения заряда ‑ Кулон (Кл) ‑ в СИ не является основной. Четвертой основной единицей в СИ (наряду с метром, килограммом и секундой) является единица силы тока ‑ 1 Ампер (А). При этом 1 Кл ‑ это такое количество электричества, которое протекает через поперечное сечение проводника за 1 секунду, при силе тока в 1 Ампер ‑ .

Сравнительно недавно была высказана гипотеза о существовании в природе частиц с зарядом, равным 1/3 элементарного, так называемых кварков. Предполагают, что из кварков состоят протоны, нейтроны и другие, относительно тяжелые частицы. Однако обнаружить кварки экспериментально пока не удалось.

Закон сохранения заряда

Электрические заряды могут исчезать и возникать вновь. Однако всегда возникают или исчезают два элементарных заряда противоположных знаков. Например, электрон и позитрон (положительный электрон) при встрече аннигилируют, т.е. превращаются в нейтральные гамма-фотоны. При этом исчезают заряды -е и +е. В ходе процесса, называемого рождением пары, гамма-фотон, попадая в поле атомного ядра, превращается в пару частиц – электрон и позитрон, при этом возникают заряды -е и +е.

Таким образом, суммарный заряд электрически изолированной системы не может изменяться. Это утверждение носит название закона сохранения электрического заряда.

Отметим, что закон сохранения электрического заряда тесно связан с релятивисткой инвариантностью заряда. Действительно, если бы величина заряда зависела от его скорости, то, приведя в движение заряды одного какого-то знака, мы изменили бы суммарный заряд изолированной системы.

Закон Кулона

Заряженные тела взаимодействуют друг с другом, причем одноименные заряды отталкиваются, а разноименные притягиваются.

Точное математическое выражение закона этого взаимодействия в 1785 г. установил французский физик Ш.Кулон. С тех пор закон взаимодействия неподвижных электрических зарядов носит его имя.

Заряженное тело, размерами которого можно пренебречь, по сравнению с расстоянием между взаимодействующими телами может быть принято за точечный заряд. Кулон в результате своих опытов установил, что:

.

Сила взаимодействия в вакууме двух неподвижных точечных зарядов прямо пропорциональна произведению этих зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Индекс « » у силы показывает, что это сила взаимодействия зарядов в вакууме.

Установлено, что закон Кулона справедлив на расстояниях от до нескольких километров.

Чтобы поставить знак равенства, необходимо ввести некоторый коэффициент пропорциональности, величина которого зависит от выбора системы единиц:

.

Уже отмечалось, что в СИ заряд измеряется в Кл. В законе Кулона известна размерность левой части ‑ единица силы , известна размерность правой части ‑ , поэтому коэффициент k получается размерным и равным . Однако в СИ этот коэффициент пропорциональности принято записывать в несколько другом виде:

, (1.2)

следовательно,

или ,

где Ф (фарад) – единица электрической емкости (см. п. 3.3).

Величину называют электрической постоянной. Это действительно фундаментальная постоянная, фигурирующая во многих уравнениях электродинамики.

Таким образом, закон Кулона в скалярной форме имеет вид:

.

Закон Кулона может быть выражен в векторной форме:

, (1.3)

где ‑ радиус-вектор, соединяющий заряд q₂ с зарядом q₁, ; ‑ сила, действующая на заряд q₁ со стороны заряда q₂. На заряд q₂ со стороны заряда q₁ действует сила (рис.1.1).

Рис.1.1. К закону Кулона в векторной форме

Опыт показывает, что сила взаимодействия двух данных зарядов не изменяется, если вблизи них расположить ещё какие-либо другие заряды.

Электростатическое поле

Взаимодействие между покоящимися зарядами осуществляется через промежуточную среду и с конечной скоростью.

Впервые такая идея была высказана М.Фарадеем. Согласно его представлениям заряды не действуют друг на друга непосредственно. Каждый из них создает в окружающем пространстве электрическое поле. Поле одного заряда действует на другой и наоборот. Причем поле заряда не действует на сам заряд.

Если мы изменим положение заряда в пространстве, либо изменим его величину, то поле этого заряда также изменится. Причем изменение поля на некотором расстоянии произойдет не мгновенно c изменением положения заряда или его величины, а спустя некоторый промежуток времени. Таким образом, электрическое поле изменяется не мгновенно, а с конечной скоростью.

Эта скорость называется скоростью распространения электромагнитного взаимодействия, равна скорости света в пустоте и имеет численное значение .

Электростатическое поле – это материальная среда, так как взаимодействие между телами (зарядами) может передаваться только через материю. Будучи материальной средой поле обладает свойствами, присущими материи, а именно – массой, энергией и др.

Поле проявляет себя в том, что помещенный в какую-либо его точку электрический заряд оказывается под действием силы. Следовательно, для того, чтобы выяснить, имеется ли в данном месте электрическое поле, надо поместить туда заряженное тело («пробный» заряд).

Введем понятие напряжённости поля. Если в поле, создаваемое зарядом , поместить пробный точечный заряд , то на него действует сила , различная в разных точках поля, которая, согласно закону Кулона (1.3), пропорциональна пробному заряду . Поэтому отношение не зависит от и характеризует электростатическое поле в той точке, где пробный заряд находится.

Эта векторная величина называется напряженностью поля и является силовой характеристикой электростатического поля. Чем больше напряженность поля, тем с большей силой оно действует на заряд.

В общем случае вектор определяется по формуле:

,

а в случае поля точечного заряда

. (1.4)

Напряженность поля ‑ это физическая величина, равная отношению силы, действующей на пробный точечный заряд в данной точке поля к величине этого заряда.

Направлен вектор вдоль радиальной прямой, проходящей через заряд q и данную точку поля A, от заряда, если он положителен, и к заряду, если он отрицателен (рис. 1.2)

За единицу напряженности электрического поля принимают напряженность такого поля, в котором на заряд в 1 Кл действует сила в 1Н. В СИ эта единица называется «Ньютон на Кулон»: , где В (вольт) – единица потенциала электростатического поля.

Применение теоремы Гаусса

Электрических полях

Рассмотрим поведение диполя в однородном поле, напряженность которого (рис.2.3). На заряды диполя действуют равные по величине, но противоположные по направлению силы и . Модуль каждой из сил равен . Эти силы создают момент силы. Умножив его на плечо, получим величину момента сил, действующих на диполь

. (2.4)

Формула (2.4) может быть записана в векторном виде:

. (2.5)

Момент сил (2.5) стремится повернуть диполь так, чтобы его электрический момент установился по направлению поля.

Диполь в поле обладает энергией, значение которой можно найти по формуле:

(2.6)

Здесь и - значения потенциала внешнего поля в тех точках, где помещаются заряды и .

Потенциал однородного поля уменьшается равномерно в направлении вектора . Приняв это направление за ось ОХ (рис.2.4), используя (1.6), можно записать .

Из рис.2.4 видно, что разность равна приращению потенциала на отрезке :

. (2.7)

Подставив (2.7) в формулу (2.6), получим:

, (2.8)

где - угол между векторами и , поэтому (2.8) можно записать в виде:

. (2.9)

Выражение для энергии (2.9) остается справедливым и для неоднородного поля.

Рассмотрим состояние диполя в неоднородном поле. Пусть электрическое поле нарастает вдоль оси ОХ (рис.2.5).

Рис.2.5. Диполь в неоднородном поле

Если угол между векторами и равен нулю (положение 1), то под действием пары сил диполь будет втягиваться в область поля с большей напряженностью .

При начальном угле (положение 2) пара сил, действующих на заряды диполя, будет приводить к его вращению с уменьшением угла и втягиванию в область более сильного поля, т.е. к поступательному движению вдоль оси ОХ. При начальном угле диполь будет сначала поворачиваться с уменьшением угла и выталкиваться в область более слабого поля. При достижении угла он поворачивается с уменьшением угла и начинает втягиваться в область более сильного поля.

О

Можно записать формулу для проекции на ось ОХ силы , вызывающей поступательное движение диполя, используя известное из механики выражение, связывающее консервативную силу и потенциальную энергию:

.

Итак, при любом начальном угле диполь в неоднородном электрическом поле в итоге втягивается в область более сильного поля. Такое поведение диполя используется в пылеулавливателях: в какой-либо части трубы, из которой выходит дым (это могут быть, например, побочные газообразные продукты горения на тепловых электростанциях, металлургических предприятий), создается неоднородное электрическое поле; частицы дыма (диполи) втягиваются в область более сильного поля и не попадают в атмосферу, не загрязняют окружающую среду.

Неполярный диэлектрик

Полярный диэлектрик

В состоянии равновесия

Проводники – это вещества, в которых есть свободные носители зарядов, способные перемещаться под действием внешнего электрического поля. В случае металлических проводников свободными носителями заряда являются валентные электроны, которые образуют газ, заполняющий кристаллическую решётку положительно заряженных ионов.

Если проводящему телу сообщить некоторый заряд , то он распределится так, чтобы соблюдались условия равновесия. В условиях равновесия избыточного заряда справедливы следующие утверждения:

1. Электрическое поле внутри проводника отсутствует, а объём проводника и его поверхность являются эквипотенциальными:

. (4.1)

Действительно, если равенства (4.1) не выполняются, то тогда свободные заряды в проводнике будут перемещаться, так как работа сил электрического поля не будет равна нулю ( ). Это противоречит условию равновесия избыточного заряда: в условиях равновесия они должны быть неподвижными.

2. Из-за кулоновского отталкивания одноимённых зарядов избыточные заряды стремятся разойтись на максимально большое расстояние между собой. Кроме того, согласно (4.1) и теореме Гаусса (1.21) сумма зарядов внутри проводника будет равна нулю. Следовательно, при равновесии ни в каком месте внутри проводника не может быть избыточных зарядов – все они распределятся по поверхности проводника.

3. Распределение избыточных зарядов на внешней поверхности проводника является неравномерным. Установим связь между поверхностной плотностью заряда σ и напряжённостью поля вблизи поверхности заряженного проводника. Для этого построим цилиндрическую поверхность площадью основания dS таким образом, что образующая цилиндра перпендикулярна поверхности проводника, а основания – одно вне, а другое внутри проводника (рис. 4.1).

Поток вектора пронизывает только верхнее основание поверхности, так как поля внутри проводника нет

.

Заряд внутри поверхности по теореме Гаусса (1.21):

Рис. 4.1 К определению связи между и вблизи проводника

. (4.2)

Из формулы (4.2) следует, что в точках, где больше , там больше и напряжённость поля.

Из-за взаимного отталкивания избыточные заряды стремятся расположиться как можно дальше друг от друга, поэтому на выступах (остриях) проводника поверхностная плотность заряда проводника больше, чем в других местах. Следовательно, вблизи таких частей заряженного проводника напряжённость поля больше, а эквипотенциальные поверхности проходят гуще (рис.4.2).

Рис. 4.2 Cиловые линии и эквипотенциальные поверхности заряженного проводника	Рис.4.3. Стекание зарядов с острия проводника

Вблизи поверхности острия (рис.4.3) модуль вектора может превысить значение, соответствующее ионизации воздуха (при нормальном атмосферном давлении Е’≈3*10⁶ В/м), что приводит к возникновению стекания зарядов, сопровождающегося так называемым электрическим ветром.

Образующиеся при ионизации молекул электроны движутся к острию и компенсируют на нём часть заряда, равновесие зарядов на проводнике нарушается, и к острию подходят заряды с других участков поверхности проводника (см.рис.4.3). Такое движение продолжается до тех пор, пока модуль вектора вблизи острия будет превышать . Положительно заряженные ионы и заряды на поверхности проводника отталкиваются, что может привести к движению проводника.

Незаряженный проводник

Электроёмкость проводника

Рассмотрим уединённый проводник, т.е. проводник который удалён от других тел. Его потенциал согласно (1.15) прямо пропорционален заряду проводника. Из опыта следует, что разные проводники, будучи одинаково заряженными, имеют различные потенциалы. Поэтому для уединённого проводника можно записать:

.

Величину

(4.3)

называют электроёмкостью (или просто ёмкостью) уединённого проводника. Емкость уединённого проводника определяется зарядом, сообщение которого проводнику изменяет его потенциал на единицу.

Емкость проводника зависит от его размеров и формы, но не зависит от материала, агрегатного состояния, формы и размеров полостей внутри проводника. Это связано с тем, что избыточные заряды распределяются на внешней поверхности проводника.

Единица электроёмкости – фарад (Ф); 1 Ф – емкость такого уединённого проводника, потенциал которого изменяется на 1В при сообщении ему заряда 1 Кл.

Потенциал уединённого шара радиуса R, находящегося в однородной среде с диэлектрической проницаемостью ε, равен:

,

используя формулу (4.3), получаем емкость шара

Отсюда следует, что емкостью 1 Ф обладал бы уединённый шар, находящийся в вакууме и имеющий радиус км, что примерно в 1400 раз больше радиуса Земли (электроёмкость Земли С≈0.7 мФ). Следовательно, фарад – очень большая величина, поэтому на практике используются дольные единицы – миллифарад (мФ), микрофарад (мкФ) и др.

Энергия системы зарядов

Получим выражение для потенциальной энергии системы двух точечных зарядов и , находящихся на расстоянии . Когда заряды удалены друг от друга на бесконечность, они не взаимодействуют, и энергия в этом случае равна нулю. При сближении зарядов на расстояние совершается работа против сил электрического поля, которая идет на увеличение потенциальной энергии системы. Сближение зарядов можно произвести, приближая к или к .Работа переноса заряда из бесконечности в точку, удаленную от на , равна

,

где - потенциал, создаваемый зарядом в той точке, в которую перемещается заряд . Аналогично работа переноса заряда из бесконечности в точку, удаленную от на , равна

,

где - потенциал, создаваемый зарядом в той точке, в которую перемещается заряд .

Значение работ в обоих случаях одинаково и каждое из них выражает энергию системы:

.

Для того чтобы в выражение энергии системы оба заряда входили симметрично, запишем его следующим образом:

. (5.1)

Формула (5.1) задает энергию системы двух зарядов. Перенесем из бесконечности еще один заряд и поместим его в точку, находящуюся на расстоянии от и от . При этом совершается работа

,

где - потенциал, создаваемый зарядами и в той точке, в которую перемещается заряд .

В сумме с и работа будет равна энергии трех зарядов:

. (5.2)

Выражение (5.2) можно привести к виду:

Добавляя к системе зарядов последовательно и т.д., можно убедиться в том, что в случае N зарядов потенциальная энергия системы равна:

, (5.3)

где - потенциал, создаваемый в той точке, где находится , всеми зарядами, кроме k-го.

ПОСТОЯННЫЙ ТОК

Сила тока, плотность тока

Под электрическим током понимают упорядоченное движение заряженных частиц, причем за направление тока принимают направление движения положительных зарядов.

Электрический ток существует при наличии свободных зарядов и электрического поля. Такие условия для движения зарядов можно создать в вакууме (термоэлектронная эмиссия) и в различных средах, таких как твердые тела (металлы, полупроводники), жидкости (жидкие металлы, электролиты) и в газах. Носителями тока могут быть различные частицы, так в металлах – свободные электроны, в газах – электроны и ионы и т.д.

Протекание тока по проводнику характеризует сила тока I, определяемая по формуле:

, (6.1)

где dq – заряд, проходящий через поперечное сечение проводника за время dt.

Для постоянного тока величина I остается одинаковой и по модулю, и по направлению, что позволяет в формуле (6.1) выбирать конечные значения заряда и времени:

или .

Распределение тока по сечению проводника характеризует вектор плотности , направление которого в каждой точке проводника совпадает с направлением тока, т.е. с направлением скорости упорядоченных положительных зарядов . Модуль вектора равен:

,

где - сила тока, протекающего в данной точке внутри проводника через элементарную площадку , расположенную перпендикулярно к направлению тока (рис.6.1,а).

Введение вектора плотности тока позволяет найти силу тока, протекающего через любую поверхность S:

. (6.2)

В этой формуле угол – это угол между вектором и нормалью к элементарной площадке площадью (см.рис.6.1,а).

Представляет интерес выразить вектор плотности тока через характеристики, описывающие движение свободных зарядов в проводнике. В качестве примера рассмотрим электрический ток в металле, где валентные электроны образуют газ свободных частиц, заполняющих кристаллическую решетку положительно заряженных ионов.

При отсутствии электрического поля в проводнике свободные электроны участвуют только в тепловом движении со средней арифметической скоростью , определяемой по формуле

,

где - постоянная Больцмана, - масса электрона, - температура. При комнатной температуре .

Из-за хаотичности теплового движения электронов электрического тока не возникает ( =0), так как через поперечное сечение проводника в обе стороны проходит одинаковое число электронов, и поэтому суммарный перенос заряда равен нулю.

При включении электрического поля у электронов появляется добавочная скорость - средняя скорость направленного движения под действием сил электрического поля. Именно обеспечивает наличие тока в проводнике.

Через поперечное сечение проводника площадью S за время t пройдут все электроны, находящиеся в цилиндре высотой ( ) (см.рис.6.1,б). Если ввести такую характеристику металла, как концентрацию свободных электронов, то тогда можно получить:

, (6.3)

где – заряд электрона или, в общем случае, свободной заряженной частицы, участвующей в создании электрического тока; N – число заряженных частиц в объеме V.

Приведем оценку модуля средней скорости направленного движения свободных электронов в металле . Учитывая числовые значения концентрации свободных электронов в металле n ~ 10²⁹ м^-3 и предельно допустимую плотность тока, например, в медном проводнике j_пред ~ 10⁷ А/м², из формулы (6.3) получим:

Из последнего выражения следует, что скорость < > упорядоченного движения значительно меньше скорости теплового движения.

Сопротивление проводников.

Понятие о сверхпроводимости

Однородным участком электрической цепи называют участок, на котором направленное движение зарядов происходит под действием только кулоновских сил. Для него Г. Ом в 1826 году экспериментально установил следующий закон: сила тока I, текущего по однородному участку цепи, прямо пропорциональна разности потенциалов ( ) и обратно пропорциональна сопротивлению R этого участка цепи:

, (6.4)

где разность потенциалов между начальной и конечной точками участка.

Формула (6.4) позволяет установить единицу сопротивления – ом (Ом): 1 Ом – сопротивление такого проводника, в котором при напряжении 1 В течет постоянный ток 1 А.

Сопротивление однородного участка цепи R характеризует свойство проводника препятствовать протеканию по нему электрического тока:

Cопротивление не зависит ни от , ни от I и связано с геометрическими размерами, формой проводника, материалом, из которого проводник изготовлен, и температурой.

На практике обычно используют проводники цилиндрического вида длиной и площадью поперечного сечения S. Для однородного линейного проводника R определяется:

(6.5)

где - характеризует материал проводника и называется удельным электрическим сопротивлением. Единица удельного электрического сопротивления – ом-метр (Омּм). Численно равно сопротивлению R проводника при =1 м и S = 1 м².

Для чистых металлических проводников при комнатной температуре удельное сопротивление практически линейно возрастает с повышением температуры t, а именно:

, (6.6)

где - удельное сопротивление проводника при температуре .

Входящий в формулу (6.6) параметр называют температурным коэффициентом сопротивления (ТКС), он численно равен относительному изменению удельного сопротивления проводника при повышении температуры проводника на 1⁰С:

Зависимость R(t) металлического проводника также соответствует формуле (6.6), так как размеры проводника ( , S) обычно изменяются с температурой значительно слабее, чем удельное сопротивление:

Для чистых металлов ТКС является положительной величиной, примерно равной 1/273 К^-1. При низких температурах, когда колебания положительных ионов кристаллической решетки не оказывают существенного влияния на движение свободных электронов, удельное сопротивление не слишком изменяется с температурой (рис.6.2, кривая 1).

Рис.6.2. Зависимость удельного сопротивления

от температуры

Для многих металлов при определенной температуре Т_с (ее называют температурой перехода в сверхпроводящее состояние, Т_с ≤ 20 К) сопротивление металла R обращается в ноль (R = 0), металл при Т < Т_с будет находиться в сверхпроводящем состоянии (рис.6.2, кривая 2).

Отметим, что ТКС может уменьшаться с повышением температуры, что, например, наблюдается для растворов электролитов и для полупроводников и связано с увеличением в них концентрации свободных носителей заряда при повышении температуры.

Практическое использование сверхпроводящих материалов (в обмотках сверхпроводящих магнитов, в системах памяти ЭВМ и др.) затруднено из-за их низких критич