Вынужденные колебания в последовательном контуре

Рассмотрим вынужденные колебания в последовательном контуре, изображённом на рис. 2.21. Будем рассматривать случай установившихся колебаний, когда все переходные процессы закончились, то есть после включения источника напряжения прошло достаточно много времени t >> 1/δ .

Рис. 2.21. Последовательный колебательный контур, возбуждаемый генератором переменного напряжения и комплексная диаграмма напряжений на элементах контура на резонансной частоте.

Рассмотрим случай действия источника гармонических (синусоидальных) колебаний и напряжение источника запишем в комплексной форме U_g(t) = U₀ e^iωt. Тогда:

(2.38)

Напряжения разные, а ток через элементы цепи одинаковый.

– комплексная величина. Она может быть сдвинута
по фазе относительно напряжения генератора.

(2.39)

Здесь

где (2.40)

Здесь – импеданс последовательного колебательного контура, ξ – расстройка частоты, ρ – характеристическое или волновое сопротивление контура, Q – его добротность.

Физический смысл добротности Q будет рассмотрен ниже.

Кстати из (2.34): (2.41)

Физический смысл волнового сопротивления контура в том, что это – отношение максимального напряжения на конденсаторе (или на индуктивности) к максимальному току. Проще всего получить это выражение через равенство максимальных энергий, запасённых конденсатором и катушкой индуктивности.

Из (2.39) : (2.42)

(2.43)

Запишем комплексные амплитуды колебаний напряжений в виде:

(2.44)

Из (2.42): (2.45)

Это – сдвиг фаз между напряжением на контуре и током. Сдвиг фаз зависит от частоты.

Напряжение на сопротивлении не сдвинуто по фазе относительно тока:

Напряжение на индуктивности умножено на i (см. (2.44)), то есть

Напряжение на конденсаторе умножено на – i (2.44) и

См. диаграмму напряжений на рис. 2.21.

Ток через контур максимален на резонансе, при условии:

Если в (2.43)

Здесь ω₀ – резонансная частота, частота максимума тока.

На этой частоте напряжения на индуктивности и ёмкости равны и противофазны:

(2.46)

(2.47)

Сумма напряжений на ёмкости и индуктивности равна нулю на резонансной частоте, а импеданс контура минимален и равен r.

В этом случае фазы колебаний напряжений U_L и U_C таковы, что они компенсируют друг друга – это называется резонансом напряжений. Векторная диаграмма напряжений для этого случая приведена на рис. 2.21 справа.

На резонансе амплитуды напряжений U_L и U_C в Q раз больше напряжения генератора!

Если подавать на такой контур переменные напряжения с разными частотами, то контур будет выделять частоты, близкие к резонансной.

Напомним, что величина Q называется добротностью и для последовательного контура она равна отношению характеристического сопротивления ρ к сопротивлению .

(2.48)

Рис. 2.22. Зависимости амплитуд вынужденных колебаний на ёмкости, сопротивлении и индуктивности для двух разных добротностей. При низкой добротности Q ~ 1 максимумы амплитуд разделяются. При добротностях Q >> 1 они почти совпадают. Напряжение на ёмкости при низкой частоте больше напряжения на индуктивности и равно напряжению на генераторе. На частотах выше резонансной напряжение больше на индуктивности. Соответственно изменится и вид векторной диаграммы на рис. 2.21. На максимумах напряжения на индуктивности и ёмкости равны и в Q-раз больше, чем напряжение на генераторе.

Рис. 2.23. Две фазовые характеристики, построенные по формуле (2.45) для разных добротностей. Это сдвиг фаз между напряжением на контуре и током.

Фазовые характеристики для напряжений на ёмкости и индуктивности просто сдвинуты вниз и вверх на π/2, см. (2.44).

Физический смысл добротности можно понять, если записать отношение запасённой в контуре энергии к энергии, теряемой за период.

(2.49)

Последовательный контур можно использовать как полосовой фильтр, пропускающий частоты около резонанса. В радиоэлектронике принято характеризовать полосу граничными
частотами (на рис. 2.24 это частоты ω₁ и ω₂ ), при которых коэффициент передачи по модулю

падает до . Эти частоты определяются из уравнения:

из ( 2.43)

Отсюда: (2.50)

Решая уравнение (2.50), находим, что при Q >> 1 (2.51)

Заметим, что не каждому удаётся в уме решить даже квадратное уравнение и из (2.50) получить (2.51). Это решение приведено ниже. При первом чтении этот раздел можно пропустить.

Из (2.50)

Окончательно:

из (2.49):

(2.52)

если Q >> 1, то: (2.53)

Если Q << 1, то (2.52) лучше переписать в таком виде:

Сейчас пригодится третий член.

(2.54)

При выводе этой формулы пришлось учитывать и линейный, и квадратичный члены формулы бинома Ньютона.

Видим, что в случае малой добротности частоты ω₁ и ω₂ сильно различаются.

Величина добротности определяет полосу контура:

если Q >> 1, то или лучше (2.55)

Величину добротности контура по экспериментальной резонансной кривой можно вычислить, разделив резонансную частоту на ширину резонансной кривой на уровне 0.7.

Рис. 2.24.

Резонанс тока в последовательном колебательном контуре с добротностью Q = 20.

График сосчитан по формуле (2.43) и нормирован на единицу.

Добротность, вычисленная по графику действительно равна 20!

Рис. 2.25. Резонансные кривые для токов в последовательном колебательном контуре с различными добротностями Q = 10, 20 и 40 сосчитаны по формуле (2.43). Видно, что токи на резонансной частоте в Q-раз больше.

Рис. 2.26. Те же резонансные кривые для токов в последовательном колебательном контуре с различными добротностями Q = 10, 20 и 40, но нормированные на единицу. Чем выше добротность, тем у́же резонансная кривая.

Ток в последовательном контуре максимален на резонансной частоте. Значит, импеданс контура минимален на резонансе. На низких частотах импеданс емкостно́й, на высоких – индуктивный. На частоте, близкой к резонансной, его сопротивление минимальное и чисто омическое.

Пример – фильтр-пробка

Часто используют резонансные свойства контура для различных фильтрующих устройств, например как показано на рис. 2.27.

При условии ρ >> R_i >> r схема на рис. 2.27 будет работать как фильтр-пробка, то есть сильно ослаблять переменное напряжение в полосе частот вблизи резонансной частоты, а напряжение вне полосы пропускать.

Рис. 2.27.

Схема фильтра-пробки.

Рассчитаем коэффициент передачи такой цепи:

Если R_i >> | (ω)|, то → 0. Если R_i <<| (ω)|, то → 1.

(2.56)

При

При При

Вычислим частоты, на которых модуль коэффициента передачи уменьшается до уровня 0.7.

Так как R_i >> r , то: (2.57)

Корень извлекать нельзя, так как расстройка бывает отрицательной (см. рис. 2.28).

Рис. 2.28.

График зависимости расстройки ξ от круговой частоты ω.

Зелёная прямая линия – асимптота для больших частот.

Красная линия – график |ξ(ω)| .

Здесь

(2.58)

2Δω – это ширина резонансной кривой на уровне 0.7, а Q_NEW – новая добротность – только для этой схемы.

Рис. 2.29.

Зависимость нормализованного коэффициента передачи
фильтра-пробки от частоты по формуле (2.56).

Показана ширина полосы частот на уровне 0.7 для контура с добротностью Q_NEW = ρ/R_i = 10.

ρ >> R_i >> r ,

160 Ом >> 16 Ом >> 0.1 Ома.

Рис. 2.30.

Те же зависимости для бόльшего сопротивления катушки индуктивности r = 2 Ома.

Пример: полосовой фильтр

В качестве другого примера рассмотрим полосовой фильтр (т.е. фильтр, хорошо пропускающий сигналы на частоте внутри заданной полосы и отсекающий сигналы других частот) – на рис. 2.31 приведена схема. Нетрудно видеть, что эта схема отличается от схемы на рис. 2.27 лишь тем, что выходное напряжение снимается с конденсатора (а не со всего контура). Опять примем, что выполнено неравенство ρ >> . Записываем коэффициент передачи:

(2.59)

Обозначим Тогда

(2.60)

Рис. 2.31. Рис. 2.32.

Пример полосового фильтра в Резонансные кривые полосового

радиоприёмном фильтра для двух значений

устройстве. добротности Q = 5 и 20.

На резонансе (ω = ω₀ ) имеем: | K(ω₀)| = Q >> 1 .

Вдали от резонанса: ω << ω₀ ,

ω >> ω₀ ,

ширина полосы фильтра:

Это видно и на графике рис. 2.32.

Цепочка Вина

Цепочка Вина с равными сопротивлениями и ёмкостями (симметричная) попала в один раздел с LC-контурами потому, что частотная характеристика цепочки имеет максимум.

Рис. 2.33.

Схема цепочки Вина (Max Carl Wien).

Импеданс параллельной RC цепочки будет: Здесь τ = RC.

Коэффициент передачи будет:

(2.61)

При (2.62)

Фазовую характеристику можно получить из (2.61), выделив вещественную и мнимую части.

(2.61')

Отсюда: (2.63)

Графики частотной характеристики приведены ниже. При ωτ = 1 ЧХ достигает максимума, и на этой частоте сдвиг фаз φ между входным и выходным напряжениями равен нулю.

Эти свойства используются в генераторах низкой частоты. Современная схема происходит из работы Уильяма Хьюлетта на степень магистра в 1939 г. в Стэнфордском университете. Хьюлетт с Дэвидом Паккардом основали фирму Хьюлетт-Паккард. Их первой продукцией был прецизионный синусоидальный генератор HP200A, основанный на мосте Вина.

Рис. 2.34. Рис. 2.35.

ЧХ симметричной цепочки Вина с линейной и логарифмической шкалой частот.

Параллельный контур

Рассмотрим параллельный колебательный контур, возбуждаемый гармоническим генератором тока, то есть таким генератором, ток которого не зависит от сопротивления внешней цепи (рис. 2.36). Опять будем рассматривать только случай установившихся колебаний. Выражение для комплексной проводимости параллельного контура можно найти, если сложить проводимости индуктивности, ёмкости и сопротивления.

(2.64)

Здесь

Расстройку ξ мы ввели при выводе формулы (2.40), а добротность Q для данной схемы параллельного контура определена не так, как у последовательного.

Выходное напряжение: (2.65)

Заметно, что I_C = – I_L при ω = ω₀ или ξ = 0, ток от генератора течёт только через сопротивление R и токи через индуктивность и ёмкость в Q-раз больше. Токи равны и противофазны! При этом, конечно, сопротивление контура равно R и говорят, что оно чисто омическое.

Рис. 2.36.

А – параллельный колебательный контур.

Б– токи в цепи на резонансе.

В – пример использования параллельного контура в цепи стока резонансного усилителя на полевом транзисторе.

Частотная характеристика резонансного усилителя, показанного на схеме рис. 2.36 В, определяется частотной зависимостью модуля импеданса контура. Из (2.64) мы можем получить эту зависимость:

(2.66)

При ξ =0 модуль импеданса равен ρQ = R.

На рис. 2.37 показан график зависимости обезразмеренного импеданса |Z̃ /ρ| от частоты. Он имеет максимум на резонансной частоте, равный значению добротности Q.

Значение частот, при которых равен 0.7 от максимального можно найти из (2.66).

Такое уравнение мы уже решали

(см. (2.57), (2.58)).

Рис. 2.37.

Зависимость безразмерного модуля импеданса параллельного контура от частоты.

На уровне 0.7 получаем условие ξ² Q² = 1.

Из (2.65):

Напряжение на выходе сдвинуто по фазе относительно тока генератора. Формула для фазы получается такая же, как и (2.45) а, значит, и график будет такой же. Поэтому, посмотрите график на рис. 2.23.

И векторная диаграмма токов на резонансе будет похожа на рис. 2.21. Токи в катушке индуктивности L и в конденсаторе C будут равны и противофазны! И вдвоём не будут потреблять энергию от источника питания, который будет работать только на нагрев резистора R.

Рис. 2.38.

Векторная диаграмма токов на резонансе.

Для предельных случаев большой и малой добротностей получаем для уровня 0.7 ξ² Q² =1.

Решая это биквадратное уравнение для Q << 1, нужно при извлечении корня опять удерживать и линейный и квадратичный члены разложения бинома Ньютона.

При Q << 1 ω₁ ≈ Q ω₀ ,

При

(2.67)

Заметим, что для нашего параллельного контура определение добротности Q отличается от определения добротности для последовательного контура.

В последовательном – чем меньше сопротивление, тем выше добротность. См. (2.40).

В параллельном – чем больше сопротивление, тем выше добротность. См. (2.67). Это вполне логично.

Добротность

Понятие добротности является важнейшей характеристикой резонаторов. Во многих приборах максимальная величина добротности является ключевым параметром.

Приведём различные определения добротности Q:

Запасённая энергия Это из (2.49).

( Потеря энергии за период )

Введём новую константу T_З – время затухания в контуре, в котором амплитуда

свободных колебаний уменьшается по закону (см. (2.36)).

Тогда из (2.36) а из (2.41 и 2.55)

(последовательный контур),

(параллельный контур).

Свободные колебания в контуре затухают по закону e^–δt . Если t = QT, то

Итак, при свободных колебаниях амплитуда уменьшается в e^π раз, то есть в 23 раза за
Q периодов. Посмотрите на колебания в контуре с добротностью Q = 5 на рис. 2.20. Пятый максимум как раз в 23 раза меньше первого. Проверьте! Это ещё один замечательный способ представить себе, что такое добротность.

Таблица. Примеры добротностей различных резонаторов.

Вид резонатора	Добротность	Частотный диапазон
Обычный LC контур при комнатной температуре	Q ≈ 50…300	f ≈105…108 Гц
СВЧ резонатор при комнатной температуре	Q ≈ 50…105	f ≈ 109…1012 Гц
Сверхпроводящий СВЧ резонатор при гелиевой температуре ~ 4K	Q ≈ 106…1010	f ≈ 109…1012 Гц

Мкостный датчик

Ёмкостный датчик является прибором для высокоточных измерений механических смещений. Принцип его работы следующий. Генератор гармонических колебаний настраивается на склон резонансной частоты контура, как показано на рис. 2.40. Тогда изменение расстояния d между пластинами конденсатора (которое и измеряется) на величину Δd приведёт к изменению собственной частоты контура, а, следовательно, к сдвигу резонансной кривой. Это в свою очередь приведёт к изменению напряжения U_С на конденсаторе на величину ΔU_C , которое и измеряется. Можно показать, что при определённых условиях связь между ΔU_C и Δd имеет вид

где Q — добротность контура. Чтобы оценить, какую величину Δd можно измерить, зададим следующие параметры:

Q = 200, d = 0.1 мм. Тогда Δd =0.01 нм = 0.1 Å.

Рис. 2.39.

Схема простого ёмкостного датчика.

Настоящие схемы много сложнее.

Рис. 2.40.

При увеличении расстояния между пластинами конденсатора его ёмкость уменьшается. Резонансная кривая сдвигается в область бо́льших частот. Если частота генератора постоянна, то выходное напряжение в нашей ситуации падает.

Связанные контуры

Рассмотрим два связанных контура, изображённых на рис. 2.41. Пусть на вход первого действует гармоническое напряжение U_BX (t)=Ũ₀ e^iωt и нас интересует, каково будет напряжение на выходе U_ВЫХ (t) = Ṽ₀ e^iωt. Опять рассматриваем случай установившихся колебаний. Тогда для токов I₁ и I₂ в каждом контуре получаем систему двух уравнений:

Рис. 2.41.

Схема двух связанных контуров.

(2.68)

(2.69)

Здесь М – коэффициент взаимоиндукции.

Ищем токи в виде

где Ĩ₁ , Ĩ₂ – комплексные амплитуды. Подставляя их в систему (2.68, 2.69) получаем:

или

(2.70)

(2.71)

Эта система может быть решена. Для простоты рассмотрим более подробно простейший случай, когда контуры одинаковы:

L₁ = L₂ = L , C₁ = C₂ = C , R₁ = R₂ = R,

Обозначим:

Заметьте, что здесь – безразмерное.

Тогда разделив оба уравнения (2.70, 2.71) на , можно их переписать в виде:

Получим: (2.72)

(2.73)

Исключим Ĩ₁ . В результате получим решение для Ĩ₂ , через которое можно выразить комплексную амплитуду Ṽ₀ выходного напряжения и коэффициент передачи K̃ :

(2.72) · – (2.73) ·

(2.74)

(2.75)

(2.76)

Рассмотрим случай большой добротности, т.е.

При большой добротности нас будут интересовать только малые расстройки ξ << 1. Поэтому, мы можем считать, что κ ≈ const. Чтобы оценить форму резонансной кривой будем искать экстремумы квадрата модуля знаменателя (2.76) по переменной ξ :

(2.77)

Корни (2.77): (2.78)

Отсюда сразу видно, что при κ < δ_NEW коэффициент передачи K̃(ω) имеет один экстремум, а при κ > δ_NEW — три экстремума. Два максимума и один минимум.

Рис. 2.42.

Резонансные кривые связанных контуров (2.76). Q_N = 100.

При увеличении связи между контурами резонансные кривые становятся двугорбыми.

Буквой П помечены кривые, более всего похожие на эту букву.

Использование комбинации нескольких контуров позволяет сделать почти идеальный
П-образный полосовой фильтр. Ширина полосы и крутизна фронтов зависит от числа и параметров использованных контуров.

Для любознательных. Не для экзамена.

Программа для MATLAB. Вычисляет и строит кривые рис.2.42.

clear all; clc; % Рис.2.46. Связанные контура

FigureColor=[1,1,1]; hFigure=gcf;

set(hFigure, 'Color', FigureColor)

for M =0.002: 0.002: 0.022 %Разные коэффициенты связи

del=.01; %Дельта

w=[0.96:.0001:1.04]; %Омега

kap=M./w; %Каппа

ksi=(w.*w-1)./w; %Кси

K=M./sqrt((kap.*kap+del.*del-ksi.*ksi).*(kap.*kap+del.*del-ksi.*ksi)+4.*del.*del.*ksi.*ksi);

%Модуль коэффициента передачи

plot(w+4*M,K-M*2500,'b-', 'LineWidth',3); hold on; %grid on;

end

Трансформатор

В электротехнике трансформатор (рис. 2.43) представляет собой устройство для увеличения или уменьшения переменного напряжения. В радиоэлектронике он ещё используется и для согласования нагрузок, а также для разделения цепей питания. Рассмотрим его работу подробнее. Опять записываем входное напряжение генератора синусоидального напряжения в комплексной форме U_ВХ (t) = U₁ e^iωt , а токи в каждом контуре в виде I₁ = i₁ e^iωt , I₂ = i₂ e^iωt . Тогда, записывая правило Кирхгофа в каждом контуре, получим систему:

(2.79)

(2.80)

Рис. 2.43.

Схема идеального трансформатора.

Здесь мы для дальнейшего удобства выбрали знак (–) перед коэффициентом взаимоиндукции М. Обычно в электротехнических приборах для работы трансформатора должны быть выполнены три условия:

1. Коэффициент взаимоиндукции М максимален, т.е. М ² ≈ L₁ L₂.

2. Индуктивное сопротивление в первом контуре значительно больше активного, т.е. R₁ << ω L₁ .

3. То же самое для второго контура: R₂ << ω L₂ .

Используя эти условия, и вводя обозначение , получаем из уравнения (2.80):

(2.81)

Величина n называется коэффициентом трансформации (это название понятно из последнего равенства). Индуктивность пропорциональна квадрату числа витков для идеального трансформатора с полностью общим магнитным потоком. Потерями магнитного потока пренебрегаем.

Отношение числа витков – это коэффициент трансформации: w₂/w₁ = n. Если трансформатор повышает напряжение, то ток во вторичной обмотке уменьшается.

Решаем систему (2.79, 2.80), учитывая условия работы трансформатора.

Из (2.80)

(2.82)

(2.83)

Из выражений (2.82, 2.83) следует, что трансформатор на рис. 2.43 может быть представлен двумя эквивалентными схемами, изображёнными на рис. 2.44.

Можно сказать, что схема А “приведена к выходу” – она показывает, какой эквивалентный генератор действует во вторичной цепи с сопротивлением R₂ .

Тогда схему Б можно назвать “приведённой ко входу” – по ней видно, как сопротивление R₂ пересчитывается в эквивалентное сопротивление в первичной цепи генератора U₀.

Рис. 2.44.

Две

эквивалентные

схемы

трансформатора.

Из (2.83) и схемы Амы можем рассчитать напряжение U₂ = i₂ R₂ на нагрузке во вторичной цепи и вычислить коэффициент передачи напряжения K:

при (2.84)

Мы видим, что коэффициент передачи равен коэффициенту трансформации (K ~ n) лишь при достаточно малом сопротивлении в первичной цепи, т.е. при R₂ >> n² R₁ , и полностью совпадает лишь при разомкнутой внешней цепи, то есть в режиме холостого хода.

В заключение выпишем выражения для мощности во вторичной цепи, соответствующие двум эквивалентным схемам:

– схема А , –схемаБ. (2.85)

Они одинаковы. Мощность здесь поделена на 2 потому, что ток синусоидальный. А эффективное значение синусоидального тока равно .

Трансформаторы часто применяются для согласования источника сигнала с нагрузкой. Действительно, в простейшей схеме с источником напряжения, внутреннее сопротивление которого равно R_i , передаваемая в нагрузку мощность зависит от сопротивления нагрузки R_H. Если сопротивление нагрузки равно нулю, то на ней нет напряжения и мощность тоже равна нулю. Если сопротивление нагрузки стремится к бесконечности, то ток стремится к нулю, а вместе с ним и мощность.

Где находится максимум передаваемой мощности?

Рис. 2.45.

Согласование с нагрузкой.

I₁ = i₁ e^iωt , I₂ = i₂ e^iωt.

то есть . (2.86)

Запомните! Это – нужная формула!

Максимальная мощность передаётся в нагрузку при равенстве внутреннего (выходного) сопротивления источника напряжения и сопротивления нагрузки. Коэффициент трансформации для согласования должен быть равен корню из отношения сопротивлений (2.86).

Рис. 2.46.

Простой делитель напряжения. Чтобы понизить его выходное сопротивление (R_g), можно параллельно выходу подключить небольшое сопротивление R₂. Здесь удобно применить ещё один способ определения выходного сопротивления двухполюсника. Нужно только вычислить или измерить сопротивление (или импеданс) между выходными клеммами при закороченных источниках ЭДС (как на рис. 2.46) или при разомкнутых генераторах тока. Кстати, выходное сопротивление простого делителя напряжения по теореме об эквивалентном генераторе равно сопротивлению резисторов R₁ и R₂ , включённых параллельно.