Вынужденные колебания в контуре. Резонанс

Для осуществления вынужденных электромагнитных колебаний нужно включить последовательно с элементами контура источник переменного напряжения, изменяющегося по гармоническому закону.

U = U₀ cos ω_в t . (4.82)

Рис. 4.19

C

R

L

~U

Тогда формула (4.65) примет вид

. (4.83)

Произведя преобразования, получим стандартное диффе- ренциальное уравнение вынуж- денных электромагнитных колебаний.

. (4.84)

В случае установившихся колебаний решение дифферен- циального уравнения имеет

q = q₀ cos(ω_в t + ψ), (4.85)

где ψ – сдвиг фаз между зарядом на обкладках конденсатора и переменной ЭДС.

Следовательно, в установившемся режиме, вынужденные колебания происходят с частотой вынуждающего напряжения ω_в и являются гармоническими, амплитуда и фаза которых определяется выражениями

, (4.86)

. (4.87)

Резонансные кривые для заряда (напряжения на конденсаторе) аналогичны резонансным кривым при механических колебаниях (см. рис.4.13), а резонансная частота определяется по формуле (4.50).

Продифференцировав (4.85) по t, найдем силу тока в контуре

I = - q₀ ω_в sin(ω_в t + ψ) = I₀ cos(ω_в t + ψ + π/2),

где I₀ = q₀ ω_в – амплитуда тока.

Запишем это выражение в виде

I = I₀ cos(ωt – φ), (4.88)

где φ = -(ψ + π/2) – сдвиг фаз между током и приложенным напряжением.

Тогда в соответствии с (4.86) и (4.87)

, (4.89)

. (4.90)

Из формулы (4.90) следует, что ток отстаёт по фазе от вынуждающего напряжения в том случае, когда , и опережает, когда . При условии сдвиг фаз равен нулю, а амплитуда тока достигает максимального значения.

Разделив выражение (4.85) на емкость, получим напряжение на конденсаторе

, (4.91)

где

. (4.92)

Умножив производную функции (4.88) на L, получим напряжение на индуктивности:

(4.93)

где . (4.94)

Сопоставление формул (4.88), (4.91) и (4.93) показывает, что напряжение на емкости отстает по фазе от силы тока на π/2 , а напряжение на индуктивности опережает ток на π/2 .

Напряжение на активном сопротивлении изменяется в фазе с током. Фазовые соотношения можно представить очень наглядно с помощью векторной диаграммы (рис. 4.20).

U

UC

wвLI0

I0/wвC

UL

UR

I0R

φ

Рис.4.20

Резонансная частота для заряда и напряжения на конденса- торе равна

. (4.95)

Резонансные кривые для U_с изображены на рис.4.21 . При ω→0 резонансные кривые сходятся в одной точке с ординатой U_Cm = U₀ – напряжению, возникающему на конденсаторе при подключении его к источнику постоянного напряжения U_0. Максимум при резонансе получается тем выше и острее, чем меньше β = R/2L.

Резонансные кривые для силы тока изображены на рис. 4.22. Амплитуда силы тока имеет максимальное значение при .

R1 < R2 < R3 R1 R2 R3

U0

0 ωрез ω0 ω

Uco

Рис. 4.21

w0

R

R

R

R

R

R

<

<

w

I0

Рис. 4.22

Следовательно, резонансная частота для силы тока совпадает с собственной частотой контура

. (4.96)

При ω→0, I = 0, так как при постоянном напряжении установившийся ток в цепи с конденсатором течь не может.

Резонансные свойства контура характеризует доброт- ность Q, которая показывает, во сколько раз напряжение на конденсаторе может превышать приложенное напряжение, т.е.

(4.97)

При малых затуханиях ω _рез ≈ ω₀ и

(4.98)

Таким образом, добротность обратно пропорциональна активному сопротивлению контура.

Добротность контура определяет остроту резонансных кривых. На рис. 4.23 изображена одна из резонансных кривых для силы тока в контуре. Частоты ω₁ и ω₂ соответствуют току .

Рис.4.23

Относительная ширина резонансной кривой равна величине обратной добротности контура, т. е.

(4.99)

Рис. 4.23

Явление резонанса используют для выделения из сложного напряжения, равного сумме нескольких синусо- идальных напряжений, нужной составляющей. Настроив контур (посредством изменения R и C) на требуемую частоту w_i , можно получить на конденсаторе напряжение в Q раз превышающее значение данной составляющей, в то время как напряжение, создаваемое на конденсаторе другими составляю- щими, будет слабым. Таким образом, осуществляется, например, настройка радиоприёмника на нужную длину волны.

Электромагнитные волны

Существование электромагнитных волн вытекает из уравнений Максвелла для электромагнитного поля (3.1, 3.4.--3.6.). Если возбуждать с помощью колеблющихся зарядов переменное электромагнитное поле, то возникает последо- вательность взаимных превращений электрического и магнитного полей, распространяющихся в окружающем пространстве от одной точке к другой. Этот периодический во времени и пространстве процесс и представляет собой электромагнитную волну.

Фазовая скорость электромагнитных волн в различных средах определяется формулой

, (4.100)

где - скорость электромагнитных волн в вакууме.

Электромагнитные волны являются поперечными, поскольку векторы и напряжённости электрического и магнитного полей взаимно перпендикулярны и лежат в плоскости, перпендикулярной вектору скорости распростра- нения волны, образуя правовинтовую систему (рис.4.24). При этом векторы и колеблются в одинаковых фазах, а их мгновенные значения в любой точке связаны соотношением

. (4.101)

Уравнения плоской монохроматической электромагнитной волны имеют вид

, (4.102)

, (4.103)

где ω- частота волны, k = ω/υ = 2π/λ – волновое число, α-

начальная фаза колебаний.

Рис.4.24

Электромагнитные волны переносят энергию. Объёмная плотность энергии электромагнитной волны равна сумме объёмных плотностей энергии электрических и магнитных полей, т.е.

. (4.104)

Интенсивность монохроматической электромагнитной волны, равная энергии переносимой за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную скорости распро- странению волны, определяется выражением

, (4.105)

где <ω> - среднее за период значение объёмной плотности энергии.

Поскольку <ω> прямо пропорционально квадрату амплитуды напряжённости электрического поля, то и

I ~ А². (4.106)

Простейшей системой, излучающей электромагнитные волны, является электромагнитный диполь, момент которого изменяется с течением времени. Интенсивность излучения диполя в различных направлениях характеризуется полярной диаграммой направленности излучения диполя (рис.4.25).

Из этой диаграммы видно, сильнее всего диполь излучает в направлении перпендикулярном его оси. Вдоль своей оси диполь не излучает совсем. Мощность излучения диполя пропорциональна четвёртой степени частоты колебаний.

φ

Рис.4.25

В зависимости от частоты (или длины волны λ = с/ν), а также способа излучения и регистрации различают несколько видов электромагнитных волн: радиоволны (9-ти диапазонов), световые волны, рентгеновское и γ – излучение.