Работа 3. Цепь переменного синусоидального тока с последовательным соединением катушки и конденсатора. Резонанс напряжений.

Цель работы: изучить явления, происходящие в неразветвленных цепях переменного синусоидального тока при изменении соотношений величин индуктивности и емкости; ознакомиться с явлением резонанса напряжений.

Пояснения к работе

Рассмотрим процессы в цепи с последовательным соединением катушки и конденсатора (рис. 3.1).

L

PW

C

PV

PA

PVК

PVC

Рис.3.1. Схема цепи с последовательным соединением

катушки и конденсатора

Реальная катушка обладает индуктивным сопротивлением x_L=wL и активным сопротивлением r = r , где w – угловая частота переменного тока, L – индуктивность катушки, r – удельное электрическое сопротивление провода катушки, l – длина провода, S – площадь поперечного сечения провода. При прохождении тока через катушку, электрическая энергия расходуется на нагревание провода катушки. Скорость преобразования электрической энергии в тепловую учитывается с помощью величины, называемой активной мощностью P = rI². Измерив ток и активную мощность катушки, можно вычислить активное сопротивление катушки . Его можно определить также, пропуская через катушку постоянный ток. В цепи постоянного тока катушка обладает только активным сопротивлением, так как угловая частота w=2p¦=0 и x_L = wL=0. Поэтому , где U – постоянное напряжение, приложенное к катушке, а I – сила постоянного тока, протекающего через катушку.

Эквивалентная схема замещения катушки может быть представлена в виде последовательного соединения резистивного и индуктивного идеальных элементов (рис. 3.2).

Uк

UL

r

L

а

I

в

Uак

Рис.3.2. Эквивалентная схема замещения катушки

Напряжение на катушке U_к можно разложить на две составляющие – активную U_ак и индуктивную U_L Векторная диаграмма напряжений и тока для катушки приведена на рис. 3.3.

Напряжение U_к можно измерить на выводах катушки с помощью вольтметра, ток I – с помощью амперметра. Угол сдвига фаз между током и напряжением катушки j_к можно определить из формулы P_к = U_к I cosj_к , если измерить с помощью ваттметра активную мощность катушки P_к. Составляющие напряжения U_к, U_L и U_ак можно вычислить из треугольника напряжений ОАВ (рис.3.3): U_ак=U_кcosj_к или определить графически, опустив перпендикуляр из конца вектора U_к (точка А на рис. 3.3) на линию вектора I.

φк

О

İ

В

А

Рис.3.3. Векторная диаграмма напряжения и тока для катушки

Конденсатор в цепи переменного тока обладает емкостным сопротивлением , где C – емкость конденсатора. Следует указать, что в конденсаторе также имеются активные потери энергии в диэлектрике. Однако величина этих потерь настолько мала, что ими можно пренебречь. На схеме замещения конденсатор можно представит в виде идеального емкостного элемента с параметром С, равным емкости конденсатора.

Последовательное соединение катушки и конденсатора изображено в виде схемы замещения на рис. 3.4.

Uк

r

L

I

С

U

Uак

UL

UC

Рис.3.4. Схема замещения цепи с последовательным

соединением катушки и коденсатора

При подключении такой цепи под напряжение U в ней возникает ток I.

Вектор активной составляющей напряжений на катушке будет совпадать по направлению с вектором тока İ (рис.3.5), так как соответствующие синусоиды мгновенных значений совпадают по фазе:

i = I_msinwt и U = i r =I_m r sinwt. (3.1)

Вектор индуктивного напряжения =İх_L опережает по фазе вектор тока İ на (рис. 3.6), так как синусоида напряжения U_L на индуктивности опережает по фазе синусоиду тока i на .

U_L = L = I_mwt sin(wt + 90˚). (3.2)

Вектор емкостного напряжения =İх_C отстает по фазе от вектора тока İ на (рис. 3.7), так как синусоида напряжения на емкости при нулевых начальных условиях отстает от синусоиды тока i на .

. (3.3)

İ

Рис.3.5. Векторная диаграмма напряжения и тока

при активной нагрузке цепи.

φL

İ

Рис. 3.6. Векторная диаграмма напряжения и тока

при индуктивной нагрузке цепи

φC

İ

Рис. 3.7. Векторная диаграмма напряжения и тока

при емкостной нагрузке цепи

Для рассматриваемой цепи уравнений по второму закону Кирхгофа имеет следующий вид:

, (3.4)

где

Согласно уравнению (3.4) и рис.3.5 – 3.7, векторная диаграмма напряжений цепи (рис.3.4) будет иметь вид, показанный на рис. 3.8, где вектор совпадает по фазе с вектором İ, а вектор опережает по фазе на 90˚ вектор тока İ. Сумма векторов и дает вектор напряжения катушки:

,

Опережающий по фазе ток на угол j_к.

Вектор отстает по фазе на 90˚ от вектора тока İ. Сумма векторов _{, ,} дает вектор напряжения сети , опережающий ток по фазе на угол j.

Разделив и умножив стороны треугольника (рис.3.8) на величину тока İ, получим подобные треугольники сопротивлений и мощностей (рис.3.9, 3.10).

Из треугольника сопротивлений (см. рис.3.9) найдем полное сопротивление Z и cosj цепи

Z= . (3.5)

cosj = . (3.6)

φ

İ

φк

Рис. 3.8. Векторная диаграмма тока и напряжений

для цепи с последовательным соединением

элементов r, L, C при x_L>x_C

XC

R

Z

ZK

φк

φ

XL-XC

XL

Рис. 3.9. Треугольник сопротивлений для цепи с последовательным

соединением элементов r, L, C.

Из векторной диаграммы напряжений (см.рис.3.8) получим формулу тока I, которая является выражением закон Ома для последовательной цепи переменного тока:

. (3.7)

Из диаграммы мощностей (рис.3.10) получим соотношение между полной S, активной P и реактивными Q_L и Q_c мощностями

. (3.8)

P=I2R

S=UI

UкI

φк

φ

QC=I2XC

QL=I2XL

Рис. 3.10. Треугольник мощностей для цепи с последовательным

соединением элементов r, L, C.

Изменяя величину емкости в цепи, можно изменять соотношение между емкостными и индуктивными сопротивлениями и напряжениями:

и U_L=I ω L

и получать различные значения угла сдвига φ между вектором тока İ и вектора напряжения сети согласно уравнению (3.6). Если величина L> имеем: ωL> и U_L>U_C, т.е. в цепи преобладает индуктивное сопротивление x_L и напряжение , поэтому вектор тока İ отстает по фазе от вектора напряжение сети на угол φ (см.рис. 3.8).

Если L< , наоборот, преобладает емкостное сопротивление x_C и напряжение , поэтому вектор тока İ опережает по фазе вектор напряжения сети (рис. 3.11).

φ

φк

Рис. 3.11. Векторная диаграмма тока и напряжений

для цепи с последовательным соединением

элементов r, L, C при x_L<x_C

При величине индуктивности

(3.9)

индуктивное сопротивление будет равно емкостному:

(3.10)

а, следовательно, будут равны между собою индуктивное и емкостное напряжения (рис. 3.12).

Ix_L=Ix_С ; U_L=U_C. (3.11)

Мы получим резонанс напряжения, т.е. полную взаимную компенсацию индуктивного и емкостного напряжений:

При резонансе напряжений угол сдвига φ=0, следовательно:

cos φ=1 (3.12)

Вектор напряжения (рис. 3.12).

Полное сопротивление цепи при резонансе z_рез принимает минимальное значение z_рез= r, так как x_L-x_C=0, а, следовательно, ток при резонансе I_рез и активная мощность принимают максимальные значения:

,

(3.13)

φк

φ=0

Рис. 3.12. Векторная диаграмма тока и напряжений

при резонансе напряжений (x_L= x_C)

Реактивная мощность равна нулю

Q = I(U_L-U_C)= 0; Q_L-Q_C=0. (3.14)

Индуктивное U_L и емкостное U_C напряжения в раз больше напряжения сети U:

Поэтому резонанс напряжений может оказаться опасным для установки. При испытании таких цепей требуется особая осторожность. Явление резонанса напряжений, т.е. взаимной компенсации реактивных напряжений (U_L-U_C= 0), а последовательно, и реактивных мощностей (Q_L-Q_C) объясняется тем, что мгновенные значения напряжений на индуктивности U_L и на емкости U_C в любой момент времени равны и имеют противоположные знаки. Отсюда следует, что если, например, индуктивность берет энергию из сети для создания магнитного поля, то в этот момент конденсатор, разряжаясь, отдает энергию в сеть.

Происходит взаимная компенсация энергии, потребляемой ими из сети.

Таким образом, при резонансе полная энергия, потребляемая из сети, расходуется только на нагревание резисторного элемента цепи.

Кривые зависимости Z сопротивления цепи от величины емкости С показаны на рис. 3.13. При величина Z минимальна и равна Z_рез= r.

На рис. 3.13 показана также кривая зависимости тока I и cosφ от величины емкости C. При C= C_рез ток I имеет максимальное значение , при всех других значениях емкости

0.5

Z

Z

I

U r

cosφ

Cрез

I

U 2r

2r

r

3r

С

cosφ

Рис. 3.13. Графика зависимости полного сопротивления цепи Z

тока I и коэффициента мощности cosφ от емкости,

(при L= const)

Из выражения (3.10) видно, что резонанс напряжений в цепи может быть получен изменением индуктивности L или емкости C при неизменной частоте сети f или изменением частоты сети при заданных постоянных L и C.