РАБОТА № 8 ИЗМЕРЕНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ ПОСТОЯННОГО МАГНИТА

Цель работы:	измерить величину магнитного поля постоянного магнита
Приборы и принадлежности:	постоянный магнит кольцевой формы, измеритель величины магнитного поля (тесламетр), линейка.

МЕТОДИКА ИЗМЕРЕНИЙ И ОПИСАНИЕ ПРИБОРА

Известно, что круговой виток радиуса R, по которому течет ток I, создает на своей оси на расстоянии x от центра магнитное поле с индукцией

(1)

Это соотношение можно записать в другом виде, обозначив через m магнитный момент контура m=pR²I:

(2).

Если теперь рассмотреть вместо кругового витка с током короткий постоянный цилиндрический магнит радиуса R, магнитный момент которого равен m, то поле, созданное этим магнитом, будет определяться тем же соотношением (2). Но для постоянного магнита

m = J×V (3),

Рис. 1

где J и V – намагниченность и, соответственно, объем магнита. Таким образом, измерив магнитное поле на оси магнита, мы можем определить его намагниченность J.

В данной работе применяется магнит, имеющий форму кольца. Кольцо намагничено в направлении оси магнита (перпендикулярно его плоскости). Таким образом, магнитный момент кольца имеет направление, совпадающее с направлением оси этого кольца. Магнитное поле такого магнита эквивалентно полю двух витков, токи которых имеют противоположные направления, а радиусы совпадают с внутренним и, соответственно, внешним радиусами этого кольца (см. Рис. 1).

В соответствии с формулой (2), поле кольцевого магнита описывается формулой:

(4)

В центре магнита (х = 0) поле, согласно (4), равно:

С удалением от центра, по мере увеличения х, поле убывает, но не монотонно. Действительно, найдём точку, где поле обращается в ноль:

Решение этого уравнения легко находится:

На расстояниях от центра магнита, превышающих найденное значение, знак поля изменится на противоположный, как это изображено на Рис. 2 (по осям координат отложены значения В и x в некоторых условных масштабах):

Рис. 2

Введём новые величины y=x/b и r = a/b, тогда (4) запишется в виде:

(5)

На больших расстояниях от кольца, когда x>>a, формула (4) упрощается:

Здесь, аналогично (2), m=p(a²–b²)hJ – магнитный момент кольца.

Наиболее простой способ измерения магнитного поля – измерение его с помощью датчика магнитного поля, работа которого основана на эффекте Холла (см. Приложение). Напряжение, снимаемое с датчика пропорционально величине индукции поля в точке, где находится датчик.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Измерьте размеры магнита и запишите их перед таблицей.

2. Установите датчик в центре магнита, расположив его параллельно плоскости магнита. Запишите показания датчика в таблицу.

3. Передвиньте датчик, не меняя его ориентации, вдоль оси магнита на расстояние 1 – 2 мм от центра. Запишите показания датчика, расстояние его от центра магнита в таблицу.

4. Повторите эти действия, увеличивая последовательно расстояние между датчиком и магнитом каждый раз на 1 – 2 мм, пока не достигнете расстояния х = 50 мм.

5. Постройте по данным таблицы на миллиметровке или с помощью MS Excel график, откладывая по оси абсцисс расстояние х, а по оси ординат величину индукции магнитного поля В.

6. По формуле (5) с помощью полученных вами данных, определите намагниченность J магнита.

Таблица

а = ________(см), b = ________(см), r = ________, h =_________( см)

x (cм)	y	y2	y2+r2	B (мТл)	т	J
…

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

6. Что называется индукцией магнитного поля?

7. Как связаны между собой индукция, напряженность и намагниченность в веществе?

8. Дайте определение вектора магнитного момента контура с током. Каково направление вектора магнитного момента?

9. Выведите формулы (1) – (4).

10. Найдите силу взаимодействия двух коротких постоянных магнитов, зная их магнитные моменты. Магниты расположены на большом, по сравнению с их размерами, расстоянии, их магнитные моменты ориентированы вдоль прямой, на которой расположены магниты.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Эффект Холла

Рис. П1

Рассмотрим проводник в форме прямоугольной пластинки, в которой течёт ток плотностью j. (рис. П1). Эквипотенциальными поверхностями внутри такой пластинки будут плоскости, перпендикулярные к направлению тока, и поэтому разность потенциалов между двумя металлическими зондами 1 и 2, лежащими в одной из этих плоскостей, будет равна нулю. Если, однако, создать в образце магнитное поле, перпендикулярное к току и к зондам, то между зондами возникает разность потенциалов, указывающая на то, что при наличии магнитного поля эквипотенциальные плоскости в пластинке становятся наклонными. В возникновении этой поперечной разности потенциалов и заключается эффект Холла.

Опыт показывает, что поперечная разность потенциалов U в слабых магнитных полях пропорциональна магнитной индукции В,она пропорциональна также плотности тока j и расстоянию между зондами d:

U=RdjB,

где R — постоянная, зависящая от рода вещества. Она получила название постоянной Холла.

Эффект Холла просто объясняется электронной теорией иявляется следствием существования силы Лоренца. Чтобы выяснить физическую сущность этого явления, мы ограничимся только упрощенной его теорией и будем приближенно считать, что все электроны движутся с постоянной скоростью, равной средней скорости их упорядоченного движения u.

Тогда на каждый электрон действует сила, перпендикулярная к направлению тока и к магнитному полю и равная euB. Под действием этой силы электроны будут смещаться, так что одна из граней пластинки зарядится отрицательно, а другая — положительно, и внутри пластинки возникнет поперечное (к току и к магнитному полю) электрическое поле Е. При равновесии euB = еЕ. Поэтому поперечная разность потенциалов равна

U = Ed = uBd.

В этом уравнении среднюю скорость электронов u можно выразить через плотность тока j, так как j = neu и поэтому

Постоянная Холла оказывается равной

Она зависит от концентрации электронов п,и поэтому, измеряя постоянную Холла, можно определить концентрацию электронов внутри проводника.

Легко также видеть, что знак поперечной разности потенциалов зависит от знака заряда подвижных частиц, обусловливающих электропроводность. Действительно, пусть в проводящей пластинке ток течет слева направо (рис. П2). Если подвижные частицы в проводнике несут положительный заряд, то скорость этих частиц имеет то же направление, что и ток, и при указанном направлении магнитного поля отклоняющая сила будет направлена снизу вверх (Рис. П2 а). В этом случае верхняя грань пластинки будет заряжаться положительно, а нижняя — отрицательно. Если же частицы заряжены отрицательно, то их скорость направлена противоположно току (Рис. П2 б). Так как отклоняющая сила зависит и от заряда частиц, и от их скорости, то еенаправление не изменится, и поэтому заряженные частицы будут также накапливаться у верхней грани. Однако так как частицы заряжены отрицательно, верхняя грань в этом случае будет заряжаться отрицательно, а нижняя — положительно, т.е. эффект Холла будет иметь обратный знак.

а) б)

Рис. П2

Концентрация носителей заряда п в металлах имеет порядок концентрации атомов (~10²² см^–3), поэтому эффект Холла в металлах очень слаб. Совершенно иной масштаб эффекта наблюдается в полупроводниках, где концентрация носителей заряда на несколько порядков ниже, а постоянная Холла, соответственно выше, чем в металлах. Поэтому в детекторах магнитного поля на основе эффекта Холла используются именно полупроводники.

Описанная здесь картина, однако, в действительности сложнее, чем это может показаться на первый взгляд. Причина усложнений заключается в том, что изложенная выше простая теория эффекта Холла основана на классической электронной теории, имеющей ограниченную применимость для металлов. Более того, для некоторых веществ наблюдается обратный знак эффекта Холла, т.е. соответствующий движению положительных носителей заряда, в то время как в действительности и в этих проводниках носителями заряда являются отрицательные электроны. Это явление объясняется современной квантовой теорией твердых тел и связано с существованием так называемых положительных дырок.