Значення похідної в деякій точці дорівнює тангенсу кута, утвореного дотичною до кривої в цій точці з додатним напрямом осі Ох.

Знайти тангенси кутів нахилу дотичної до кривої у = х² у точках М₁(½; ¼), М₂(–1; 1) (рис. 5.6).

Рис. 5.6

· Згідно з (10) дістаємо:

За формулою похідної степеневої функції маємо: .

Отже,

·

5.1.15. Рівняння дотичної та нормалі до кривої

Розглянемо рівняння кривої у = f(x) (рис. 5.7). Візьмемо на кривій точку М(х₁, у₁) і запишемо рівняння дотичної до цієї кривої в точці М, припускаючи, що дотична не паралельна жодній координатній осі.

Рівняння кривої, що має кутовий коефіцієнт k і проходить через точку М, набирає вигляду

.

Для дотичної , тому рівняння дотичної буде таке:

Поряд із дотичною до кривої розглядають і її нормаль.

Означення. Нормаллю до кривої в даній точці називається пряма, яка проходить через цю точку і перпендикулярна до дотичної в ній.

Рис. 5.7

Із означення нормалі випливає, що її кутовий коефіцієнт k_норм пов’язаний із кутовим коефіцієнтом k дотичної рівністю

, тобто

Отже, дістаємо рівняння нормалі до кривої у = f(x) у точці
М (х₁, у₁):

Написати рівняння дотичної та нормалі до кривої
у = х³ у точці М(1; 1).

· Оскільки у¢ = 3х², то кутовий коефіцієнт дотичної

.

Отже, згідно з (1) рівняння дотичної буде таке:

, або .

Рівняння нормалі:

, або (рис. 5.8).

Рис. 5.8

5.1.16. Економічний зміст похідної.
Еластичність

Означення. Еластичністю функції у = f(x) називається границя відношення відносного приросту функції до відносного приросту аргументу х при Dх ® 0.

Позначення:

Інтерпретація еластичності.

Еластичність функції показує наближено, на скільки відсотків зміниться функція у = f(x) у разі зміни незалежної змінної х на 1%:

.

1) Якщо , то функція називається нееластичною (відносний її приріст спадає).

2) Якщо , то функція називається еластичною (відносний приріст її зростає).

Геометрична ілюстрація

Рис. 5.9 Рис. 5.10

Функція нееластична (рис. 5.9).

Функція еластична

(рис. 5.10).

Властивості.

1. .

2. .

3. .

Еластичність елементарних функцій.

1. Еластичність степеневої функції стала і дорівнює показнику степеня a: . Справді:

.

2. Еластичність показникової функції пропорційна до х: . Справді,

.

3. Еластичність лінійної функції :

.

Справді,

.

Якщо графік лінійної функції має від’ємний нахил (а < 0), то еластичність функції змінюється від нуля в точці y_m перетину графіком осі y до мінус нескінченності (– ¥) у точці перетину осі х, проходячи через значення (– 1) у середній точці. Отже, хоча пряма має сталий нахил, її еластичність залежить не лише від нахилу, а й від того, в якій точці х ми цю еластичність визначаємо (рис. 5.11).

Рис. 5.11

Функція з нескінченною еластичністю в усіх точках називається цілком еластичною, а з нульовою еластичністю в усіх точках — цілком нееластичною.