Место дисциплины в структуре образовательной программы. Программа учебной дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» предназначена для подготовки студентов
Программа учебной дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» предназначена для подготовки студентов, обучающихся по направлению «Прикладная математика и информатика». Программа составлена в соответствии с Образовательными стандартами и учебными планами государственного образовательного бюджетного учреждения высшего профессионального образования Национального исследовательского университета «Высшая школа экономики».
«Теория вероятностей и математическая статистика» является самостоятельной учебной дисциплиной, относится к математическому и естественнонаучному циклу дисциплин.
Для специализаций 01.03.02 «Прикладная математика и информатика» настоящая дисциплина является базовой.
Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах:
· Математический анализ;
· Геометрия и алгебра.
Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и навыками:
· Знаниями основных определений и теорем перечисленных выше дисциплин;
· Навыками решения типовых задач этих дисциплин.
Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин:
· Вероятностные модели;
· Эконометрика;
· Анализ данных.
Тематический план учебной дисциплины
| № | Название раздела | Всего часов | Аудиторные часы | Самостоятельная работа | ||
| Лекции | Семинары | Практические занятия | ||||
| 1. | Основные понятия теории вероятностей. Случайные события | |||||
| 2. | Случайные величины | |||||
| 3. | Случайные векторы | |||||
| 4. | Предельные теоремы теории вероятностей | |||||
| 5. | Основные понятия математической статистики. Оценивание параметров | |||||
| 6. | Проверка статистических гипотез | |||||
| 7. | Регрессионный анализ | |||||
| Итого |
Формы контроля знаний студентов
| Тип контроля | Форма контроля | 1 год | Параметры | |||
| Текущий (неделя) | Контрольная работа | письменная работа 80 минут | ||||
| Домашнее задание | ||||||
| Промежуточный | Экзамен | э | Письменная работа на 90 минут | |||
| Итоговый | Экзамен | э | Письменная работа на 90 минут |
Критерии оценки знаний, навыков
Для прохождения контроля студент должен, как минимум, продемонстрировать знания основных определений и формулировок теорем; умение решать типовые задачи, разобранные на семинарских занятиях.
Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.
6.2 Порядок формирования оценок по дисциплине
Работа будет оценена в ноль баллов, если в ней получено значение вероятности, не принадлежащее отрезку [0;1].
Оценки за промежуточный контроль формируются следующим образом.
Промежуточный контроль (экзамен) во втором модуле.
Оценка промежуточного контроля 1-го этапа рассчитывается по формуле
Опромежуточная 1 этапа = 0.6·Онакопленная 1 этапа + 0.4·Опромежуточный экзамен №1 ,
где
0.6·Онакопленная 1 этапа = 0.1* ОДЗ № 1 +0.1* ОКР №1 +0.4* ОКР №2
В последней формуле ОДЗ №1 есть оценка за индивидуальное домашнее задание .
Оценка за письменную работу (Опромежуточный экзамен №1) – не блокирующая.
В диплом выставляется результирующая оценка по учебной дисциплине, которая рассчитывается по следующей формуле:
Орезульт = 0.7*Онакопленная итоговая + 0.3*Оитоговый экзамен
где О накопленная итоговая формируется следующим образом
0.7*Онакопленная Итоговая= 0.4* Опромежуточный этап №1 + 0.2*Окр №3 + + 0.1* ОДЗ № 2.
Способ округления результирующей оценки: если дробная часть результирующей оценки составляет меньше 0.7, то результирующая оценка равна целой части полученного значения; если дробная часть результирующей оценки не менее 0.7, то результирующая оценка равна целой части полученного значения плюс 1.
Если набранная результирующая оценка составляет менее 4-х баллов, то результирующая оценка равна целой части полученного значения.
Оценка за итоговый контроль – не блокирующая.
Содержание дисциплины
Раздел I.
Основные понятия теории вероятностей. Случайные события (Л.-8ч., С.-8ч.,СРС-16ч.: проработка лекций-6ч., подготовка к семинарским занятиям -4 ч., выполнение домашнего задания-6ч.)
Предмет теории вероятностей. Понятие пространства элементарных событий. Случайные события. Алгебра и сигма-алгебра случайных событий. Классическое, статистическое, геометрическое и аксиоматическое определения вероятности случайного события. Основные свойства вероятности. Условные вероятности. Определение независимых случайных событий. Формулы сложения и умножения вероятностей. Биномиальная схема испытаний. Формула Бернулли и следствия из нее. Полиномиальная схема испытаний. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
Литература по разделу.
Основная:[ 1] глава 1, [4] глава 1,2
Дополнительная: [5],[6],[7],[8],[9],[18]
Раздел 2. Случайные величины (Л.-8ч., С.-8ч.,СРС -18ч. .: проработка лекций-8ч., подготовка к семинарским занятиям -4 ч., выполнение домашнего задания-6ч.)
Определение случайной величины. Функция распределения и ее свойства. Дискретные случайные величины. Основные числовые характеристики случайных величин и их свойства. Распределение Бернулли. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона. Геометрическое распределение. Непрерывные случайные величины. Плотность распределения вероятности непрерывной случайной величины и ее свойства. Определение математического ожидания непрерывной случайной величины. Распределение Коши. Равномерное распределение. Экспоненциальное распределение. Нормальное распределение. Функция Лапласа и ее свойства. Определение квантили. Функциональное преобразование случайной величины. Закон распределения функции одного случайного аргумента.
Литература по разделу.
Основная: [1] глава 2, [4] глава 3
Дополнительная: [5],[6],[7],[8],[9]
Раздел 3. Случайные векторы (Л.-14 ч., С.-14ч., СРС -28ч. .: проработка лекций-14ч., подготовка к семинарским занятиям -8 ч., выполнение домашнего задания-6ч.)
Функция распределения случайного вектора и ее свойства. Дискретные случайные векторы и способы их задания. Непрерывные случайные векторы. Свойства плотности распределения вероятности непрерывного случайного вектора. Определение независимых случайных величин. Числовые характеристики случайного вектора. Ковариация и ее свойства. Коэффициент корреляции и его свойства. Соотношение между некоррелированными и независимыми случайными величинами. Ковариационная и корреляционная матрицы. Условные законы распределения. Условные числовые характеристики. Формула полного математического ожидания. Характеристическая функция и её свойства. Преобразование случайных величин. Формула свёртки.
Двумерный нормальный закон распределения, частные распределения компонент нормального вектора. Теорема о нормальной корреляции (без доказательства).
Литература по разделу.
Основная: [1] глава 3, [4] глава 6
Дополнительная:[5],[6],[7],[8],[9]
Раздел 4. Предельные теоремы теории вероятностей (Л.-6ч., С.-6ч., СРС -14ч. .: проработка лекций-6ч., подготовка к семинарским занятиям -4ч., выполнение домашнего задания-4ч.)
Неравенства Чебышева. Различные виды сходимости случайных последовательностей: сходимость по вероятности, сходимость в среднеквадратическом, сходимость почти наверное, слабая сходимость. Связь между указанными видами сходимости. Лемма Бореля-Кантелли (без доказательства). Закон больших чисел в форме Чебышева и в форме Хинчина. Усиленный закон больших чисел в форме Колмогорова. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема (без доказательства). Теорема Муавра-Лапласа как частный случай центральной предельной теоремы. Неравенство Берри-Эссена (без док-ва).
Литература по разделу.
Основная: [1] глава 4, [4] глава 4, 10
Дополнительная:[5],[6],[7],[8],[9]
Раздел 5. Основные понятия математической статистики. Оценивание параметров (Л.-16ч., С.-16ч., СРС-32ч. .: проработка лекций-16ч., подготовка к семинарским занятиям -8 ч., выполнение домашнего задания-8ч.)
Основные задачи математической статистики. Основные понятия выборочной теории: выборка, выборочное пространство; вариационный ряд, ранг элемента выборки, эмпирическая функция распределения; гистограмма; выборочные числовые характеристики, точечные оценки параметров.
Свойства точечных оценок параметров: несмещённость, состоятельность, сильная состоятельность, оптимальность в среднеквадратическом, эффективность по Рао-Крамеру. Неравенство Рао-Крамера (с доказательством). Критерий эффективности.
Основные методы нахождения точечных оценок параметров: метод максимального правдоподобия (ММП) и метод моментов (ММ). Принцип инвариантности. Свойства ОМП.
Распределения, связанные с гауссовским (распределение хи-квадрат, распределение Стьюдента, распределение Фишера). Доверительное оценивание параметров. Центральная статистика. Построение доверительных интервалов параметров в одновыборочных и двувыборочных гауссовских моделях. Асимптотические доверительные интервалы. Преобразование, стабилизирующее дисперсию.
Литература по разделу.
Основная: [1] глава 5; [2] глава 1,2; [3] глава 1
Дополнительная: [8],[10],[12]
Раздел 6. Проверка статистических гипотез (Л.-16 ч., С.-16ч., СРС -34ч.: проработка лекций-16ч., подготовка к семинарским занятиям -10 ч., выполнение домашнего задания-8ч.)
Простые и сложные статистические гипотезы. Ошибки первого и второго рода. Статистический критерий. Функция мощности критерия. Состоятельные критерии. Несмещённые критерии. Понятие равномерно наиболее мощного (РНМ) и локально наиболее мощного (ЛНМ) критерия. Алгоритм проверки статистической гипотезы.
Лемма Неймана-Пирсона (с доказательством). Построение РНМ критериев в одновыборочных гауссовских моделях. Критерий Стьюдента и критерий Фишера для проверки параметрических гипотез в двухвыборочных гауссовских моделях. Критерий Колмогорова для проверки простой гипотезы о виде распределения случайной величины. Критерии согласия хи-квадрат для проверки простых и сложных гипотез о виде распределения случайной величины. Критерий, основанный на выборочном коэффициенте корреляции. Таблица сопряжённости признаков. Критерии проверки независимости двух случайных величин.
Литература по разделу.
Основная: [1] глава 5; [2] глава 3; [3] с.49-89
Дополнительная: [4], [5], [8], [10],[12],[14],[16]
Раздел 7. Регрессионный анализ (Л.-4ч., С.-4ч., СРС -18ч.: проработка лекций-8ч., подготовка к семинарским занятиям -6ч., выполнение домашнего задания-4ч.)
Модель линейной регрессии. Методы оценивания параметров в линейной регрессионной модели (МНК, ВМНК, МНМ, ранговый). МНК-оценка параметров и её свойства. Критерии проверки адекватности гауссовской линейной регрессионной модели.
Литература по разделу.
Основная: [2] глава 5; [17] глава 1; [11] §§ 1, 3, 5
Дополнительная: [12], [16]
8. Образовательные технологии