Динамика соотношения капитала и труда

Экономическая динамика со скалярными дифференциальными уравнениями

Данная глава применяет понятия и теоремы двух предыдущих глав, чтобы анализировать различные модели в экономической модели. Хотя экономические связи в этих моделях сложные, как привило, мы покажем, что динамика всех этих моделей определяется движением одномерных дифференциальных уравнений. Раздел 4.1 рассматривает односекторную модель роста. Экономический механизм этой модели будет применяться к некоторым другим моделям в этой книге, мы объясним экономическую структуру в деталях. В этом разделе также будет применяться теорема Ляпунова, чтобы гарантировать глобальную асимптотическую устойчивость равновесия. Раздел 4.2 изображает один сектор модели роста, предложенный в разделе 4.1, используя моделирование. Раздел 4.3 рассматривает односекторную модель роста для общей функции полезности. Раздел 4.4 рассматривает модель городского экономического роста жилищного строительства. В разделе 4.5 мы рассмотрим динамическую модель, чтобы увидеть как свободное время и часы работы меняются с течением времени в связи с экономическим ростом. Раздел 4.6 рассматривает динамику полового разделения труда и потребления, учитывая экономический рост. Мы проиллюстрируем увеличение трудового участия женщин как «следствие» экономического роста, а также изменение условий на рынке труда. Раздел 4.7 описывает двухблочную модель Удзавы. В разделе 4.8 мы протестируем модель Удзавы с эндогенным потребительским потреблением. Модели этой главы показывают сущность экономических принципов во многих отраслях экономики, таких, как равновесная экономика (как стационарное состояние экономической динамики), теория экономического роста, городская и гендорная экономика. Основные идеи и выводы этой главы требуют некоторые книги, чтобы объяснить, если это возможно. Это и доказывает силу теории дифференциальных уравнений.

4.1 Односекторная модель роста.(ОМР)

Мы имеем дело с экономикой одного производственного сектора. Модель, предложенная в этом разделе, называется ОМР, изначально построенной Жангом. Большинство аспектов нашей модели похожи на односекторную модель роста Солоу. Предполагается, что существует одно благо экономике в стадии рассмотрения. Домохозяйства владеют собственными активами экономики и распределяют свои доходы так, чтобы и потреблять, и сохранять. Производственные секторы или фирмы используют материалы, такие, как труд с различным уровнем человеческого капитала, различные виды капитала, знания и природные ресурсы для производства материальных благ и услуг. Обмены происходят на совершенно конкурентных рынках. Производственные секторы продают свой продукт домашним хозяйствам или в другие секторы, а домашние хозяйства продают свою рабочую силу и средства производственным секторам. Рынки факторов работают хорошо; факторы нестабильно поставляются и доступные факторы полностью используются в любой момент.

Поведение производителей

Пусть обозначает капитал, существующий в каждый момент времени и - поток услуг труда в момент времени для производства. Производственный процесс описывается некоторой достаточно однородной функцией

(4.4.1)

Мы предполагаем, что - неоклассическая (Производственная функция называется неоклассической, если она удовлетворяет следующим условиям: 1 - , если 2 - 3 - неотрицательны; 4 – существуют вторые частные производные учитывая 5 – функция однородная первой степени, , 6 – функция строго квазивогнута). Мы также предполагаем, что производственная функция показывает постоянные отдачи от масштаба. Несложно проверить, что линейная однородная продукция имеет следующие свойства:

(1) ;

(2)

(3) и

(4) Теорема Эйлера имеет место

Мы изобразим интенсивную форму совокупной производственной функции на Рисунке 4.1.1. Когда мы движемся вправо вдоль производственной функции, выработка на одного работника увеличивается в виде капитала/труда, относительно роста . Форма на рисунке отображает предположение о том, что имеет место падение доходности к росту . Прирост выработки на одного работника снижается по мере повышения капитала на одного рабочего. Наклон производственной функции становится более плоским слева направо. Это значит, что, хотя увеличение капитала всегда приводит к увеличению производительности, это происходит при снижении ставки.

Мы допускаем (идентично многочисленный) один производственный сектор. Цель его экономического производства – максимизация своей текущей прибыли

где - цена продукции, - процентная ставка, - ставка заработной платы.

Мы предполагаем, что производственное благо служит хорошим средством обмена и берется в качестве масштаба цен. Таки образом, определяем

и измеряем заработную плату и аренду потоков в единицах произведенного блага. Максимизация относительно и в качестве переменных решений дает

(4.1.2)

Так как производственная функция является однородной первой степени, мы имеем

или . Этот означает, что общий доход используется для оплаты всех факторов производства. Таким образом, мы заключаем, что если производственная функция является однородной первой степени, то высшее требование выполнено. (adding-up requirement)

Поведение потребителей

Потребитель получает доход

из выплаты процентов и заработной платы . Мы называем текущим доходом в том смысле, что он получается из ежедневного труда потребителя (плата за человеческий капитал) и текущих доходов потребителя от собственного физического капитала. Сумма денег, которую потребитель использует для сбережения, потребления и передачи не обязательно равна временному доходу, потому как потребители могут продавать свое благосостояние, например, текущие расходы, если временный доход не является достаточным для покупки продуктов питания и путешествий по стране. Пенсионеры могут жить не только на выплаты процентов, но и на часть своих богатств. Общая стоимость богатств, которые потребители могут продать, чтобы купить товары и чтобы сделать сбережения равна Валовой располагаемы доход (ВРД) равен

ВРД используется для сбережения, потребления и оплаты амортизации богатства. Мы предполагаем, что потребители оплачивают амортизацию капитальных благ, которыми они владеют. Общая сумма равна , где - норма амортизации физического капитала. В любой момент времени потребители будут распределять общий объем доступного бюджета между сбережениями , потреблением товаров и оплатой амортизации . Бюджетное ограничение определяется

.

Так как потребитель должен платить амортизацию , мы называем

располагаемым доходом, который равен чистому доходу, за вычетом амортизационных потерь

(4.1.3)

где

.

В нашей модели в любой момент времени потребители имеют два варианта решений. Потребитель решает, как много потреблять и как много сберегать. Потребления и сбережения истощают личный доход, располагаемый потребителем, то есть

(4.1.4)

Мы предполагаем, что уровень полезности , который потребители получают, зависит от уровня потребления товаров и чистой экономии Мы используем функцию полезности Кобба-Дугласа для описания потребительских предпочтений

(4.1.5)

в котором соответственно – склонности к потреблению благ и к присвоению богатства. Мы предполагаем

без ограничения общности. Максимизируя Уравнение (4.1.5) с учетом Уравнения (4.1.5), мы получаем

(4.1.6)

Оптимальный выбор показан на Рисунке 4.1.2.

Динамика соотношения капитала и труда

Представляется разумным принимать во внимание население независимо от экономических условий, в первой аппроксимации. Здесь мы предполагаем, что динамика населения является экзогенно определенной следующим путем

Изменения в богатстве домохозяйств равно чистой экономии минус богатство, проданное со временем, то есть

(4.1.7)

Верхнее уравнение определяет все переменные в системе. Мы называем эту динамическую систему (с надлежащими начальными условиями) односекторной моделью роста (ОМР). Сейчас мы перепишем динамику из расчета на душу населения. Из уравнения (4.1.6) и , мы имеем

Поставляя верхнее уравнение в уравнение (4.1.7), получаем

(4.1.8)

где мы используем

В качестве мы имеем

. (4.1.9)

Подставим уравнение (4.1.8) в уравнение (4.1.9)

(4.1.10)

Функция имеет свойства: при Можно заметить, что как только капитал на душу населения определяется, все переменные системы, такие, как могут быть рассчитаны соответственно. Теперь мы рассмотри некоторые свойства уравнения (4.1.10).