Обратная функция. Элементарные функции

Понятие функции

Когда наблюдаем какой-нибудь процесс или явление из области экономики или другой области знаний, то видим, что одни величины сохраняют свои значения, другие же принимают различные значения.

Переменной величиной называется такая величина, которая при выполнении некоторого комплекса условий, может прини­мать различные значения. Постоянной величиной называется такая величина, которая при выполнении некоторого комплекса условий, сохраняет одно и то же значение.

Отметим, что выполнение комплекса условий является очень важным. Так, одна и та же величина может быть переменной или постоянной в зависимости от того, в каких условиях она рассматривается. Например, цена на хлеб (и некоторые другие продукты) в условиях рыночной экономики является величиной переменной. В условиях жесткого планирования цена на хлеб может держаться на одном уровне и быть постоянной величиной.

Переменные величины обычно обозначаются последними бук­вами латинского алфавита (х, у, z, и, v, w), а постоянные — первыми (а, Ь, с).

Изучая какое-нибудь явление, обычно имеем дело с сово­купностью переменных величин, которые связаны между собой так, что каждым значениям одних величин соответствуют значе­ния других. Так, например, ясно, что:

1) каждому значению цены товара соответствует определен­ная величина спроса;

2) каждому значению объема производства соответствует определенная величина издержек;

3) каждому году соответствует сумма накопившегося денеж­ного вклада в Сбербанке.

Во всех этих примерах общим является то, что каждому чи­словому значению одной величины сопоставляется определенное числовое значение другой.

Дадим определение понятия функции, являющегося центральным понятием математического анализа, причем внача­ле ограничимся случаем двух переменных величин. Пусть даны два множества X и Y.

Определение. Правило , сопоставляющее каждому числу единственное число , называется функцией, заданной на множестве X и принимающей значения в множестве Y. Задать функцию – значит задать три объекта: 1) множе­ство X, 2) множество , 3) правило . О функции говорят, что она действует из X в и пишут: .

Иногда функцией называют также уравнение у = f(x), т.е. формулу, где у выражено через х с помощью правила . В урав­нении у = f{x) переменную х называют независимой переменной или аргументом, а у — зависимой переменной. О величинах х и у говорят, что они связаны функциональной зависимостью.

Множество всех значений независимой переменной, для ко­торых определена функция (т. е. при которых функция вообще имеет смысл), называется областью определения или об­ластью существования этой функции, обозначается D(f). Множество всех значений функции называется областью зна­чений функции и обозначается E(f).

В экономических задачах часто приходится рас­сматривать зависимости одной переменной от многих других. Например, национальный доход Y зависит от затрат труда L и объема производственных фондов; издержки производства зави­сят от материальных затрат и расходов на оплату рабочей силы. В этом случае говорят о функции нескольких переменных.

Бывают случаи, когда одной переменной соответствует несколько других. Например, некоторому значению цены на товар соответствуют определенные значения спроса и предложения, т.е. одной переменной соответствуют две другие. Тогда говорят о двузначной или многозначной функции (в отличие от однозначной).

Наличие функциональных зависимостей социально-экономи­ческих явлений позволяет использовать для решения экономиче­ских проблем методы математического анализа.

Способы задания функции

Различают три способа задания функции: 1) аналитический; 2) табличный; 3) графический.

1. Аналитический способ. Если функция выражена при помощи формулы, устанавливающей, какие вычислительные опе­рации надо произвести над х, чтобы получить у, то говорят, что она задана аналитически.

При аналитическом способе задания функция может быть задана:

явно, когда дано выражение у через х, т. е. формула имеет вид ;

неявно, когда х и у связаны между собой уравне­нием вида F(x,у)=0;

параметрически, когда соответствующие друг другу значения х и у выражены через третью переменную величину t, называемую параметром.

Аналитический способ удобен для выполнения математиче­ских действий над функцией и решения задач прогнозирования.

2. Табличный способ состоит в том, что функция задается таб­лицей, содержащей значения аргумента х и соответствующие значения функции , например таблица логарифмов.

3. Графический способ состоит в изображении графика функ­ции – множества точек (х,у) плоскости, абсциссы которых есть значения аргумента х, а ординаты – соответствующие им значе­ния функции y=f(x).

Основные свойства функций

1. Четность и нечетность. Функция называется чет­ной, если для любых значений х из области определения = и нечетной, если = . В противном случае функ­ция у = называется функцией общего вида.

График четной функции симметричен относительно оси ор­динат (например, график функции y=x²), а гра­фик нечетной функции симметричен относительно начала коор­динат (например, график функции у=х³ ).

2. Монотонность. Функция называется возрастающей (убывающей) на промежутке X, если большему значению аргумен­та из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значе­ние функции.

Функции возрастающие и убывающие называются монотон­ными функциями.

3. Ограниченность. Функция называется ограниченной на промежутке X, если существует такое положительное число М >0, что М для любого х X.

Например, функция у= sin х ограничена на всей числовой оси, ибо 1 для любого х R.

4. Периодичность. Функция у = f (х) называется периодической с периодом Т 0, если для любых х из области определения функции (х + Т) = (х).

Напр., функция у= sin х имеет период Т = 2 , так как для любых х sin (х +2 ) = sin х.

Обратная функция. Элементарные функции

Пусть есть функция от независи­мой переменной х, определенной на промежутке Х с областью значений Y. Поставим в соответствие каждому y Y единственное значение х Х, при котором . Тогда полученная функция х= (у), определенная на промежутке Y с областью значений X, называется обратной.

Так как традиционно независимую переменную обозначают через х, а функцию через у, то функция, обратная к функции у= f(х), примет вид y= (x). Обратную функцию y= (x) обозначают так же в виде у= (аналогично с обозначением обратной величины).

Например, для функции у= а^х обратной будет функ­ция x= или (в обычных обозначениях зависимой и незави­симой переменных) у= .

Можно доказать, что для любой строго монотонной функции существует обратная функция.

Графики взаимно обратных функ­ций симметричны относительно бис­сектрисы первого и третьего коорди­натных углов (на рис. показаны графики взаимно обратных функций y=a^x и y= при а>1).

Сложная функция. Пусть функция y=f(u) есть функция от переменной и, определенной на множестве U с обла­стью значений Y, а переменная и в свою очередь является функцией и= (х) от переменной х, определенной на множестве Х с обла­стью значений U. Тогда заданная на множестве Х функция называется сложной функцией (или композицией функ­ций, суперпозицией функций, функцией от функций).