Моделі конфліктних ситуацій

Правила прийняття рішень за умов невизначеності, конфліктності і зумовленого ними ризику базуються на різних концепціях. Найвідомішою, достатньо дослідженою й широко застосовуваною в теорії і на практиці є концепція теорії гри і статистичних рішень.

Теорія гри — це розділ сучасної математики, в якому вивчаються математичні моделі прийняття рішень за умов невизначеності, конфліктності, тобто в ситуаціях, коли інтереси сторін (гравців) або протилежні (у випадку антагоністичних ігор) або не збігаються, хоча й не є протилежними (у випадку ігор з непротилежними інтересами).

Методичний апарат для вибору відповідного господарського рішення в конфліктній ситуації сформований у теорії ігор. Вона:

- дозволяє підприємцю або менеджеру краще розуміти конкретну обстановку, проблему в цілому і зводити до мінімуму ступінь ризику;

- дає можливість вирішувати багато економічних проблем, пов’язані з вибором, визначенням найкращого стану, підпорядкованого тільки деяким обмеженням, що випливають з умов самої проблеми;

- спонукає підприємця (менеджера) розглядати всі можливі альтернативи як своїх дій, так і стратегії партнерів, конкурентів.

Гра — це формалізований опис (модель) конфліктної ситуації, що містить чітко визначені правила дій її учасників, які намагаються отримати певну перемогу через вибір конкретної (в певному розумінні найкращої) стратегії поведінки. Суб’єкт прийняття рішення (СПР) називається гравцем, а цільова функція — платіжною функцією.

Кожен гравець приймає такі рішення, тобто вибирає таку стратегію поведінки, щоб максимізувати свій виграш або мінімізувати програш. При цьому він не знає, яких стратегій дотримуватимуться решта гравців. Таким чином, кожен гравець приймає свої рішення за невизначеності, а результат обраної ним стратегії залежить від поведінки всіх учасників гри.

Мета теорії ігор – формування рекомендацій щодо оптимальної поведінки учасників конфлікту, тобто визначення оптимальної стратегії кожному з них. У теорії ігор розроблена система власних понять. Математична модель конфлікту називається грою, сторони у конфлікті – гравцями. Результат гри називається виграшем, програшем або нічиєю, правила гри – перелік прав і обов’язків гравців.

Ходом називається вибір гравцем однієї з передбачених правилами гри дій. Ходи бувають особисті і випадкові. Особистий хід – це свідомий вибір гравця, випадковий хід – вибір дії, що не залежить від його волі. Залежно від кількості можливих ходів у грі, ігри поділяються на скінченні і нескінченні. Скінченні – ті, котрі передбачають нескінченне число ходів, нескінченні – навпаки. Деякі ігри в принципі мають вважатися скінченими, але мають так багато ходів, що належать до нескінченних (шахи).

Стратегією гравця називається сукупність правил, що визначають вибір варіанта дій у кожному особистому ході. Оптимальною стратегією гравця називається така, що забезпечує йому максимальний виграш. Ігри, що складаються тільки з випадкових ходів, називаються азартними. Ними теорія ігор не займається. Її мета – оптимізація поведінки гравця у грі, де поряд з випадковими, є особисті ходи(стратегічні ігри). Гра називається грою з нульовою сумою, якщо сума виграшів усіх гравців дорівнює нулю, тобто кожен виграє за рахунок інших.

Гра називається парною, якщо в неї грають два гравці. Парна гра з нульовою сумою називається антагоністичною.

Основне припущення, на підставі якого знаходять оптимальне рішення в теорії ігор, полягає в тому, що супротивник такий же розумний, як і сам гравець.

У грі грають два гравці, назвемо їх А і В. Себе прийнято ототожнювати з гравцем А. Нехай в А є m можливих стратегій: , а в супротивника В – n можливих стратегій: . Така гра називається грою m × n. Позначимо через виграш гравця A при власній стратегії і стратегії супротивника . Зрозуміло, що кількість таких ситуацій може бути m × n.

Форма представлення гри може бути нормальною (матричною) або розвернутою(у вигляді дерева). Гру зручно відображати таблицею, що називається платіжною матрицею, або матрицею виграшів (табл. 5.1).

Таблиця 5.1

Загальний вигляд платіжної матриці

Стратегії гравців			…
			…
			…
…	…	…	…	…
			…

Платіжна матриця має стільки стовпців, скільки стратегій у гравця В, і стільки рядків, скільки стратегій у гравця А. На перетині рядків і стовпців, що відповідають різним стратегіям, стоять виграші гравця А і, відповідно, програші гравця В.

Зведення гри до матричної форми саме по собі може бути важким і навіть невиконуваним завданням через незнання стратегій, величезну їх кількість, а також складність оцінки виграшу. Ці приклади саме й показують обмежені можливості даної теорії, тому що у всіх подібних випадках задача не може бути розв’язана методами теорії ігор.

Скінчена парна гра з нульовою сумою називається також матричною грою, оскільки їй можна поставити у відповідність матрицю. Виходячи з вигляду платіжної матриці, можна зробити висновок, які стратегії є свідомо невигідними. Це ті стратегії, для яких кожен з елементів відповідного рядка матриці менший або дорівнює відповідним елементам іншого якого-небудь рядка. Справді, кожен елемент матриці – це виграш гравця А, і якщо для якої-небудь стратегії (рядка) всі виграші менші від виграшів іншої стратегії, зрозуміло, що перша стратегії менш вигідна, ніж друга. Така операція відбраковування явно невигідних стратегій називається мажоруванням.

Якщо задача зведена до матричної форми, то можна порушувати питання про пошук оптимальних стратегій. Насамперед, введемо поняття верхньої та нижньої ціни гри. Нижньою ціною гри називається елемент матриці, для якого виконується умова:

а = mах (mіn а)

(5.1)

Нижня ціна гри (показати кращий варіант з найгіршого) показує, що хоч би яку стратегію застосовував гравець В, гравець А гарантує собі виграш, не менший за а.

Верхньою ціною гри називається елемент, що задовольняє умову:

β= min (max a)

(5.2)

Верхня ціна гри гарантує для гравця В, що гравець А не одержить виграш, більший за β.

Точка (елемент) матриці, для якої виконується умова,

а = β

(5.3)

називається сідловою точкою. У сідловій точці найбільший з мінімальних виграшів гравця А точно дорівнює найменшому з максимальних програшів гравця В, тобто мінімум у якому-небудь рядку матриці збігається з максимумом у якому-небудь стовпці. Сідлова точка є розв’язком матричної гри, в якій мінімаксні стратегії володіють стійкістю.

Для того, щоб перетворити матрицю виграшів на матрицю ризиків, необхідно по максимальному значенню стовпця будувати нову матрицю, де буде максимум .

За допомогою теорії ігор суб’єкт господарювання отримує можливість передбачити дії (ходи) своїх партнерів та конкурентів. Але через складність дану теорію доречно використовувати тільки при прийнятті однократних, принципово важливих господарських рішень.

Методи пошуку оптимальних розв’язків гри базуються на таких положеннях:

1) кожна скінченна гра двох осіб з нульовою сумою має принаймні один (оптимальний) розв’язок, можливо у змішаних стратегіях;

2) якщо один з гравців застосовує свою оптимальну змішану стратегію, то його виграш дорівнює ціні гри незалежно від того, з якими ймовірностями (відносними частотами) другий гравець використовуватиме стратегії, що увійшли в його оптимальну змішану стратегію.

Таким чином, загальноприйняте поняття оптимальності розширюється за рахунок включення таких важливих елементів, як, наприклад, компромісне рішення, що задовольняє різні сторони конфлікту. Ця та інші особливості теорії гри дозволяють використовувати її методи для розв’язування різноманітних задач, що виникають в економічній науці та практиці. Дуже часто ці задачі допускають використання інших (неігрових) методів і моделей.

Тема 6. Прийняття оптимальних рішень в умовах невизначеності та ризику

6.1. Теоретичні положення та основні критерії оптимальності

6.2 Критерій гарантованого результату

6.3 Критерій оптимізму

6.4 Критерій песимізму

6.5 Критерій мінімаксного ризику Севіджа

6.6. Критерій узагальненого максиміну (песимізму-оптимізму) Гурвіца

6.7. Критерій Байєса

6.8. Критерій Лапласа