Однофазный корелляционно-регрессионный анализ

Корреляционно-регрессионный анализ заключается в построении модели зависимости в виде уравнения регрессии, приближенно выражающей зависимость результативного признака от одного или нескольких признаков-факторов. Одной из проблем, которую приходится решать, прежде чем приступить к построению уравнения регрессии, является выбор типа функции.

Нахождение теоретической формы связи. Если мы на корреляционном поле в нашем примере соединим, точки отрезками прямой, то получим ломаную линию с некоторой тенденцией к росту. Это будет эмпирическая линия связи. Изломы этой линии свидетельствуют о влиянии на признаку,прочих факторов, помимо признака х. Чтобы отвлечься (абстрагироваться) от влияния прочих факторов, нужно прибегнуть к выравниванию полученной эмпирической линии связи, к нахождению переменных средних (у), исчисленных в предположении функциональной зависимости у от х. Для этого, прежде всего, нужно установить теоретическую форму связи, т. е. выбрать определенный вид математического уравнения, наилучшимобразом отображающегохарактер изучаемой связи.

Выбор формы связи имеет решающее значение в корреляционном анализе. Все дальнейшие самые тщательные расчеты могут быть обесценены, если форма связи избрана неверно.

Зависимость признака у от х может быть, как мы говорили, прямой и обратной. Если с возрастанием х увеличивается у или с уменьшением х уменьшается у, то говорят, что связь между ними прямая, а корреляция положительная; если эта зависимость обратная (т. е. с увеличением х уменьшается у или с уменьшением х увеличивается у), то говорят, что существует отрицательная корреляция.

Кроме того, в зависимости от характера изменения у с изменением х связи могут быть линейными и криволинейными.

Уравнение линейной связи в общем виде можно написатьтак:

Однофазный корелляционно-регрессионный анализ - student2.ru

Криволинейная связь может быть весьма разнообразна. Приведем наиболее часто встречающиеся в экономическом анализе уравнения криволинейной зависимости:

уравнение гиперболы:Однофазный корелляционно-регрессионный анализ - student2.ru

уравнение полулогарифмической кривой: Однофазный корелляционно-регрессионный анализ - student2.ru

уравнение параболы второго порядка: Однофазный корелляционно-регрессионный анализ - student2.ru

Выбор теоретической формы связи всегда связан с некоторой условностью, вызванной тем, что нужно находить форму функциональной зависимости, в то время как в жизни зависимость лишь в той или иной степени приближается к функциональной. Но, если зависимость довольно высокая, т. е. довольно близко приближается к функциональной, тогда именно теоретическая линия связи и ее параметры приобретают практическое значение, превращая теорию корреляции в хорошего помощника в плановых и экономических расчетах. Значит, когда связь высокая, есть смысл искать, и находить теоретическую линию связи.

При линейной форме уравнения применяется показатель тесноты связи – линейный коэффициент корреляции. Для практических вычислений при малом числе наблюдений (n£20) линейный коэффициент корреляции удобнее вычислять по следующей формуле

R= Однофазный корелляционно-регрессионный анализ - student2.ru

Значение линейного коэффициента корреляции важно для исследования социально-экономических явлений и процессов, распределение которых близко к нормальному. Он принимает значения в интервале:

-1 £ r £ 1

Отрицательные значения указывают на обратную связь, положительные на прямую. При r =0 линейная связь отсутствует. Чем ближе коэффициент корреляции по абсолютной величине к 1, тем теснее связь между признаками. И, наконец, при r = ±1, связь – функциональная.

Выравнивание по прямой. Разберем на примере зависимости, как находится теоретическое уравнение связи, имеющее линейный характер. Уравнение прямой в общем виде: Однофазный корелляционно-регрессионный анализ - student2.ruНайти теоретическое уравнение связи - значит в данном случае определить параметры прямой. Эти параметры находят способом наименьших квадратов, который дает следующую систему нормальных уравнений для нахождения параметров прямой:

Однофазный корелляционно-регрессионный анализ - student2.ru

Однофазный корелляционно-регрессионный анализ - student2.ru

где п - численность совокупности; в нашем примере п =12.

Однофазный корелляционно-регрессионный анализ - student2.ru

Однофазный корелляционно-регрессионный анализ - student2.ru

Рассчитаем параметры линейного уравнения зависимости между расходами на рекламу и товарооборотом. (Для удобства расчетов показатели приведены в тыс. грн.)

x y x2 yx Yx Y-Yx |Y-Yx|×100%
Y
0,42 39,62 0,18 16,64 40,63 -1,00 2,53
0,68 40,24 0,46 27,36 46,85 -6,62 16,45
0,65 41,36 0,42 26,89 46,13 -4,77 11,54
0,63 45,68 0,40 28,78 45,66 0,03 0,06
0,63 45,68 0,40 28,78 45,66 0,03 0,06
0,66 46,81 0,43 30,80 46,33 0,49 1,04
0,58 47,21 0,34 27,38 4,46 2,76 5,84
0,70 48,65 0,49 34,06 47,33 1,32 2,71
0,64 48,97 0,41 31,34 45,89 3,07 6,27
0,68 49,36 0,46 33,57 46,85 2,51 5,08
0,71 50,32 0,50 35,73 47,57 2,75 5,47
0,86 50,68 0,74 43,74 51,24 -0,55 1,09
7,84 554,59 5,24 365,06 х х 58,14

В результате расчетов мы получили Однофазный корелляционно-регрессионный анализ - student2.ru =30,56, Однофазный корелляционно-регрессионный анализ - student2.ru =23,95, следовательно уравнение зависимости имеет вид: У=30.56+23,95*Х

Прежде чем использовать полученную модель в дальнейших расчетах, необходимо установить адекватность модели. Для этого рассчитываем среднюю ошибку аппроксимации:

Однофазный корелляционно-регрессионный анализ - student2.ru ,

где Уф - фактические значения показателя, Ут - теоретические значения, найденные из уравнения.

Для этого, подставляя в уравнение регрессии фактические значения Х, находят теоретическое значение У, затем, для каждого значения рассчитывают:

Однофазный корелляционно-регрессионный анализ - student2.ru , потом находят среднее значение Однофазный корелляционно-регрессионный анализ - student2.ru .

При моделировании экономических показателей чаще всего допускается 5% ошибка. Модель считается адекватной (приемлемой для использования в расчетах), если Однофазный корелляционно-регрессионный анализ - student2.ru .

В нашем примере ошибка аппроксимации =4,85%, следовательно, модель можно считать адекватной и использовать для моделирования показателей.

Так, например, мы можем вычислить, что при затратах на рекламу в размере 1000 грн. мы можем рассчитывать на объем товарооборота – 54518 грн.

В этом уравнении, исчисленном при условии функциональной зависимости у от х, если корреляционная связь высокая, параметр а при х имеет большое практическое значение. Этот параметр, который называется коэффициентом регрессии, характеризует, в какой мере увеличивается Ух с ростом величины х. В нашем примере прирост на 1 грн. рекламных расходов дает прирост объема продаж на 24грн.

Контрольные вопросы к теме

1. Какие виды взаимосвязей вам известны

2. В чем сущность балансового метода изучения взаимосвязей

3. Чем характеризуются функциональные связи

4. Что собой представляет корреляционная связь

5. Каковы основные задачи корреляционного анализа

6. В чем сущность метода сопоставления параллельных рядов

7. Что представляет собой однофакторный корреляционно-регрессионный анализ

8. Как используется метод группировок с целью выявления корреляционных за­висимостей

9. В чем заключается графический метод выявления взаимосвязей

10. Какова последовательность нахождения теоретического уравнения связи, имеющего линейный характер.

11. Для чего рассчитывают среднюю ошибку аппроксимации:

12. Что характеризует коэффициентом регрессии

 
  Однофазный корелляционно-регрессионный анализ - student2.ru

Тесты

1. Равенство: а+б=в+г представляет следующий вид взаимосвязей

a) факторный;

b) компонентный;

c) балансовый;

d) регрессионный.

2. Функциональные связи характеризуются:

a) обратной зависимостью между факторными и результативными признаками;

b) полным соответ­ствием между изменением факторного признака и изменением ре­зультативной величины;

c) тем, что величина того или иного признака изменяется под влиянием целого комплекса факторов, мера влияния которых на результативный показатель различна;

d) тем, что они неполные.

3. Уравнение Однофазный корелляционно-регрессионный анализ - student2.ru является:

a) Уравнением линейной связи;

b) уравнением полулогарифмической кривой;

c) Уравнением линейной связи;

d) уравнением параболы второго порядка.

4. средняя ошибка аппроксимации характеризует:

a) адекватность составленной модели взаимосвязи;

b) правильность расчета параметров уравнения регрессии;

c) тесноту взаимосвязи между рассматриваемыми явлениями;

d) коэффициент регрессии.

Опорный конспект

Наши рекомендации