Биномиальное распределение B(n,p)

Схемой Бернулли называется последовательность независимых испытаний, каждое их которых имеет два исхода и . Пусть , .

Схема Бернулли является математической моделью, которая пригодна для описания следующих физических экспериментов:

1) последовательность бросания монеты с 2-мя исходами при каждом бросании: - выпадение герба, - выпадение числа. Если монета правильная, то .

2) последовательность выстрелов, производимых стрелком по цели с вероятностью попадания в цель. Событие соответствует попаданию в цель, событие - промаху.

3) массовое производство каких-либо изделий. Даже во время нормальной работы иногда изготавливаются изделия, не соответствующие стандарту, то есть дефектные. Какое именно изделие окажется негодным, сказать заранее невозможно. Обозначим долю дефектных изделий через . Событие означает, что взятое наудачу изделие окажется дефектным, событие означает, что взятое наудачу изделие окажется стандартным.

Можно сказать, что технологический процесс массового производства математически представляется схемой испытаний Бернулли. Подсчет числа дефектных изделий делается для контроля технологического процесса. При массовом производстве сплошная проверка качества изготовленных изделий обычно неоправданна. Поэтому для контроля качества из произведенной продукции наудачу отбирают определенное количество изделий. Обозначим это число n. В результате их проверки регистрируют количество бракованных изделий. Их число обозначим через X. В зависимости от значения X принимают то или иное решение о состоянии производственного процесса. Теоретически X может принимать любые целые значения от 0 до n включительно, но, конечно, вероятности этих значений различны. Для того, чтобы делаемые по значению X выводы были обоснованными, требуется уметь вычислять вероятности значений случайной величины X.

Предположим, что схема Бернулли состоит из n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события A равна p. Обозначим через вероятность того, что событие появится в n испытаниях ровно m раз, где m=0,1,2,…,n. Имеет место формула Бернулли

(1)

Пример 1. Вероятность выпуска дефектного изделия в условиях данного производства равна . Из продукции выбрано наудачу n=3 изделия. Найти вероятность того, что среди них окажется одно дефектное изделие, два дефектных изделия.

По формуле Бернулли получим вероятность одного дефектного изделия . Вероятность двух дефектных изделий равна .

Пусть случайная величина X равна числу появлений события в n независимых испытаниях. Эта случайная величина может принимать одно из значений 0,1,2,…,n. Вероятности этих значений определяются по формуле Бернулли. Закон распределения дискретной случайной величины X задается таблицей

Этот закон называется биномиальным. При этом говорят, что случайная величина X принадлежит классу биномиальных распределений B(n,p) с параметрами n и p.

На рис.2 показаны вероятности P(X=m) значений биномиального распределения при n=10, p=0,2 и p=0,4 соответственно.

Рис.2. Вероятности значений биномиального распределения.

Характеристики биномиального распределения рассчитываются по формулам: математическое ожидание , дисперсия , среднее квадратическое отклонение .

Пример 2. Производится n=2 выстрела по цели. Вероятность попадания при каждом выстреле равна . Найти закон распределения случайной величины X, равной числу попаданий в цель.

Может быть 0, 1 или 2 попаданий в цель. Вероятности этих значений определим по формуле Бернулли.

· Вероятность, что не будет ни одного попадания в цель .

· Вероятность, что будет одно попадание .

· Вероятность, что будет два попадания .

Составим таблицу распределения случайной величины X

Заметим, что , поскольку все события, для которых определяются вероятности, являются несовместными и образуют полную группу.

Определение вероятностей случайной величины X, подчиненной биномиальному распределению с параметрами n=3, p=0,6, выполненное в Excel, показано на рис.3.

Рис.3. Биномиальное распределение B(3; 0,6)

В ячейках C2 и C3 находятся значения параметров n=3 и p=0,6. В ячейках A6:A9 содержатся возможные значения биномиального распределения, в ячейках B6:B9 - вероятности этих значений, вычисленные по формуле (1). Например, содержимое ячейки B6 равно

B6 = БИНОМРАСП(A6;$C$2;$C$3;ЛОЖЬ)

Ячейки C6:C9 содержат накопленные суммы вероятностей, а именно, C6 = B6, C7 = C6+B7, C8 = C7+B8, C9 = C8+B9.

Для разыгрывания случайной величины, подчиненной биномиальному распределению, применяется формула:

,

где - случайное число с равномерным распределением на промежутке [0;1]. Например, чтобы получить 10 значений случайной величины, надо в ячейку E3 записать СЛЧИС(), а в ячейку F3 - формулу

= ЕСЛИ(E3<$C$6;$A$6;ЕСЛИ(E3<$C$7;$A$7;ЕСЛИ(E3<$C$8;

$A$8;$A$9))).

После копирования содержимого пары ячеек E3:F3 на блок E4:F12 в ячейках F3:F12 получим 10 значений случайной величины, имеющей биномиальное распределение вероятностей.