Биномиальное распределение ДСВ

Так называется распределение вероятностей ДСВ , реализующее схему повторных испытаний. Пусть в результате опыта событие А появляется с вероятностью Р(А)=р.Обозначим Биномиальное распределение ДСВ - student2.ru Если производится n одинаковых опытов или один опыт повторяется n раз, то вводится случайная величина Биномиальное распределение ДСВ - student2.ru (число появлений события А в n опытах). Ясно, что такая ДСВ принимает значения 0,1,2,3…., n, а соответствующие вероятности Биномиальное распределение ДСВ - student2.ru вычисляются по формуле Бернулли Биномиальное распределение ДСВ - student2.ru Распределение такой ДСВ и называется биномиальным, что подчёркивается индексом в обозначении Биномиальное распределение ДСВ - student2.ru . Её ряд распределения имеет вид

Биномиальное распределение ДСВ - student2.ru К n
Биномиальное распределение ДСВ - student2.ru Биномиальное распределение ДСВ - student2.ru Биномиальное распределение ДСВ - student2.ru Биномиальное распределение ДСВ - student2.ru Биномиальное распределение ДСВ - student2.ru Биномиальное распределение ДСВ - student2.ru

Отметим простейшие свойства распределения.

Биномиальное распределение ДСВ - student2.ru Хорошо известна формула бинома Ньютона

Биномиальное распределение ДСВ - student2.ru , Биномиальное распределение ДСВ - student2.ru (24)

Формула справедлива при любых q и p. Если p и q – указанные выше вероятности, то p + q=1 и слагаемые формулы бинома Ньютона являются вероятностями ряда распределения. Собственно, и название биномиального распределения связано именно с биномом Ньютона.

Биномиальное распределение ДСВ - student2.ru Числовые характеристики биномиального распределения.

Биномиальное распределение ДСВ - student2.ru

Пример 39. На поле 5 тракторов. Надёжность (т.е. вероятность безотказной работы) каждого трактора равна 0,8. Составить ряд и функцию распределения числа тракторов, работающих одновременно. Найти среднее число исправных тракторов. Вычислить вероятность того, что число исправных тракторов не менее трёх.

Решение. Обозначив событие А = {безотказная работа одного трактора}, по условию задачи имеем Р(А) = 0,8=р, Биномиальное распределение ДСВ - student2.ru Вводим СВ Биномиальное распределение ДСВ - student2.ru = (число тракторов, работающих одновременно) и видим, что Биномиальное распределение ДСВ - student2.ru есть Биномиальное распределение ДСВ - student2.ru , т.е. распределена по биномиальному закону при n = 5. Её ряд распределения и функция распределения выглядят следующим образом

Биномиальное распределение ДСВ - student2.ru
Биномиальное распределение ДСВ - student2.ru Биномиальное распределение ДСВ - student2.ru = 0,00032 Биномиальное распределение ДСВ - student2.ru = 0,0064 Биномиальное распределение ДСВ - student2.ru = 0,0512 Биномиальное распределение ДСВ - student2.ru Биномиальное распределение ДСВ - student2.ru Биномиальное распределение ДСВ - student2.ru

Контроль: Биномиальное распределение ДСВ - student2.ru

Биномиальное распределение ДСВ - student2.ru

Вычисляем числовые характеристики:

Биномиальное распределение ДСВ - student2.ru ; Биномиальное распределение ДСВ - student2.ru , Биномиальное распределение ДСВ - student2.ru

Вероятность того, что число исправных тракторов не менее трёх вычислим по ряду распределения:

Биномиальное распределение ДСВ - student2.ru

16.2. Распределение Пуассона.

Обычно рассматривается некоторый временной промежуток, в течение которого наблюдают появление события А и вводится ДСВ Биномиальное распределение ДСВ - student2.ru (число появлений события А). Если вероятность Биномиальное распределение ДСВ - student2.ru того, что число появлений события А вычисляется по формуле Пуассона, то и ДСВ называется распределённой по закону Пуассона и обозначается Биномиальное распределение ДСВ - student2.ru . Таким образом,

Биномиальное распределение ДСВ - student2.ru (25)

Её ряд распределения выглядит следующим образом.

Биномиальное распределение ДСВ - student2.ru к
Биномиальное распределение ДСВ - student2.ru Биномиальное распределение ДСВ - student2.ru Биномиальное распределение ДСВ - student2.ru Биномиальное распределение ДСВ - student2.ru Биномиальное распределение ДСВ - student2.ru Биномиальное распределение ДСВ - student2.ru

Как видим, Биномиальное распределение ДСВ - student2.ru принимает бесконечное (счётное) множество значений. Отметим простейшие свойства распределения Пуассона.

Биномиальное распределение ДСВ - student2.ru Легко убедиться в том, что выполняется основное требование ряда распределения: Биномиальное распределение ДСВ - student2.ru

Биномиальное распределение ДСВ - student2.ru - выражение в скобке есть разложение Биномиальное распределение ДСВ - student2.ru в ряд Маклорена.

Биномиальное распределение ДСВ - student2.ru Числовые характеристики:

Биномиальное распределение ДСВ - student2.ru

Отметим, что такое численное равенство матожидания и дисперсии справедливо лишь для закона Пуассона и на практике применяется для проверки правдоподобности гипотезы о том, что исследуемая случайная величина распределена по закону Пуассона.

Биномиальное распределение ДСВ - student2.ru Закон Пуассона является предельным для биномиального:

Биномиальное распределение ДСВ - student2.ru

В силу того, что р – мало, а n – велико, закон Пуассона называется законом редких явлений. Он находит большое применение на практике. К закону Пуассона приводят число отказов сложной аппаратуры, число вызовов на телефонной станции за время t; число обрывов нити в прядильном цехе; число отказов для группы одновременно работающих автомобилей в течение заданного промежутка времени (или наработки); число аварий или ДТП; число дефектных изделий, попадающих в выборку из партии изделий; число клиентов, обращающихся на пункт обслуживания в единицу времени; количество запасных частей, забираемых со склада и многое другое.

Пример 40. Среднее число отказов радиоаппаратуры за 1000 часов работы равно 5. Определить вероятность отказа радиоаппратуры за 20 часов.

Решение. Если среднее число отказов радиоаппаратуры за 1000 часов равно 5, то за 20 часов среднее число отказов равно Биномиальное распределение ДСВ - student2.ru . Вводим ДСВ Биномиальное распределение ДСВ - student2.ru = (число отказов радиоаппаратуры за 20 часов), тогда Биномиальное распределение ДСВ - student2.ru и будем считать, что Биномиальное распределение ДСВ - student2.ru т.е. распределена по закону Пуассона. Тогда по условию задачи требуется найти вероятность Биномиальное распределение ДСВ - student2.ru

Легче всего эту вероятность посчитать через вероятность противоположного события: Биномиальное распределение ДСВ - student2.ru По таблицам распределения Пуассона при Биномиальное распределение ДСВ - student2.ru =0,1 получим Биномиальное распределение ДСВ - student2.ru следовательно, Биномиальное распределение ДСВ - student2.ru

Наши рекомендации