Тема 12. Основы финансово-экономических расчетов

Сутью финансово-экономических расчетов (называемых в специальной литературе также высшими финансовыми вычислениями или финансовой математикой) является применение методов количественного финансового анализа для оценки условий и результатов финансовых операций.

Для овладения методикой финансово-экономических расчетов студенту необходимо разобраться в основных понятиях, принятых в финансовых вычислениях.

Деньги в долг могут быть предоставлены в различных формах: денежная ссуда, продажа товара в кредит, размещение на депозитном счете, приобретение векселя, сберегательного сертификата, облигации и т.д.

Любое финансовое соглашение, кроме определения таких количественных характеристик как сумма сделки, величина дохода или размер процентных ставок, должно обязательно учитывать фактор времени. Необходимость учета временных параметров обусловлена принципом неравноценности денег, относящихся к разным моментам времени. Изменение стоимости денег во времени объясняется инфляцией, рисками, возможностью их инвестирования на различных условиях и т.д. Учет фактора времени в финансовой сфере осуществляется с помощью процентов.

Нужно понимать разницу между процентами (или процентными деньгами, т.е. абсолютной суммой дохода от предоставления денег в долг) и процентными ставками (т.е. относительной величиной дохода за фиксированный промежуток времени к сумме долга).

Проценты за весь срок ссуды могут быть начислены как однократно, так и многократно. Фиксированный период времени, за который начисляются проценты, называют периодом начисления.

Процесс присоединения процентов к первоначальной сумме долга называют наращением, ростом, или капитализацией суммы долга. Определение наращенной суммы осуществляется по принципу «от настоящего к будущему», т.е. начисление производится на первоначальную сумму, поэтому применяемые при этом ставки называют ставками наращения или просто процентными. Определение первоначальной суммы по известной наращенной сумме называют дисконтированием. Оно может осуществляться как решением задачи, обратной к наращению, с помощью процентных ставок (математическое дисконтирование), так и путем расчета процентных денег по принципу «от будущего к настоящему», т.е. по отношению к наращенной сумме. Во втором случае относительная величина дохода называется учетной (дисконтной) ставкой, а сама процедура – банковским или коммерческим учетом (учетом векселей).

Если при начислении процентов постоянно используют одну и ту же первоначальную сумму, то такие ставки называют простыми, если же сумму с ранее начисленными процентами (наращенную) – то применяемые ставки называют сложными.

Размер ставки может быть постоянным на протяжении всего срока действия сделки (фиксированные ставки) или изменяться во времени (плавающие ставки). Во втором случае размер ставки состоит из изменяющейся во времени базовой ставки и надбавки к ней – маржи.

Расчетные формулы, используемые при начислении процентов, традиционно принято записывать в унифицированном виде:

PV=FV (. . .), или FV=PV (. . .),

где	PV	–	первоначальная сумма (настоящая стоимость);
	FV	–	наращенная сумма (будущая стоимость);
	(. . .)	–	в зависимости от решаемой задачи множитель наращения или дисконтный множитель.

Это объясняется тем, что на практике необходимая сумма определяется умножением первоначальной или наращенной суммы на соответствующие множители, рассчитанные значения которых приводятся в справочных таблицах в специальной литературе.

Величина дохода определяется как разность (FV – PV), причем в случае применения процентных ставок эта разность характеризует сумму начисленных процентов (І), а в случае применения учетных ставок – величину дисконта (D). Очевидно, что I=PV * ni, а D=FVnd.

Для удобства студентов основные формулы, применяемые при начислении процентов, обобщены в приведенных далее таблицах.

Таблица 12.1. Расчеты с применением простых процентов

Ставка	Прямая задача	Обратная задача
вид	расчетная формула	содер-жание	Расчетная формула	содер-жание	расчетная формула
Процент-ная		нара- щение	FV=PV(1+ni)	матема- тическое дисконти- рование
Учетная		Банков- ский учет (учет векселей)	PV=FV(1-nd)	нараще- ние

Таблица 12.2. Расчеты с применением сложных процентов

(начисление один раз в году)

Ставка	Прямая задача	Обратная задача
вид	расчетная формула	содер-жание	Расчетная формула	содер-жание	расчетная формула
Процент-ная		нара- щение	FV=PV(1+i)n	матема- тическое дисконти- рование
Учетная		банковс- кий учет (учет векселей)	PV=FV(1-d)n	нараще- ние

Условные обозначения:

i	–	процентная ставка (в виде десятичной дроби);
d	–	учетная ставка (в виде десятичной дроби);
n	–	период начисления (в годах).

Так как ставка устанавливается, исходя из годовых процентов, то при расчете доходности краткосрочных финансовых операций сроком менее года проценты определяются пропорционально длительности ссуды в году, т.е. исходя из того, что , где t – число дней ссуды, k – число дней в году.

Если число дней в году при расчете принимается точным, т.е. 365 (366) дней, то и исчисленные проценты называют точными, если же считают год равным 360 дням, то проценты называют обыкновенными, или коммерческими. Число дней ссуды также может быть точным или приближенным (каждый месяц принимается равным 30 дням). При любом способе расчета день выдачи и день погашения ссуды считается за один день.

Таблица 12.3. Варианты начисления процентов

Число дней в году (к)	Число дней ссуды (t)
точное	приближенное
вид применяемых процентов	обозначение в коммер-ческих документах	вид применяемых процентов	обозначение в коммер-ческих документах
(366)	точные проценты с точным числом дней ссуды («английская практика»)	365/365 или АСТ/АСТ	не применяет- ся	-
	обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды («французская практика»)	365/360 или АСТ/360	обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды («немецкая практика»)	360/360

В современных условиях проценты капитализируются, как правило, не один, а несколько раз в году – по полугодиям, кварталам, месяцам или дням. Студенту при расчетах следует обратить внимание, что в контрактах при этом фиксируется не ставка за период начисления, а годовая ставка с одновременным указанием периода начисления, например «20 % годовых с ежеквартальным начислением». В таком случае годовая ставка 20 % называется номинальной, а реальный уровень доходности, т.е. отношение совокупного дохода за год, полученного вследствие m-разового начисления по номинальной ставке, к сумме долга, называют эффективной, или действительной ставкой процента. Формулы начисления сложных процентов при этом видоизменяются.

Таблица 12.4. Расчеты с применением сложных процентов

(начисление m раз в году)

Ставка	Прямая задача	Обратная задача
Вид	расчетная формула	содержа- ние	расчетная формула	содержа- ние	расчетная формула
Процент- Ная		нараще- ние		математи- ческое дисконти- рование
Учетная		банковс- кий учет (учет векселей)		нараще- ние

Условные обозначения:

m	–	число периодов начисления в году;
j	–	номинальная процентная ставка;
f	–	номинальная учетная ставка.

Участников финансовых сделок интересуют не виды ставок, зафиксированных в контрактах, а конечная эффективность финансовых операций. Если разные виды ставок в однотипных финансовых операциях в конкретных условиях сделок приводят к одному и тому же финансовому результату, то такие ставки называют эквивалентными.

Соотношение эквивалентности можно определить для любой пары ставок, приравняв попарно множители наращения или дисконтирования. Так, эквивалентность номинальной и эффективной ставок состоит в том, что однократное начисление по годовой ставке і дает тот же финансовый результат, что и начисление по ставке j m-раз в году, а само соотношение получаем, приравняв:

(1+і)ⁿ=(1+ ,

откуда .

Результаты аналогичных преобразований для удобства обобщим в таблице.

Таблица 12.5. Формулы эквивалентности ставок

Сравниваемые ставки	Расчетная формула
Простая процентная (is) и простая учетная (ds)
Сложная процентная (i) и сложная учетная (d)
Простая процентная (is) и сложная процентная (i)
Простая учетная (ds) и сложная учетная (d)
Номинальная (j) и эффективная (i) процентная	)
Номинальная (f) и эффективная (d) учетная	)

В условиях неустойчивого кредитно-денежного рынка часто происходят изменения уровня процентных ставок. В таком случае множитель наращения при использовании простых процентов определяется как алгебраическая сумма:

FV=PV(1+n₁i₁+n₂i₂+ . . .n_ki_k),

а при использовании сложных процентов – как произведение частных множителей:

FV=PV(1+i₁)ⁿ¹ * (1+i₂)ⁿ² . . . (1+I_k)

Если в финансовых операциях размер процентной ставки изменяется во времени, то все значения ставки можно обобщить с помощью средней ставки. Замена всех значений ставок средней ставкой не должна изменять результатов наращения или дисконтирования, поэтому расчетные формулы, как и в случае эквивалентности ставок, выводят путем сравнения множителей наращения или дисконтирования. Так, для случая простых процентных ставок получим:

откуда ,

где N - общий срок начисления процентов (N= ).

Аналогичные расчеты для простой учетной ставки тоже приводят к формуле средней арифметической , а расчеты для сложных ставок – к средней геометрической

.

Если меняется во времени сумма, на которую начисляются проценты (вследствие внесения денег на счет или снятия их со счета), то традиционная формула простых процентов (I=PVni) приобретает вид:

,

Где	PVj	-	остаток средств на счете в момент после очередного поступления или списания средств;
	nj	-	период хранения денег (в годах) до нового изменения остатка средств на счете ( )

Примеры типовых решений

Задание 1

Ссуда в размере 25 тыс.ден.ед. выдана 25 января с погашением ее 28 сентября этого же года (год невисокосный) под 22 % годовых, проценты простые. Определите сумму, подлежащую возвращению, применив различные способы начисления процентов.

Решение:

Из условия следует, что начисление осуществляется по формуле простых процентов, решается задача наращения, срок ссуды менее года. Следовательно, расчет наращенной суммы осуществляется по формуле: . Произведем расчеты в соответствии с вариантами, приведенными в таблице 12.3:

а) точные проценты с точным числом дней ссуды. Точное число дней ссуды можно определить непосредственно по календарю, но более распространенной является практика его определения как разности между порядковыми номерами дня погашения и дня выдачи ссуды (приложение А). В нашем примере t_точн.=271-25=246 дней.

Расчеты при этом проводятся точно, без промежуточных округлений, полученная в конце сумма округляется до реальных денежных единиц (например, до копеек).

б) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды:

в) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды. Приближенное число дней ссуды определяется, исходя из предположения, что каждый месяц длится 30 дней. Расчет удобнее проводить следующим образом:

-	дата погашения	=	-	28.09
дата выдачи	25.01
				3 дня+8 мес.*30 дней=3+240=243 дня

FV=25000(1+

Из расчета следует: а) обыкновенные проценты больше точных; б) приближенное число дней ссуды, как правило, меньше точного, т.к. средняя продолжительность месяца равна .

Задание 2

Вексель выдан на сумму 80 тыс.ден.ед. с погашением его 15 октября 2006 года. Его владелец учел вексель в банке 5 сентября 2006 г. по простой учетной ставке 24 % (АСТ/360). Определите сумму, полученную владельцем векселя и дисконт в пользу банка.

Решение:

Процедура учета векселя состоит в том, что банк или иное финансовое учреждение до наступления срока платежа по векселю выкупает его у собственника по цене, меньшей, чем указана в векселе, т.е. приобретает (учитывает) его с дисконтом. Банк, дождавшись срока погашения, получает по векселю обозначенную в нем сумму. Владелец векселя получает от банка деньги ранее оговоренного срока, но меньшую сумму. Доход банка определяется как разность между суммами погашения векселя и его выкупа (дисконт). При учете векселя проценты начисляются на сумму, подлежащую уплате в конце срока его действия.

Таким образом, решается задача учета векселя, т.е. прямая задача с использованием простой учетной ставки. Так как данная финансовая операция носит краткосрочный характер, то формула, содержащаяся в таблице 12.1, преобразовывается к виду: .

Точное число дней ссуды (2006 год невисокосный) определяем по таблице порядковых номеров дней в году:

t=288-248=40 дней.

Таким образом, владельцу векселя 5 сентября будет выдано 78044,44 ден. ед., а банк получит по векселю 15 октября обозначенные в нем 80 тыс. Дисконт в пользу банка составит 80000-78044,44=1955,56 ден. ед. Из расчетной формулы следует, что при > величина PV становится отрицательной и финансовая операция теряет экономический смысл (в нашем примере года). Поэтому операция учета векселей применяется только в краткосрочных сделках.

Задание 3

Счет открыт 25 февраля 2006 г. с внесением на него первоначальной суммы 12 тыс.ден.ед. 30-го марта на счет внесено 8 тыс.ден.ед., а 15-го мая со счета снято 6 тыс.ден.ед. 25-го июля 2006 г. счет закрыт. Определите сумму на счете на момент его закрытия, если на остаток вклада банк начисляет доход из расчета 10 % годовых.

Решение:

На счет «до востребования» начисление проводится по ставке простых процентов, исходя из точного числа дней ссуды и точного числа дней в году. В таком случае сумма начисленных процентов исчисляется по формуле:

.

Сумма PV_j меняется по мере внесения на счет или снятия со счета средств. В нашем примере она в период с 25.02.2006 г. по 30.03.2006 г. (на протяжении 33 дней) составляла 12 тыс.ден.ед., с 30.03.2006 г. по 15.05.2006 г. (46 дней) – 20 тыс.ден.ед., а с 15.05.2006 г. по 25.07.2006 г. (71 день) – 14 тыс.ден.ед. Следовательно, величина начисленных процентов составит

На момент закрытия счета, таким образом, сумма средств составит 14000+627,40=14627,40 ден.ед.

Задание 4

Определите, как выгоднее разместить капитал:

а) под простую процентную ставку 12,5% годовых;

б) под сложную процентную ставку 12,0% годовых с ежеквартальным начислением процентов;

в) под сложную процентную ставку 11,8% годовых с ежемесячным начислением процентов.

Решение:

Для сравнения доходности различных видов инвестиций проводят перерасчет доходности в эффективную ставку процентов. Для случая простых процентов эффективная ставка процентов равна номинальной, т.е. 12,5%. Для случая сложных процентов расчет проводится по формуле эквивалентности номинальной и эффективной ставок (таблица 12.5):

вариант а: i= j =0,125;

вариант б: );

вариант в: .

Следовательно, наиболее выгодным вложением средств из предложенных вариантов является размещение под 12% годовых с поквартальным начислением процентов.

Задание 5

Определите величину простой процентной ставки, эквивалентной годовой простой учетной ставке 15%, если срок начисления составляет 135 дней для случая АСТ/АСТ.

Решение:

Из таблицы 12.5 выбираем требуемое уравнение эквивалентности:

.

Учет по ставке 15% при заданном сроке дает тот же финансовый результат, что и наращение по ставке 15,88%.