Рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь

Матричний метод

Систему лінійних рівнянь виду

прийнято називати системою n лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) з n невідомими. При цьому довільні числа а_ij (i = 1,2, ..., n;j=1,2, ..., n) називаються коефіцієнтами системи (коефіцієнтами при невідомих), а числа b_i (i = 1,2, ..., n) – вільними членами. Розв’язком СЛАР називається сукупність чисел х_i (i = 1,2, ..., n), при підстановці яких у систему кожне з її рівнянь перетворюється в тотожність. Систему (13.1) можна записати в матричній формі:

А • Х = В,

де А – матриця коефіцієнтів при невідомих, Х – вектор-стовпець невідомих;В – вектор-стовпець вільних членів:

.

Розв'язок системи (13.1) записується в наступному вигляді Х = А^-1 В. При розв’язанні використовуються функції МУМНОЖ і МОБР.

Приклад 13.3.

Розв’язати СЛАР матричним методом:

В діапазон АЗ:С5 введемо матрицю А, в діапазон D3:D5 – стовпець вільних членів В. Для знаходження вектора невідомих Х необхідно:

1. Виділити діапазон В7: В9 і набрати знак «=».

2. У майстрі функцій вибрати функцію МУМНОЖ.

3. У вікні Аргументы функции встановити курсор в поле Масив1 і викликати функцію МОБР (рис. 13.6).

Рис.13.6 – Використання функцій МУМНОЖ і МОБР

4. Після внесення значень у Аргументы функцииМОБР не треба натискати кнопку ОК, а слід клацнути мишею в полі формул на назві функції МУМНОЖ, тим самим повертаючись в діалогове вікно функції МУМНОЖ.

5. У полі Масив2 вказати діапазон стовпця В і завершити обрахунок натисканням клавіш Ctrl+Shift+Enter .

Метод Крамера

Розв'язок СЛАР знаходиться за формулами Крамера:

,

де - головний визначник матриці системи (13.1);

, (i = 1, 2, ..., n) – допоміжні визначники матриць А_і, які виходять з матриці А заміною і-го рядка на стовпець вільних членів В. Лінійна алгебраїчна система не має рішень, якщо .

Приклад 13.4.

Розв’язати СЛАР з прикладу 13.3 методом Крамера.

1. Знайти визначник матриці = МОПРЕД (А3: С5) і перевірити чи має система розв’язок.

2. По черзі замінити кожен стовпець на вектор вільних елементів. Допоміжні матриці мають такий вигляд:

, , .

3. Знайти визначники допоміжних матриць. Потім за формулою Крамера знайти розв’язок системи (рис. 13.7).

Рис.13.7 – Розв’язок СЛАР методом Крамера

Хід роботи

Завдання 1.

У комбінат входять три заводи, на яких в 2013 р були випущені залізобетонні вироби п'яти видів (табл. 13.1). Асортимент комбінату можна представити матрицею А (3х5). У табл. 13.1 також представлений випуск виробів комбінату за 2014 р – матриця В (Зх5). Нижче вказані ціни на 1 м³ залізобетонних виробів в грн. Ця інформація утворює вектор-стовпець С (5х1).

Таблиця 13.1

Випуск продукції на комбінаті, тис, м3

Завод	Вид виробу
Панелі перекриття	Панелі стінові	Колони і балки	Сходові марші	Комплектуючі вироби
2013 рік
№1
№2
№3
2014 рік
№1
№2
№3
Ціни на 1 м3 залізобетонних виробів, грн

Визначити загальний обсяг річної продукції трьох заводів в грошовому вираженні.

Завдання 2.

1. Розв’язати систему рівнянь методом Крамера.

2. Розв’язати систему рівнянь матричним методом. При вирішенні систем рівнянь обов'язково виконати перевірку.

,

де А1 – номер Вашого варіанту по списку в журналі;

А2 – кількість букв у Вашому прізвищі;

А3=А2-А1;

В1 – кількість букв у Вашому імені (повне ім’я);

В2=cos(A1);

В3=В2-В1;

C1= ln(B1);

C2=C1+8.5;

C3=-min(A1,A2,A3)

Контрольні питання

1. Які функції для роботи з матрицями Вам відомі?

2. Що робить функція ТРАНСП?

3. Що робить функція МОПРЕД?

4. Що робить функція МОБР?

5. Розкажіть два способи транспонування матриці.