Система одновременных эконометрических уравнений

Систему взаимосвязанных тождеств и регрессионных уравнений, в которой переменные могут одновременно выступать как результирующие в одних уравнениях и как объясняющие в других, принято называть системой одновременных (эконометрических) уравнений. При этом в соотношения могут входить переменные, относящиеся не только к моменту t, но и к предшествующим моментам. Такие переменные называются лаговыми (запаздывающими). Тождества отражают функциональную связь переменных. Техника оценивания параметров системы эконометрических уравнений имеет свои особенности. Это связано с тем, что в регрессионных уравнениях системы независимые переменные и случайные ошибки оказываются коррелированы между собой. Достаточно хорошо изучены статистические свойства и вопросы оценивания систем линейных уравнений. Будем рассматривать линейную модель следующего вида:

(53.60)

где i = 1, 2, ..., G; t = 1, 2, ..., n;

y_it — значение эндогенной (результирующей) переменной в момент t;

x_it — значение предопределенной переменной, т.е. экзогенной (объясняющей) переменной в момент t или лаговой эндогенной переменной;

u_it —случайные возмущения, имеющие нулевые средние.

Совокупность равенства (53.60) называется системой одновременных уравнений в структурной форме. Наличие априорных ограничений, связанных, например, с тем, что часть коэффициентов считаются равными нулю, обеспечивает возможность статистического оценивания оставшихся. В матричном виде систему уравнений можно представить как

(53.61)

где В — матрица порядка G х G, состоящая из коэффициентов при текущих значениях эндогенных переменных;

Г — матрица порядка G х К, состоящая из коэффициентов экзогенных переменных.

y_t = (y_1t,…, y_Gti)^T, x_t = (x_1t, … x_kt)^T, ε_t = (ε_1t, … ε_Gt)^T — векторы-столбцы значений соответственно эндогенных и экзогенных переменных, случайных ошибок. Следует отметить, что Mε_t = 0; Σ_(ε) = Mε_tε_t^T = , где E_n — единичная матрица. Таким образом, если Mε_t1ε_t2 = 0 при t₁ ≠ t₂ и t₁, t₂ = 1, 2, ..., п, то случайные ошибки независимы между собой. Если дисперсия ошибки постоянна Mε = = ² и не зависит от t и х_t, то это свидетельствует о гомоскедастичности остатков. Условием гетероскедастичности является зависимость значений Мε = от t и x_t. Умножив все элементы уравнения (53.61) слева на обратную матрицу B^-1, получим приведенную форму системы одновременных уравнений:

(53.62)

Среди систем одновременных уравнений наиболее простыми являются рекурсивные системы, для оценивания коэффициентов которых можно использовать метод наименьших квадратов. Систему (53.61) одновременных уравнений называют рекурсивной, если выполняются следующие условия:

1) матрица значений эндогенных переменных

является нижней треугольной матрицей, т.е. β_ij = 0 при j > 1 и β_ii = 1;

2) случайные ошибки не зависимы друг от друга, т.е. σ_ii > 0, σ_ij = 0 при i ≠ j, где i, j = 1, 2, ..., G. Отсюда следует, что ковариационная матрица ошибок Мε_tε_t^T = Σ_(ε) диагональна;

3) каждое ограничение на структурные коэффициенты относится к отдельному уравнению. Процедура оценивания коэффициентов рекурсивной системы с помощью метода наименьших квадратов, примененного к отдельному уравнению, приводит к состоятельным оценкам.

В качестве примера рассмотрим ситуацию, которая приводит к рекурсивной системе уравнений. Предположим, что цены на рынке P_t в день t зависят от объема продаж в предыдущий день q_t-1, а объем покупок q_t в день t зависит от цены товара в день t. Математически систему уравнений можно представить в виде

Случайные возмущения ε_t и ζ_t можно считать независимыми. Мы получили рекурсивную систему двух уравнений, причем в правую часть первого уравнения входит предопределенная переменная q_t-1, а в правую часть второго — эндогенная переменная P_t.

Применение метода наименьших квадратов для получения оценок одновременных уравнений приводит к смещенным и несостоятельным оценкам, поэтому область его применения ограничена рекурсивными системами. Для оценивания систем одновременных уравнений в настоящее время наиболее часто используют двухшаговый метод наименьших квадратов, применяемый к каждому уравнению системы в отдельности, и трехшаговый метод наименьших квадратов, предназначенный для оценивания всей системы в целом. Сущность двухшагового метода состоит в том, что для оценивания параметров структурного уравнения метод наименьших квадратов применяют в два этапа. Он дает состоятельные, но в общем случае смещенные оценки коэффициентов уравнения, является достаточно простым с теоретической точки зрения и удобным для вычисления.

Согласно алгоритму трехшагового метода наименьших квадратов, первоначально с целью оценки коэффициентов каждого структурного уравнения применяют двухшаговый метод наименьших квадратов, а затем определяют оценку для ковариационной матрицы случайных возмущений. После этого с целью оценивания коэффициентов всей системы применяется обобщенный метод наименьших квадратов.

Пример. Построение эконометрической модели мирового рынка нефти

Очевидно, что модель должна отражать взаимосвязь между тремя основными элементами рыночного механизма — спросом, ценой и предложением (эндогенными переменными). В свою очередь состояние указанных элементов в каждый момент можно охарактеризовать с помощью системы объясняющих, экзогенных, переменных.

Система включает общехозяйственные и товарно-рыночные показатели. Общехозяйственные показатели отражают экономические процессы, происходящие в мире и отдельных странах, и дают представление о фоне, на котором происходит развитие рынка. Вторая группа показателей отражает явления, которые характерны для рынка нефти. Особый интерес представляют показатели, обладающие опережающим эффектом (временным лагом) по отношению к динамике эндогенных переменных конъюнктуры рынка нефти.

При выборе экзогенных переменных учитывалось, что состояние рынка нефти в любой момент определяется не только его внутренними факторами, но и состоянием внешней среды, т.е. общехозяйственной конъюнктурой всего мирового хозяйства, и в первую очередь — динамикой воспроизводственного цикла, уровнем деловой активности в отраслях-потребителях, положением в кредитно-денежной и валютно-финансовой сферах экономики.

Завершающим этапом разработки модели исследуемого рынка является ее реализация. На данном этапе математическая модель формируется в общем виде, оцениваются ее параметры, проводится содержательная экономическая интерпретация, выясняются ее статистические и прогностические свойства.

При построении модели использовалась система показателей, основанная на ежеквартальных динамических рядах за последние 15 лет, которая характеризует основные стороны рынка нефти в экономическом, временном и географическом аспектах.

Проведение корреляционного анализа на этапе предварительной обработки данных позволило ограничить круг используемых показателей (первоначально их было более ста), выбрать для дальнейшего анализа такие, которые отражают воздействие основных факторов на рынок нефти и наиболее тесно связаны с динамикой показателей конъюнктуры. При этом решалась также задача исключения влияния мультиколлинеарности.

Модель строилась исходя из предпосылки, что величина спроса играет более активную роль, чем факторы предложения и цены. Рекурсивная модель включает линейные регрессионные уравнения для следующих эндогенных переменных в момент t:

y_1,t — экспорт нефти из стран ОПЕК;

у_2,t — добыча нефти в странах ОПЕК;

y_3,t — цена на нефть легкую аравийскую.

В модель вошли предопределенные переменные:

у_3,t-1 — цена на нефть легкую аравийскую с лагом в 1 квартал;

x_6,t — поставки нефти на переработку в Японию;

х_7,t-1 — поставки нефти на переработку в США в момент t-1;

x_9,t — коммерческие запасы нефти в странах Западной Европы;

x_10,t-1 — коммерческие запасы нефти в США с лагом в 1 квартал;

x_12,t — экспорт нефти из бывшего СССР в развитые страны;

x_20,t-2 — индекс экспортных цен ООН на топливо с лагом в 2 квартала, а x_20,t-3 — в 3 квартала;

x_23,t-1 — загрузка производственных мощностей обрабатывающей промышленности США с лагом в 1 квартал;

y_1,t / y_2,t — показатель, учитывающий дисбаланс нарынке нефти в момент t.

Эконометрическая модель конъюнктуры рынка нефти имеет следующий вид:

Анализ статистических характеристик модели показал, что в целом она адекватно описывает рынок нефти: все уравнения значимы, объясняют от 67 до 92% дисперсии эндогенных переменных и характеризуются незначительными отклонениями расчетных значений эндогенных переменных от фактических. Значимость коэффициентов модели проверялась по t-критерию. Расчетные значения t_j указаны в скобках под соответствующими коэффициентами.

Построенная модель позволяет анализировать различные ситуации развития рынка нефти.

Контрольные вопросы

1. Что характеризует парный, частный и множественный коэффициенты корреляции? Сформулируйте их основные свойства.

2. Какие задачи решаются методами регрессионного анализа?

3. В чем состоят отрицательные последствия мультиколлинеарности икакможно избавиться от этого негативного явления?

4. В чем состоит задача компонентного анализа, как интерпретировать главные компоненты и определить их вклад в суммарную дисперсию?

5. Какие задачи решает кластерный анализ? В чем особенности иерархических кластер-процедур?