Оценка моделей с лагами в независимых переменных

Временные ряды. Лаги в экономических моделях

При анализе многих экономических показателей (особенно в макроэкономике) часто используют ежегодные, ежеквартальные, ежемесячные, ежедневные данные. Например, это могут быть годовые данные по ВНП, ВВП, объему чистого экспорта, инфляции и т.д., месячные данные по объему продажи продукции, ежедневные объемы выпуска какой-либо фирмы. Для рационального анализа необходимо систематизировать моменты получения соответствующих статистических данных.

В этом случае следует упорядочить данные по времени их получения и построить так называемые временные ряды.

Пусть исследуется показатель Y. Его значение в текущий момент (период) времени t обозначают y_t; значения Y в последующие моменты обозначаются y_t+1 , y_t+2 , …, y_t+k , …; значения Y в предыдущие моменты обозначаются y_t-1 , y_t-2 , …, y_t-k, ….

Нетрудно понять, что при изучении зависимостей между такими показателями либо при анализе их развития во времени в качестве объясняющих переменных используются не только текущие значения переменных, но и некоторые предыдущие по времени значения, а также само время t. Модели данного типа называют динамическими или временными.

В свою очередь переменные, влияние которых характеризуется определенным запаздыванием, называются лаговыми переменными.

Обычно динамические модели подразделяют на два класса.

1. Модели с лагами (модели с распределенными лагами) — это модели, содержащие в качестве лаговых переменных лишь независимые (объясняющие) переменные. Примером является модель

y_t = a + b₀·x_t-1 + b₁·x_t-2 + …+ b_k·x_t-k + e_k. (11.1)

2. Авторегрессионные модели — это модели, уравнения которых в качестве лаговых объясняющих переменных включают значения зависимых переменных. Примером является модель

y_t = a + b×x_t + g×y_t-1 + e_k. (11.2)

В эконометрическом анализе динамические модели используются достаточно широко. Это вполне естественно, так как во многих случаях воздействие одних экономических факторов на другие осуществляется не мгновенно, а с некоторым временным запаздыванием — лагом. Причин наличия лагов в экономике достаточно много, и среди них можно выделить следующие [3].

Психологические причины. Эти причины обычно выражаются через инерцию в поведении людей. Например, люди тратят свой доход постепенно, а не мгновенно. Привычка к определенному образу жизни приводит к тому, что люди приобретают те же блага в течение некоторого времени даже после падения реального дохода.

Технологические причины. Например, изобретение персональных компьютеров не привело к мгновенному вытеснению ими больших ЭВМ в силу необходимости замены соответствующего программного обеспечения, которое потребовало продолжительного времени.

Институциональные причины. Например, контракты между фирмами, трудовые договоры требуют определенного постоянства в течение времени контракта (договора).

Механизмы формирования экономических показателей. Например, инфляция во многом является инерционным процессом; денежный мультипликатор (создание денег в банковской системе) также проявляет себя на определенном временном интервале и т.д.

Оценка моделей с лагами в независимых переменных

Оценка модели с распределенными лагами во многом зависит от того, конечное

y_t = a + b₀×x_t +b₁×x_t-1 …+ b_k×x_t-k + e_t,

или бесконечное число лагов она содержит.

y_t = a + b₀·×x_t +b₁·×x_t-1 …+ b_k·×x_t-k +…+ e_t. (11.3)

Отметим, что в обеих этих моделях коэффициент b₀ называют краткосрочным мультипликатором, так как он характеризует изменение среднего значения Y под воздействием единичного изменения переменной X в тот же самый момент времени.

Сумму всех коэффициентов Sbj называют долгосрочным мультипликатором, так как она характеризует изменение Y под воздействием единичного изменения переменной X в каждом из рассматриваемых временных периодов.

Любую сумму коэффициентов (m < k) называют промежуточным мультипликатором.

Модель с конечным числом лагов (11.1) оценивается достаточно просто – сведением ее к уравнению множественной регрессии. В этом случае полагают Х₀= х_t, X_l = x_t-1, ..., X_k = x_t-k и получают уравнение

y_t = a + b₀×X₀ +b₁×X₁ …+ b_k×X_k + e_t, (11.4)

Для оценки моделей с бесконечным числом лагов разработано несколько методов.