Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных

При изучении этой темы следует усвоить определения частных производных и правила их вычисления, обратить внимание на схему нахождения частных производных высших порядков. При решении задач на экстремум нужно придерживаться последовательности действий по исследованию функции.

Вопросы для изучения и самопроверки

1. Определение функции двух и нескольких переменных. Область определения.

2. Частные производные функции двух переменных.

3. Полный дифференциал функции двух переменных.

4. Частные производные высших порядков.

5. Условия экстремума функции двух переменных.

6. Схема исследования функции двух переменных на экстремум.

Задачи 121 –140.Найти частные производные 1–го порядка функции двух переменных.

121. а) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru ; б) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru .
122. а) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru ; б) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru .
123. а) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru ; б) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru .
124. а) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru ; б) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru .
125. а) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru ; б) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru .
126. а) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru ; б) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru .
127. а) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru ; б) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru .
128. а) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru ; б) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru .
129. а) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru ; б) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru .
130. а) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru ; б) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru .
131. а) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru ; б) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru .
  132. а) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru ;   б) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru .
133. а) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru ; б) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru .
134. а) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru ; б) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru .
135. а) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru ; б) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru . Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru
136. а) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru ; б) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru .
137. а) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru ;   б) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru .
138. а) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru ; б) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru .
139. а) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru ; б) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru .
140. а) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru ; б) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru .

Решение типовых примеров

П р и м е р ы. Найти частные производные 1-го порядка заданных функций..

1. Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru .

Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru .

Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru .

2. Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru .

Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru

Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru

Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru ;

Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru .

Задачи 141–160.Исследовать на экстремум заданные функции.

141. Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru .

142. Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru .

143. Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru .

144. Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru .

145. Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru .

146. Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru .

147. Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru .

148. Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru .

149. Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru .

150. Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru .

151. Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru .

152. Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru .

153. Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru .

154. Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru .

155. Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru .

156. Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru .

157. Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru .

158. Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru .

159. Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru .

160. Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru .

Решение типового примера

Найти экстремум функции Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru , если Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru .

Р е ш е н и е.

1. Областью определения функции являются все точки координатной плоскости Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru .

2. Находим частные производные первого порядка:

Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru ; Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru .

Приравняем частные производные к нулю, решив полученную систему, получим критическую точку

Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru

Точка Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru – стационарная, подозрительная на экстремум.

3. Находим частные производные второго порядка:

Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru ;

Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru ; Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru ; Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru .

Таким образом получаем

Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru ; Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru ; Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru .

Составим выражение Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru .

Так как Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru следовательно точка Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru не является точкой экстремума.

Тема 6. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Для решения задач по этой теме нужно обратить внимание на определения первообразной и неопределенного интеграла, свойства неопределенного интеграла, усвоить таблицу основных интегралов и основные методы интегрирования. Успех в решении задач достигается правильным выбором метода интегрирования и накопленным опытом вычисления интегралов. Особое внимание уделить методам подстановки и интегрирования по частям. При вычислении интегралов от рациональных дробей нужно усвоить методику разложения рациональных дробей на простейшие дроби и их интегрирование.

Вопросы для изучения и самопроверки

1. Понятие первообразной.

2. Неопределенный интеграл и его свойства.

3. Таблица интегралов.

4. Основные методы интегрирования.

5. Рациональные дроби, разложение на простейшие дроби.

6. Интегрирование простейших дробей.

7. Интегрирование рациональных дробей.

Задачи 161–180.Найти неопределенные интегралы и результаты проверить дифференцированием.

161. а) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru б) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru ;

в) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru .

162. а) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru ; б) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru ;

в) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru .

163. а) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru б) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru

в) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru

164.а) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru б) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru

в) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru

165. а) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru б) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru

в) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru

166. а) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru б) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru

в) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru

167. а) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru б) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru

в) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru

168. а) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru б) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru

в) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru

169. а) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru б) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru

в) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru

170. а) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru б) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru

в) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru

171. а) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru б) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru

в) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru

172. а) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru б) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru

в) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru

173. а) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru б) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru

в) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru

174. а) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru б) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru

в) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru

175. а) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru б) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru

в) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru

176. а) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru б) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru

в) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru .

177. а) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru б) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru

в) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru

178. а) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru б) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru

в) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru

179. а) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru б) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru

в) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru

180. а) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru б) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru

в) Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru

Решение типовых примеров

При решении примеров рекомендуется использовать свойства неопределенного интеграла, таблицу интегралов, применять методы замены переменной и интегрирования по частям в неопределенном интеграле.

Основная таблица интегралов

1. Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru 2. Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru

3. Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru 4. Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru

5. Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru 6. Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru

7. Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru 8. Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru

9. Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru 10. Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru

11. Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru

П р и м е р ы.Найти неопределенные интегралы и результаты проверить дифференцированием.

Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru

= Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru =

= Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru

Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru

При решении примера использовались свойства степени: Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru

2. Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru

= Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru

При решении примера применялся метод замены переменной.

Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru .

3. Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru

= Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru

При решении примера применялся метод интегрирования по частям.

Тема 5. ФункциИ двух независимых переменных - student2.ru

Наши рекомендации