Модели исследования операций

Как ни странно на первый взгляд, но в самых разных областях деятельности – организация производства и снабжения, эксплуатация транспорта, боевые действия и вооружение, расстановка кадров, бытовое обслуживание, здравоохранение, связь и др. – возникают задачи, сходные между собой по постановке, обладающие рядом общих признаков и решаемые сходными методами.

Типичная ситуация такова:

· организуется какое-то целенаправленное мероприятие (расширение производства, разработка нового продукта, борьба за рынки сбыта и т.д.);

· есть несколько вариантов организации этого мероприятия;

· каждый из них обладает какими-то преимуществами, какими-то недостатками;

· в силу сложности ситуации (не все характеристики определены, прогноз развития ситуации неоднозначен и др.) выбор варианта, который бы был предпочтительнее остальных, затруднен.

В такой ситуации желательно было бы иметь какой-то математический аппарат, который позволил бы прояснить ситуацию, помог бы в выборе предпочтительного варианта действий. Созданием и развитием такого математического аппарата и занимается научная дисциплина под общим названием «исследование операций».

*⁾ По определению Е.С.Вентцель [3] исследование операций – это применение математических, количественных методов для обоснования решений во всех областях целенаправленной человеческой деятельности. Несмотря на обилие и разнообразие решаемых задач, в них есть некоторые общие черты. В каждой задаче, исходя из условий, характеризующих определенную ситуацию, необходимо осуществить выбор наиболее предпочтительного варианта действий (операций,мероприятий) по достижению определенной цели.

Таким образом, под операцией понимают любое управляемое мероприятие (систему действий), объединенное единым замыслом и направленное на достижение цели [3, 4]. Такими мероприятиями могут быть, например,

· организация выборочного контроля (размер контрольной партии, объем выборки, правила отбраковки и т.д.) с целью обеспечения требуемого уровня качества выпускаемой продукции при минимальных расходах на контроль;

· организация производства продукции (план выпуска продукции, ее ассортимент), исходя из имеющихся ресурсов, спроса на продукцию, с целью извлечения максимальной прибыли от ее реализации;

· организация транспортных потоков грузовых (пассажирских) перевозок (выбор маршрутов, объемов перевозок) с целью удовлетворения спроса при минимальных затратах на перевозки;

· организация систем массового обслуживания (выбор числа обслуживающих каналов, уровня качества обслуживания) с целью минимизации суммарных затрат, связанных с предоставлением услуг, и потерь, обусловленных задержками в их предоставлении.

Цель исследования операций – предварительное количественное обоснование оптимальных (лучших) решений [3]. Оптимальными называются решения, которые по тем или иным соображениям предпочтительнее других [4]. Решение не может быть оптимальным вообще, во всех смыслах, а только в одном, единственном смысле, определяемом выбранным критерием, который называют целевой функцией (или функцией цели) [5].

Большой класс моделей исследования операций сводится к решению задач математического программирования. В общем случае задача математического программирования состоит в определении таких значений переменных , которые бы удовлетворяли всем условиям (ограничениям) задачи:

,

где - некоторые действительные числа, и при которых целевая функция

принимала бы наибольшее или наименьшее значения.

В качестве целевой функции при решении различных задач математического программирования в менеджменте чаще всего принимают максимум дохода или прибыли, либо минимум временных или финансовых затрат на производство, расходов на хранение, транспортирование. Ограничениями обычно бывают используемые ресурсы: человеческие, материальные, финансовые, технологические, информационные (спрос на продукцию, доля рынка, уровень квалификации и т.д.). Переменными в задаче являются: количество продукции определенного вида, количество специалистов определенного уровня квалификации, количество рейсов в определенный район, количество пассажиров, доставляемых по определенным маршрутам, и т.д.

Трудности, возникающие при решении задач математического программирования, зависят:

а) от вида (характера) функциональных зависимостей f и g_j;

б) от количества переменных ;

в) от количества ограничений.

В зависимости от вида (характера) целевой функции и системы ограничений различают и разные классы задач математического программирования, в которых используются различные методы решения. Прежде всего, различают задачи линейного и нелинейного программирования. Если все функции f и g_j линейные и не содержат в себе произведения искомых переменных, то такая задача является задачей линейного программирования. Если хотя бы одна из этих функций нелинейная или содержит произведения искомых переменных, то это задача нелинейного программирования.

Если, исходя из содержательного смысла задачи, ее решением должны быть только целые значения переменных , то это задача целочисленного программирования. Ну, например, число рабочих, распределяемых по рабочим местам, количество единиц оборудования, устанавливаемых на заданной площади и т.п.

Задача динамического программирования – задача, процесс нахождения решения которой состоит из множества этапов.

Вообще, разработкой методов разрешения жизненных ситуаций (решения задач исследования операций) занимаются умные и веселые люди. Послушайте, как они именуют типы таких задач:

§ «выбор жениха в задаче о разборчивой невесте» - это задача целочисленного программирования о выборе наилучшего варианта из нескольких имеющихся;

§ «задача о ранце (о рюкзаке)» - как в минимум объема втолкнуть максимум желаемого? – актуальнейшая задача для женской сумочки;

«Достаточно заглянуть в женскую сумочку, чтобы понять, что деньги – это еще не все». (Польская художница и литератор Янина Ипохорская, 1914 – 1981 г.г.)

§ «задача коммивояжера (торговца)» - как бы это так объехать всех клиентов, т.е. посетить все пункты назначения, вернуться назад, - и все это за кратчайший срок и/или за минимум денежных затрат;

«Мы стреляем в каждого третьего коммивояжера, и второй уже приходил». (Надпись на дверях американского дома)

§ «задача о диете» - актуальная задача современности: как наесться так, чтобы не располнеть; или как удовлетворить потребности в питательных веществах, оплачивая приобретения по минимуму стоимости?;

§ «задача о смесях» - как что-то с чем-то смешать, чтобы было хорошо (питательно, полезно, экономно)?

§ «транспортная задача» - как из многих пунктов отправления развезти однородный груз по пунктам назначения в соответствии с потребностями, исходя из возможностей, и при минимуме затрат?

§ «задача о назначениях» - как распределить заданное число работ среди исполнителей так, чтобы при известной стоимости каждой из работ каждый исполнитель выполнял одну работу, а суммарная стоимость выполнения всех работ была бы минимальной;

§ «задача о раскрое» - как произвести раскрой материала (заготовки) на части, обеспечивая минимум отходов.

Отдельные классы моделей исследования операций представляют:

· теория систем массового обслуживания (СМО);

· модели сетевого планирования и управления;

· модели управления запасами;

· теория игр и др.

Теория систем массового обслуживания (СМО) – область прикладной математики, занимающаяся изучением и анализом систем обслуживания с очередями заявок. Такими системами могут быть ремонтные мастерские, билетные кассы, магазины, автозаправочные станции и многое-многое другое. Основной задачей является построение математических моделей, связывающих заданные условия работы СМО (число каналов обслуживания, их производительность, правила работы, характер потока заявок) с интересующими нас характеристиками – показателями эффективности СМО. В качестве таких показателей могут быть, например, средняя длина очереди, среднее время пребывания в очереди, вероятность того, что число заявок в очереди превысит какое-то значение и т.д. Нет необходимости более говорить об актуальности этих задач, как в сфере предоставления услуг, так и в производственной сфере (организация поточного контроля продукции, ремонта и наладки оборудования и т.д.).

Модели сетевого планирования и управления рассматривают соотношения между сроками окончания крупного комплекса операций (работ) и моментами начала всех операций комплекса. Задача состоит в нахождении минимальных продолжительностей комплекса операций, оптимального соотношения величин стоимости и сроков выполнения комплекса работ.

Модели управления запасами предназначены для минимизации общих издержек, связанных с хранением запасов сырья, материалов, продукции. Особенность таких задач заключается в том, что с увеличением уровня запасов, с одной стороны, увеличиваются затраты на их хранение, а с другой стороны, уменьшаются потери вследствие возможного дефицита запасаемого продукта.

Теория игр представляет собой математическую теорию конфликтных ситуаций, возникающих в условиях неопределенности и риска. Ее цель – выработка рекомендаций по разумному поведению участников конфликта. Конфликтной ситуацией считается любая ситуация, в которой сталкиваются интересы двух (или более) сторон, преследующих разные (иногда противоположные) цели, причем выигрыш каждой стороны зависит от того, как себя поведут другие. Понятно, что выводы, которые может дать эта теория, полезны для фирмы при выборе стратегии поведения на рынке, во взаимоотношениях с поставщиками, с потребителями, с партнерами, с конкурентами.

В зависимости от рода информации, с которой оперируют при решении задач исследования операций, различают детерминированные, вероятностные модели и модели принятия решений в условиях неопределенности.

Детерминированные модели формулируются в условиях полной определенности о значениях используемых параметров, составе и виде влияющих ограничивающих условий. Такие модели имеют однозначность при математическом представлении и позволяют получить однозначное решение.

Вероятностные модели включают в свое описание параметры, задаваемые в виде случайных величин, для которых известны вероятности достижения возможных значений. Например, имеющееся наличие ресурсов зависит от своевременности их поставки, производительность оборудования – от его исправности и т.д. Вероятностные модели позволяют учесть риск наступления исходов или последствий для каждого решения.

Задачи в условиях неопределенности возникают в ситуациях, когда нет предварительной информации о вероятности наступления тех или иных событий или о значениях параметров их характеризующих. В подобных задачах используют несколько оценок предпочтения той или иной стратегии действий. Оценка максимин предполагает предпочтительность таких действий, когда достигается максимально полезный результат при наиболее неблагоприятном развитии событий (максимизация минимума доходов). Оценка минимакс ориентирует на выбор стратегии, у которой наименьшие потребные расходы при наиболее неблагоприятном развитии событий (минимизация максимума возможных потерь). Существуют и другие оценки [5, 6, 7].

Имитационные модели

Если экономический объект (процесс, явление) представить в виде системы, состоящей из упорядоченной совокупности элементов с идентифицированными взаимосвязями между собой, то поведение ее во внешнем окружении (внешняя среда, взаимодействие с другими системами) можно описать с помощью имитационной модели.

Функционирование сложных объектов во взаимосвязи с внешней средойскладывается из выполнения множества зависимых операций, направленных на поддержание работоспособного состояния системы в период ее эксплуатации.В связи со сложностью моделируемой системы может оказаться, что еще нет разработанной теории, объясняющей все аспекты ее функционирования.Поэтому одна часть процессов и взаимообусловленных связей между ними представляются известными математическими моделями, а другая часть – совокупностью эмпирических соотношений, известных фактов, условий, ограничений, позволяющих с достаточной для практики точностью ответить на поставленные вопросы о поведении системы. Такая комплексная модель, построенная в сугубо практических целях и программно реализованная на компьютере, получила название имитационной модели.

В соответствии с определением, данным в [8], имитационная модель – это алгоритм или программа, имитирующие функционирование системы. В отличие от математической модели имитационная модель является более общей и включает в себя не только математические модели отдельных процессов, но и всю имеющуюся в распоряжении исследователя информацию о системе.

Схема имитационной модели системы показана на рис.2.3.

Элементы называются входами системы (входными переменными); - выходами системы (выходными переменными); - параметры системы; характеризуют состояние системы. Входы и выходы осуществляют связь системы с внешней средой или с другими системами. Состояния фиксируют все изменения, происходящие в системе из-за прихода входных сигналов или по причине внутренних изменений, происходящих в системе.

Параметры системы могут характеризовать всевозможные правила и нормы, принятые для данного предприятия. Выходы системы отображают результаты ее функционирования и могут представлять собой, например, следующие величины: Y₁ - количество выпущенной продукции, Y₂ - себестоимость, Y₃ - производительность, Y₄ - прибыль и другие показатели деятельности.

В конкретных моделях систем, выходы и состояния связаны между собой функциональными или статистическими зависимостями. Задавая определенные значения входных сигналов, исходных параметров, зависимости между переменными, при помощи экономико-математических методов исследуют модель по интересующим показателям [9]. Имитационные модели должны составлять основу для разработки и создания систем поддержки принятия управленческих решений в организациях.

Имитационный подход к моделированию сулит огромные преимущества организациям, т.к. позволяет оперативно реагировать на ситуацию, осуществлять прогноз ее развития и помогает быть успешными в бизнесе.

Резюме

1. Модель – это условное (упрощенное) отображение действительности. Наблюдение и измерение являются основными способами построения моделей, а метод моделирования – одним из основных способов познания окружающего нас мира. Модель нужна для того, чтобы:

q понять, как устроен конкретный объект: какова его структура, основные свойства, законы развития и взаимодействия с окружающим миром;

q научиться управлять объектом (или процессом) и определить наилучшие способы управления при заданных целях и критериях;

q прогнозировать прямые и косвенные последствия реализации различных способов и форм воздействия на объект.

2. Основные свойства моделей:

q оригинал и модель не тождественны друг другу;

q для одного и того же объекта (оригинала) может быть предложено несколько различающихся между собой моделей;

q одной и той же модели может быть поставлено в соответствие несколько реальных объектов.

3. Процесс моделирования состоит из нескольких этапов:

1. Постановка задачи и определение конкретных свойств и отношений оригинала, подлежащих исследованию.

2. Констатация затруднительности или невозможности изучения необходимых свойств и установления нужных соотношений непосредственным исследованием оригинала.

3. Выбор модели, достаточно хорошо фиксирующей конкретные свойства и отношения оригинала и отвечающей поставленной задаче исследования.

4. Исследование модели в отношении свойств, закономерностей и параметров, аналогичных оригиналу.

5. Перенесение результатов исследования модели на оригинал.

6. Проверка истинности полученных путем моделирования результатов.

Этапы с 3-го по 6-й могут представлять собой итерационную процедуру поиска и построения наилучшей модели, наиболее полно отвечающей поставленной задаче исследования.

4. Существующее многообразие всевозможных моделей можно условно разделить на два класса: материальные (предметные) и идеальные (абстрактные) модели. Основными видами материальных моделей являются физические и аналоговые модели, а основными видами идеальных моделей – образные и знаковые. Математические модели принадлежат к разновидности знаковых моделей. Возможны и другие виды моделей (образно-знаковые, звуковые, лингвистические и др.). Отметим, что изучение материальных моделей носит экспериментальный характер, а изучение абстрактных моделей – теоретический.

5. Математическая модель – это система математических соотношений, приближенно описывающих изучаемый процесс или явление. Иногда из этого рода моделей выделяют класс экономико-математических моделей – моделей, предназначенных для изучения объектов (процессов или явлений) экономического содержания. К этому же классу экономико-математических моделей, эффективно применяемых на практике в менеджменте организаций при разработке и обосновании управленческих решений, относятся модели исследования операций и имитационные модели.

6. Исследование операций – это применение математических, количественных методов для обоснования решений во всех областях целенаправленной человеческой деятельности. Цель исследования операций – предварительное количественное обоснование оптимальных (лучших) решений. Оптимальными называются решения, которые по тем или иным соображениям предпочтительнее других. Решение не может быть оптимальным вообще, во всех смыслах, а только в одном, единственном смысле, определяемом выбранным критерием, который называют целевой функцией (или функцией цели). Отдельные подклассы моделей исследования операций представляют:

q математическое программирование;

q теория систем массового обслуживания (СМО);

q модели сетевого планирования и управления;

q модели управления запасами;

q теория игр и др.

7. В зависимости от рода информации, с которой оперируют при решении задач исследования операций, различают детерминированные, вероятностные модели и модели принятия решений в условиях неопределенности. Детерминированные модели формулируются в условиях полной определенности о значениях используемых параметров, составе и виде влияющих ограничивающих условий и позволяют получить однозначное решение. Вероятностные модели включают в свое описание параметры, задаваемые в виде случайных величин, для которых известны вероятности достижения возможных значений. Вероятностные модели позволяют учесть риск наступления исходов или последствий для каждого решения. Задачи в условиях неопределенности возникают в ситуациях, когда нет предварительной информации о вероятности наступления тех или иных событий или о значениях параметров их характеризующих.

8. Комплексная модель, построенная в сугубо практических целях, программно реализованная на компьютере и, которая имитирует функционирование (деятельность, поведение, состояние) системы во взаимодействии ее с внешней средой получила название имитационной модели. В отличие от математической модели имитационная модель является более общей и включает в себя не только математические модели отдельных процессов, но и всю имеющуюся в распоряжении исследователя информацию о системе. Имитационные модели составляют основу для разработки и создания систем поддержки принятия управленческих решений в организациях.

Задание для самостоятельной работы

Объясните следующие ключевые понятия:

Модель Метод моделирования Идентификация модели Экономико-математическая модель Исследование операций Оптимальное решение

Целевая функция Линейное программирование Детерминированная модель Вероятностная модель Условия неопределенности Имитационная модель

Дайте ответы на следующие вопросы.

1. Может ли быть, что для одного и того же объекта предлагается несколько моделей? Если да, то приведите примеры.

2. Может ли быть, что одной модели соответствуют сразу несколько объектов? Если да, то приведите примеры.

3. Для чего нужны модели?

4. Из каких этапов состоит процесс моделирования?

5. Приведите примеры основных классов и видов моделей.

6. Какие модели исследования операций вам известны?

7. Приведите схему имитационной модели и поясните ее.

Список литературы

[1]. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления.-М.: Мир, 1975.- 684 с.

[2]. Лебедев А.Н. Основы теории моделирования.-Пенза: Пензенский политехнический институт, 1977.- 81 с.

[3]. Вентцель Е. С. Исследование операций. Задачи, принципы, методология.-М.: Высшая школа, 2001. - 208 с.

[4]. Исследование операций в экономике: Учебное пособие для вузов/ Под ред. проф. Н. Ш. Кремера.-М.: ЮНИТИ, 2000.- 407 с.

[5]. Глухов В. В., Медников М. Д., Коробко С. Б. Математические методы и модели для менеджмента.-СПб.: Издательство «Лань», 2000. - 480 с.

[6]. Анфилатов В.С. и др. Системный анализ в управлении: Учеб. пособие /В.С. Анфилатов, А.А. Емельянов, А.А. Кукушкин; Под ред. А.А. Емельянова.-М.: Финансы и статистика, 2003.- 368 с.

[7]. Таха Хэмди А. Введение в исследование операций,6-е издание.- М.: Издательский дом «Вильямс», 2001.- 912 с.

[8]. Першиков В. И., Савинков В. М. Толковый словарь по информатике.- М.: Финансы и статистика, 1991.- 543 с.

[9]. Кобелев Н.Б. Основы имитационного моделирования сложных экономических систем: Учеб. пособие.-М.: Дело, 2003.- 336 с.

[10]. Мадера А.Г. Моделирование и принятие решений в менеджменте: Руководство для будущих топ-менеджеров. – М.: Издательство ЛКИ, 2010. – 688 с.