Свойства скалярного произведения.

1). Коммутативность: Свойства скалярного произведения. - student2.ru , следует из определения.

2). Свойства скалярного произведения. - student2.ru .

Доказательство. Свойства скалярного произведения. - student2.ru .

3). Свойства скалярного произведения. - student2.ru

Доказательство. Свойства скалярного произведения. - student2.ru Свойства скалярного произведения. - student2.ru .

4). Свойства скалярного произведения. - student2.ru

Доказательство. Свойства скалярного произведения. - student2.ru .

Из этого свойства следует, что Свойства скалярного произведения. - student2.ru , Свойства скалярного произведения. - student2.ru .

Свойства скалярного произведения. - student2.ru

5). Для того, чтобы векторы были перпендикулярны Свойства скалярного произведения. - student2.ru , необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение было равно нулю Свойства скалярного произведения. - student2.ru .

Доказательство.

а) Пусть векторы перпендикулярны и Свойства скалярного произведения. - student2.ru , тогда Свойства скалярного произведения. - student2.ru ,следовательно, Свойства скалярного произведения. - student2.ru и Свойства скалярного произведения. - student2.ru .

б) Пусть Свойства скалярного произведения. - student2.ru , тогда Свойства скалярного произведения. - student2.ru , следовательно, Свойства скалярного произведения. - student2.ru .

6). Свойства скалярного произведения. - student2.ru - острый ;

Свойства скалярного произведения. - student2.ru - тупой.

7.Для базисных ортов имеют место следующие соотношение

Свойства скалярного произведения. - student2.ru

Скалярное произведение векторов в декартовой системе координат

Пусть даны два вектора Свойства скалярного произведения. - student2.ru , найдем их скалярное произведение

Свойства скалярного произведения. - student2.ru

Свойства скалярного произведения. - student2.ru

воспользуемся свойством 7, получим формулу

Свойства скалярного произведения. - student2.ru (2)

Приложения скалярного произведения

1.Вычисление проекции

Свойства скалярного произведения. - student2.ru (3)

2.Вычисление косинуса угла между векторами

Свойства скалярного произведения. - student2.ru (4)

3.Условие перпендикулярности векторов

Свойства скалярного произведения. - student2.ru

Пример.Даны векторы Свойства скалярного произведения. - student2.ru и Свойства скалярного произведения. - student2.ru . Найти косинус угла между векторами.

Решение. Воспользуемся формулой (2.19) : вычисляем

Свойства скалярного произведения. - student2.ru

Свойства скалярного произведения. - student2.ru , Свойства скалярного произведения. - student2.ru ,

Получаем Свойства скалярного произведения. - student2.ru .

Лекция 5

7. Векторное произведение векторов: определение, свойства, вычисление.

Даны три вектора Свойства скалярного произведения. - student2.ru с общим началом и не лежащие в одной плоскости.

Определение 1.Тройка векторов Свойства скалярного произведения. - student2.ru называется правой (левой), если кратчайший поворот от Свойства скалярного произведения. - student2.ru к Свойства скалярного произведения. - student2.ru виден из конца вектора Свойства скалярного произведения. - student2.ru происходящим против (по) часовой стрелки.

Свойства скалярного произведения. - student2.ru

Свойства скалярного произведения. - student2.ru

Если в тройке поменять местами какие-то два вектора, а третий оставить на своем месте, то тройка изменит свою “ориентацию”. Например, если Свойства скалярного произведения. - student2.ru - правая тройка, то Свойства скалярного произведения. - student2.ru - левая тройка. При циклической перестановке векторов в тройке “ориентация” тройки не меняется. Например, если Свойства скалярного произведения. - student2.ru - правая тройка, то Свойства скалярного произведения. - student2.ru - тоже правая тройка.

Смысл декартовой тройки Свойства скалярного произведения. - student2.ru должен соответствовать выбранному правилу.

Свойства скалярного произведения. - student2.ru

Определение 2.Векторным произведением двух векторов Свойства скалярного произведения. - student2.ru и Свойства скалярного произведения. - student2.ru называется вектор Свойства скалярного произведения. - student2.ru , удовлетворяющий следующим свойствам:

1. он перпендикулярен векторам Свойства скалярного произведения. - student2.ru и Свойства скалярного произведения. - student2.ru , то есть перпендикулярен плоскости векторов Свойства скалярного произведения. - student2.ru и Свойства скалярного произведения. - student2.ru ;

2. длина этого вектора равна площади параллелограмма, построенного на векторах Свойства скалярного произведения. - student2.ru и Свойства скалярного произведения. - student2.ru , то есть Свойства скалярного произведения. - student2.ru ;

3. тройка Свойства скалярного произведения. - student2.ru - правая.

Обозначения Свойства скалярного произведения. - student2.ru или Свойства скалярного произведения. - student2.ru .

Свойства векторного произведения

1) Антикоммутативность: Свойства скалярного произведения. - student2.ru

Доказательство.Пусть Свойства скалярного произведения. - student2.ru , построим вектор Свойства скалярного произведения. - student2.ru . Свойства скалярного произведения. - student2.ru , то есть

Свойства скалярного произведения. - student2.ru

длины векторов Свойства скалярного произведения. - student2.ru и Свойства скалярного произведения. - student2.ru равны , но чтобы тройка векторов Свойства скалярного произведения. - student2.ru была правой, вектор Свойства скалярного произведения. - student2.ru должен быть противоположен вектору Свойства скалярного произведения. - student2.ru , следовательно, Свойства скалярного произведения. - student2.ru .

2). Если в векторном произведении изменить знак одного из множителей, то произведение тоже изменит знак: Свойства скалярного произведения. - student2.ru .

Доказательство.

Свойства скалярного произведения. - student2.ru

3). Свойства скалярного произведения. - student2.ru

Доказательство.а) Для Свойства скалярного произведения. - student2.ru очевидно;

б) для Свойства скалярного произведения. - student2.ru : если длина одной из сторон параллелограмма изменяется в Свойства скалярного произведения. - student2.ru раз, то площадь параллелограмма тоже изменится в Свойства скалярного произведения. - student2.ru раз;

в) для Свойства скалярного произведения. - student2.ru : Свойства скалярного произведения. - student2.ru .

4). Свойства скалярного произведения. - student2.ru .

Свойства скалярного произведения. - student2.ru

Доказательство. Возьмем единичный вектор Свойства скалярного произведения. - student2.ru , перпендикулярный плоскости Свойства скалярного произведения. - student2.ru , Свойства скалярного произведения. - student2.ru . Спроектируем вектор Свойства скалярного произведения. - student2.ru на плоскость Свойства скалярного произведения. - student2.ru , получим вектор Свойства скалярного произведения. - student2.ru , повернем его в плоскости Свойства скалярного произведения. - student2.ru вокруг точки Свойства скалярного произведения. - student2.ru по часовой стрелке на Свойства скалярного произведения. - student2.ru : а) Свойства скалярного произведения. - student2.ru ;

б) Свойства скалярного произведения. - student2.ru ( так как Свойства скалярного произведения. - student2.ru , Свойства скалярного произведения. - student2.ru ( так как Свойства скалярного произведения. - student2.ru , а Свойства скалярного произведения. - student2.ru - проекция Свойства скалярного произведения. - student2.ru тогда по теореме о трех перпендикулярах выполняется этот факт);

в) Свойства скалярного произведения. - student2.ru - правая тройка, следовательно, Свойства скалярного произведения. - student2.ru .

Свойства скалярного произведения. - student2.ru

Вектор Свойства скалярного произведения. - student2.ru . В Свойства скалярного произведения. - student2.ru Свойства скалярного произведения. - student2.ru . Спроектируем данный треугольник на плоскость Свойства скалярного произведения. - student2.ru , получим Свойства скалярного произведения. - student2.ru , повернем его в плоскости Свойства скалярного произведения. - student2.ru по часовой стрелке на Свойства скалярного произведения. - student2.ru ,

получим Свойства скалярного произведения. - student2.ru . Свойства скалярного произведения. - student2.ru .

Так как Свойства скалярного произведения. - student2.ru , то Свойства скалярного произведения. - student2.ru .

Свойства скалярного произведения. - student2.ru , тогда Свойства скалярного произведения. - student2.ru , следовательно,

Свойства скалярного произведения. - student2.ru .

5). Свойства скалярного произведения. - student2.ru .

6). Для того, чтобы два ненулевых вектора были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение было равно нулю.

Доказательство.

а) Пусть векторы Свойства скалярного произведения. - student2.ru и Свойства скалярного произведения. - student2.ru коллинеарны, следовательно, Свойства скалярного произведения. - student2.ru или

Свойства скалярного произведения. - student2.ru , тогда Свойства скалярного произведения. - student2.ru и Свойства скалярного произведения. - student2.ru , нулевую длину имеет только нулевой вектор, то есть Свойства скалярного произведения. - student2.ru ;

б) Пусть Свойства скалярного произведения. - student2.ru , тогда Свойства скалярного произведения. - student2.ru , но Свойства скалярного произведения. - student2.ru , следовательно,

Свойства скалярного произведения. - student2.ru , а это значит, что Свойства скалярного произведения. - student2.ru и Свойства скалярного произведения. - student2.ru коллинеарны.

7). Свойства скалярного произведения. - student2.ru .

8). Векторные произведения базисных ортов можно представить в виде таблицы:

  Свойства скалярного произведения. - student2.ru Свойства скалярного произведения. - student2.ru Свойства скалярного произведения. - student2.ru
Свойства скалярного произведения. - student2.ru Свойства скалярного произведения. - student2.ru Свойства скалярного произведения. - student2.ru - Свойства скалярного произведения. - student2.ru
Свойства скалярного произведения. - student2.ru Свойства скалярного произведения. - student2.ru Свойства скалярного произведения. - student2.ru Свойства скалярного произведения. - student2.ru
Свойства скалярного произведения. - student2.ru Свойства скалярного произведения. - student2.ru Свойства скалярного произведения. - student2.ru Свойства скалярного произведения. - student2.ru

Пояснение: векторное произведение Свойства скалярного произведения. - student2.ru - это вектор, перпендикулярный векторам Свойства скалярного произведения. - student2.ru и Свойства скалярного произведения. - student2.ru , длина которого равна площади квадрата, построенного на векторах Свойства скалярного произведения. - student2.ru и Свойства скалярного произведения. - student2.ru , то есть равна 1 , а тройка векторов Свойства скалярного произведения. - student2.ru - правая тройка, отсюда следует, что Свойства скалярного произведения. - student2.ru . Остальные произведения можно получить, используя свойства векторного произведения.

Свойства скалярного произведения. - student2.ru

Наши рекомендации