Основные показатели вариации

Информация о средних уровнях исследуемых показателей обычно бывает недоста­точно» для полного анализа изучаемого процесса или явления. Иногда совершенно непо­хожие по своему внутреннему строению совокупности могут иметь равные средние вели­чины. Поэтому для более детального изучения того или иного явления необходимо учи­тывать разброс или вариацию значений отдельных единиц совокупности. Измерение ва­риации признаков имеет как теоретическое, так и практическое значение.

Так, например, для выявления наиболее стабильно работающего коллектива или предприятия наравне с другими показателями рассчитывают и основные показатели ва­риации. Эти показатели дают возможность количественно определить размеры устойчи­вости производительности труда, уровня квалификации, цен на основные виды выпускае­мой продукции и т.п. Измерение размеров вариации такого показателя, как «выполнение работ в срок» имеет важное значение для принятия решений заказчиками и инвесторами. т.к. ситуация, в которой присутствует изменчивость признака, часто содержит риск. Осо­бое значение показатели вариации приобретают в анализе рынка ценных бумаг, где мера колеблемости отождествляется с мерой рискованности вложения денежных средств.

Основными показателями, характеризующими вариацию, являются:

- размах,

- дисперсия,

- среднее квадратическое отклонение,

- коэффициент вариации.

Для иллюстрации расчетов этих показателей воспользуемся следующими данными:

Имеются данные о продаже основных марок холодильников:

Таблица.6.1.

Простейшим показателем, уже использованным выше при группировке данных, является размах вариации.Он представляет собой разность максимального и минималь­ного значений признака:

R = X max – X min

R= 1200-460 = 740$

Этот показатель служит незаменимой мерой разброса экстремальных значений признака. Кроме характеристики границ разброса признака, размах вариации может быть использован для выявления ошибок. При наличии очень больших (или очень малых) оши­бочно записанных значений признака размах вариации сразу резко возрастает, что требует проверки и корректировки исходных данных.

Недостатком данного показателя является то, что он оценивает только границы варьирующего признака и не отражает его колеблемость внутри этих границ. Вследствие этого размах вариации может неправильно характеризовать общую колеблемость признака.

Этого недостатка лишен другой показатель — дисперсия, рассчитываемый как средний квадрат отклонений значений признака от их средней величины. Между индиви­дуальными отклонениями от средней и колеблемостью признака существует прямая зави­симость: чем сильнее колеблемость признака, тем больше отклонения его значений от средней величины и менее устойчив изучаемый показатель.

Как и средняя величина этот показатель может быть рассчитан в двух формах: взвешенной и невзвешенной:

невзвешенная форма

(6.1.)

взвешенная форма

где:

х_i - отдельные значения признака

х¯- общая средняя

f_i - вес варианта признака в общей совокупности.

По приведенным выше данным определим средневзвешенную цену холодильника и рас­считаем дисперсию:

Дисперсию в отдельных случаях удобнее рассчитывать по другой формуле:

, т.е. дисперсия равна разности средней из квадратов индивидуальных значений признака и квадратом средней величины.

Эту формулу можно представить иначе:

невзвешенная форма

(6.2.)

- взвешенная форма

Следует отметить, что дисперсия еще не дает представления об однородности со­вокупности, и этому показателю трудно дать экономическую интерпретацию, т.к. он рас­считан в квадратных единицах. Поэтому следующим шагом в исследовании однородности совокупности является расчет среднего квадратического отклонения, показывающего, на­сколько в среднем отклоняются конкретные варианты признака от его среднего значения. Оно определяется как квадратный корень из дисперсии и имеет ту же размерность что и изучаемый признак:

- невзвешенная форма

(6.3.)

- взвешенная форма

В нашем примере среднее квадратическое отклонение равно:

Таким образом, цена каждой марки холодильника отклоняется от средней цены в среднем на 271,1$

Рассмотренные показатели позволяют получить абсолютное значение вариации признака. Однако для сравнения разных совокупностей с точки зрения устойчивости ка­кого-либо одного признака или для определения однородности совокупности рассчиты­вают относительные показатели.

Эти показатели вычисляются как отношение размаха вариации, среднего линейно­го отклонения или среднего квадратического отклонения к средней арифметической или медиане. Чаще всего эти показатели выражаются в процентах.

Коэффициент осцилляции (V_r):

(6.4.)

Линейный коэффициент вариации (Vd¯):

(6.5.)

Наиболее распространенным показателем является коэффициент вариации:

(6.6.)

Определим значение этого показателя по данным таблицы 1:

Рассчитанная величина свидетельствует о неоднородности цен на холодильники, т.к. однородной совокупность считается, если коэффициент вариации меньше 33% (для распределений близких к нормальному).

Следует отметить, что коэффициент вариации может быть более 100%, что, в част­ности, может быть при наличии значений сильно отличающихся от средней величины. Такой результат означает, что в исследуемой совокупности сильна вариация признаков по отношению к средней величине.

Если исследуется вариация альтернативных признаков, т.е. признаков, которыми одни единицы совокупности обладают, а другие - нет, то дисперсия альтернативного при­знака определяется по формуле:

(6.7.)

где:

р - доля единиц, обладающих данным признаком,

q - доля единиц не обладающих данным признаком.

Максимальное значение дисперсии доли равно 0,25 (когда p=q=0.5).

Информативность показателей вариации повышается, если они рассчитываются для целей сравнительного анализа. При этом показатели рассчитанные по одной совокуп­ности сопоставляются с показателями, рассчитанными по другой аналогичной совокупно­сти или по той же самой, но относящейся к другому периоду времени. Например, иссле­дуется динамика вариации на товары длительного пользования по месячным или ежегод­ным данным в одном и том же торговом предприятии или за один и тот же период време­ни, но по разным регионам.