Перечислим основные показатели вариации и приведем
Формулы для их вычисления.
Для характеристики размера вариации в статистике при-
меняют абсолютные показатели вариации: размах вариации,
Среднее линейное отклонение, средне квадратическое отклоне-
Ние, дисперсию.
Размах вариации — разность между максимальными и
Минимальными значениями признака в изучаемой совокупнос-
Ти, т. е.
R = Xmax − Xmin. (6.25)
Размах вариации легко находится по рангам ранжирован-
Ного ряда распределения.
Более точно характеризует вариацию среднее линейное
Отклонение, которое находится как среднее арифметическое
Отклонений индивидуальных значений от средней без учета
Знака этих отклонений, т. е.
. (6.26)
Если исходные данные сгруппированы, то мы можем на-
Ходить взвешенное среднее линейное отклонение, причем в ка-
честве веса можно применять и частоту (μ), и относительную
частоту (f).
; (6.27)
. (6.28)
Более объективно на практике меру вариации отражает
Дисперсия (средний квадрат отклонений). О ней говорилось в
Главе 2. В данном случае речь идет об оценки дисперсии, так
Как значения вероятностей не известны.
Если мы имеем несгруппированный ряд распределения, то
Дисперсия определяется формулой
. (6.29)
Заметим, что оценка дисперсии, получаемая по формуле
(6.28) является смещенной. Пользуясь ей, мы будем совершать
Некоторую систематическую ошибку в меньшую сторону. Не-
Смещенная оценка для дисперсии находится по формуле
. (6.30)
Как правило, формула (6.30) применяется в тех случаях,
Когда изучаемая совокупность невелика, не более 40 единиц.
В тех случаях, когда n > 40, используют формулу (6.29).
Когда исходные данные сгруппированы, вычисляют взве-
Шенные оценки дисперсии
; (6.31)
. (6.32)
Извлекая из дисперсии арифметический квадратный ко-
Рень, получаем еще одну характеристику (о ней тоже говори-
Лось в главе 2) — среднее квадратичное отклонение, или стан-
Дарт (точнее его оценку).
. (6.33)
Если изучаемая совокупность достаточно велика, то ее, как
Правило, разбивают на группы по какому-либо признаку. Поэто-
Му наряду с изучением вариации признака по всей совокупнос-
Ти в целом можно изучать вариации для каждой составляющей
Ее группы, а также между самими группами. Если совокупность
Расчленяется по какому-то одному фактору, то изучение вари-
Ации достигается путем нахождения и анализа трех видов дис-
персий: общей, межгрупповой, внутригрупповой.
Общая дисперсия ( ) определяет вариацию по всей со-
Вокупности под влиянием всех факторов, которые обусловили
Эту вариацию. Она равна среднему квадрату отклонений отде-
льных значений признака х от общей средней арифметической
( ) и вычисляется по формулам (6.29), (6.31), (6.32).
Межгрупповая дисперсия ( ) характеризует система-
Тическую вариацию результативного порядка, который обус-
Ловлен влиянием признака, положенного в основу группировки.
Она равна среднему квадрату отклонений групповых средних
От общей средней арифметической , т. е.
; (6.34)
, (6.35)
где, k — количество групп;
μi — частота (количество единиц) в группе i;
fi — относительная частота группы i.
Внутригрупповая дисперсия отражает случайную
Вариацию (часть вариации), обусловленную влиянием неуч-
Тенных факторов и не зависимую от признака, положенного
В основание группировки. Она равна среднему квадрату от-
клонений отдельных значений признака внутри группы хj от
Средней арифметической этой группы и находится по
формулам:
, (6.36)
Если группа содержит не более 40 наблюдений;
, (6.37)
если группа содержит более 40 наблюдений (m — количество
Единиц в конкретной группе).
Применяются и формулы для взвешенной дисперсии:
; (6.38)
. (6.39)
Найдя внутригрупповые дисперсии по каждой группе
Можно вычислить среднюю из внутригрупповых дисперсий по
формулам:
; (6.40)
(6.41)
Или используя соотношение (6.13).
По правилу сложения дисперсий общая дисперсия должна
Быть равна сумме межгрупповой и средней из внутригруппо-
Вых дисперсий, т. е.
. (6.42)
Вариация качественного (альтернативного) признака (при-