Ряды динамики и ряды распределения

9. 1. Ряды динамики

Важной задачей статистики является изучение анализируемых показателей во времени.

Ряд динамики (временной динамический ряд) – это последовательность упорядоченных во времени статистических показателей, характеризующих уровень развития изучаемого явления.

Каждый ряд динамики состоит из двух элементов:

1. Время (момент или период).

2. Статистические показатели, которые характеризуют изучаемый объект.

Статистические показатели, характеризующие изучаемый объект, называют уровнями ряда.

а) Виды рядов динамики

Ряды динамики различаются по следующим признакам:

I По времени:

1. Моментные – уровень ряда показывает фактическое наличие изучаемого явления на конкретный момент времени.

Например: последовательность показателей численности населения на начало года, величины запаса какого-либо материала на начало периода и т. д.

2. Интервальные – это последовательности, в которых уровень явления относиться к результату, накопленному или вновь произведенному за определенный интервал времени.

Например, объем продукции, выпущенной по месяцам года.

Важное аналитическое отличиемоментных рядов от интервальных состоит в том, что сумма уровней интервального ряда дает вполне реальный показатель – общий выпуск продукции за год, общие затраты рабочего времени т. д.

Т. е. уровни интервального ряда можно суммировать, подводить общие итоги.

А сумма уровней моментного ряда не имеет никакого реального содержания и «накопленные частоты» для этих рядов не рассчитываются.

II По форме представления уровней:

1. Ряды абсолютных (таблица 1)

2. Ряды относительных (таблица 2)

3. Ряды средних величин (таблица 3)

III По расстоянию между датами или интервалами времени:

1. Полные– когда даты регистрации или окончания периодов следуют друг за другом с равными интервалами. Это равноотстоящие ряды динамики (таблица 1,2).

2. Неполные–когда принцип равных интервалов не соблюдается (таблица 3).

IIV По числу показателей:

1. Изолированные ряды- ведется анализ во времени одного показателя (таблица 1)

2. Комплексные ряды, когда анализ ведется по нескольким показателям, связанным между собой (таблица 5).

Таблица 5

Объем продаж долларов США на ММВБ, млн. долл.

Дата	10.01.12	11.01.12	12.01.12	13.01.12
Объем продаж	126,750	124,300	148,800	141,800

Таблица 6

Индекс инфляции в 2006 г.

(на конец периода, в % к декабрю 2005 года)

Период	Январь	Февраль	Март	Апрель	Май	Июнь
Индекс инфляции

Таблица 7

Потребление основных продуктов питания

на одного члена семьи, кг /год

№ п/п	Продукты
	Мясопродукты	80,0	78,4	74,1	68,3	58,7	63,2
	Молочные продукты	411,2	389,6	378,9	345,4	280,4	285,6
	Хлебные продукты	101,2	91,6	85,7	91,8	98,0	105,8

б) правила построения рядов динамики.

При составлении ряда динамики должны выполняться следующие требования:

1. Периодизация развития– т.е. расчленение его во времени на однородные этапы.

2. Статистические данные должны быть сопоставимы:

– по территории – данные по странам и регионам, границы которых изменились, должны быть пересчитаны в старых пределах;

– по кругу охватываемых объектов – означает сравнение совокупностей с равным числом элементов;

– по единицам измерения;

– по времени регистрации – регистрацию сезонных процессов лучше проводить в «нейтральные» даты (например, регистрацию скота лучше проводить в середине зимы, когда забой прекращается, и в середине лета, когда процесс появления приплода стабилизируется и заканчивается);

– по ценам;

– по методике расчета.

3. Величины временных интервалов должны соответствовать интенсивности изучаемых процессов. Чем больше вариация уровней во времени, тем чаще следует делать замеры. Соответственно, для стабильных процессов интервалы можно увеличить.

Так переписи населения достаточно проводить раз в десять лет; учет национального дохода, урожая ведется раз в год; ежедневно регистрируются курсы покупки и продажи валют; ежечасно – температура воздуха и т. п.

4. Числовые уровни рядов динамики должны быть упорядоченными во времени. Не допускается анализ рядов с пропусками уровней, если же такие пропуски неизбежны, то их восполняют условными расчетными значениями.

в) Показатели рядов динамики.

Основными аналитическими характеристиками рядов динамики являются:

1. Абсолютный прирост.

2. Темп роста.

3. Темп прироста.

4. Абсолютное значение одного процента прироста.

При этом показатели могут быть:

· базисными – когда каждый уровень динамического ряда сравнивается с одним и тем же, принятым за базу;

· цепными–когда каждый уровень ряда сравнивается с предыдущим уровнем.

А теперь рассмотрим, как рассчитываются показатели рядов динамики.

Абсолютный прирост показывает, на сколько данный уровень выше или ниже базисного или предыдущего. Определяется как разность между двумя уровнями.

(А_прир) ∆У_i = Y_i–Y₀(Y_i-1)

∆У_i – абсолютный прирост;

Y_i – уровень сравниваемого периода;

Y₀ – уровень базисного периода;

Y_i-1 – уровень предшествующего периода.

Разберем определение показателей динамического ряда на конкретном примере.

Объем выпуска на предприятии составил:

Объем выпуска продукции (т. руб.)
	Y0	Y1	Y2	Y3

А_прир. _баз.1 = 230 -200 = +30 т. руб. ( ∆_1б )

А_прир. _баз.2 = 245 – 200 = +45 т. руб. ( ∆_2б )

А_прир. _баз.3 = 260 – 200 = +60 т. руб. ( ∆_3б )

А_прир. _цеп.1= 230 – 200 = +30 т. руб. ( ∆_1ц )

А_{прир. цеп.2}= 245 – 230 = +15 т. руб. ( ∆_2ц )

А_прир. _цеп.3 = 260 – 245 = +15 т. руб. ( ∆_3ц )

Абсолютный прирост может иметь положительный и отрицательный знак, соответственно показывая возрастание или снижение по сравнению со сравниваемым уровнем.

Между базисными и абсолютными приростами имеется связь:сумма цепных абсолютных приростов ∑∆y_ц равна базисному абсолютному приросту последнего периода ряда динамики: ∆y_nн:

∆y_бn = ∑∆y_ц

А _{прир.б.з}. = 30+15+15=60 т. р.

Темп ростапоказывает во сколько раз сравниваемый уровень ниже или выше базисного или предыдущего. Определяется, как отношение двух уровней ряда и может выражаться в виде коэффициента или в процентах.

Т_р= %

Тр_б= ;

Тр_ц= .

Определим темп роста:

Т_рб1= ; Т_рц1= ;

Т_рб2= ; Т_рц2= ;

Т_рб3= ;Т_рц3= .

Если темп роста больше единицы или 100%, то это показывает на увеличение изучаемого уровня по сравнению с базовым или предыдущим. Темп роста равный единице или 100% означает, что уровень изучаемого периода относительно сравниваемого не изменился. Темп роста меньше единицы или 100% показывает на уменьшение уровня изучаемого периода по сравнению с базисным. Темп роста всегда имеет положительный знак.

Между базисными и цепными темпами роста имеется взаимосвязь: произведение последовательных цепных темпов роста равно базисному темпу роста последнего периода, а частное от деления базисного темпа роста на предыдущий, равно соответствующему цепному темпу роста (темпы роста берутся в виде коэффициентов).

; .

Темп приростапоказывает, на сколько процентов уровень данного периода больше (или меньше) базисного уровня (или предыдущего).

Этот показатель может быть определен двояко:

Как отношение абсолютного прироста к уровню, принятому за базу сравнения

используя взаимосвязь между темпами роста и прироста, как разность между темпом роста и 100%.

Т_пр = Т_р – 100%

Определим темп прироста:

или

или

Абсолютное значение одного процента прироста к темпу прироста.Этот показатель рассчитывается как отношение абсолютного прироста к темпу прироста в процентах за тот же период времени.

может быть базисным и цепным.

;

;

;

9.2. Приемы обработки и анализа рядов динамики

При анализе рядов динамики иногда возникает необходимостьсмыкания рядов, т.е. объединения двух и более рядов, характеризующих изменение явления, в один ряд. Смыкание необходимо в случаях, когда уровни ряда несопоставимы в связи с территориальными или ведомственными, организационными изменениями, изменениями методологии исчисления и т.п. Существует несколько способов приведения рядов динамики к сопоставимому виду. Например, имеются данные, характеризующие общий объем продукции промышленности в одном из регионов (в фактически действовавших ценах), млн. руб.:

Годы   Уровни продукции промышленности
В старых границах региона   В новых границах региона	20,1     -	20,7     -	21,0     -	21,2     23,8	-     24,6	-     25,5	-     27,2

Для приведения ряда динамики к сопоставимому виду для 2009 года определим коэффициент соотношения уровней двух рядов:

Умножаяна этот коэффициент уровни первого ряда, получаем их сопоставимость с уровнями второго ряда, млн. руб.:

2006 г. – ;

2007 г. – ;

2008 г. –

Получен сопоставимый ряд динамики общего объема продукции промышленности (в фактически действовавших ценах, в структуре и методологии соответствующих лет) в одном из регионов (в новых границах, млн. руб.):

Годы 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012

22,5 23,2 23,5 23,8 24,6 25,5 27,2

Другой способ смыкания рядов динамики заключается в том, что уровни года, в котором произошли изменения (в нашем примере уровни 2009 года), как до изменений, так и после изменений (для нашего примера в старых и новых границах, т.е. 21,2 и 23,8) принимают за 100%, а остальные – пересчитываются в процентах по отношению к этим уровням соответственно (в нашем примере до изменений – по отношению к 21,2, а после изменений – по отношению к 23,8). В результате получается сомкнутый ряд.

Применив этот способ для нашего примера, получим следующий ряд динамики, характеризующий общий объем продукции региона:

Годы
Общий объем продукции в новых границах региона, (% к 2009 г.)	94,8	97,6	99,1	100,0	103,4	107,2	114,3

Выявление основной тенденции ряда динамики. Важной задачей статистики при анализе рядов динамики является определение основной тенденции развития.

При изучении в рядах динамики основной тенденции развития явления применяются различные методы и приемы. Одним из приемов выявления основной тенденции является метод укрупненных интервалов. Этот способ основан на укрупнении периодов времени, к которым относятся уровни ряда. Например, ряд ежесуточного выпуска продукции заменяется рядом месячного выпуска продукции и т.д.

Другой прием – метод скользящей средней. Суть метода состоит в замене абсолютных данных средними арифметическими за определенные периоды. Расчет средних ведется способом скольжения, т.е. постепенным исключением из принятого периода скольжения первого уровня и включением следующего.

Например, имеются следующие данные, характеризующие динамику производства валового выпуска продукции предприятия по месяцам (графы 1 и 2 таблицы):

Месяц	Валовой выпуск продукции, млн. руб.	Скользящая сумма трех членов	Скользящая средняя из трех членов
Январь Февраль Март Апрель Май Июнь Июль Август Сентябрь Октябрь Ноябрь Декабрь	63 93 102	– -	– -

Требуется произвести сглаживание ряда, применяя трехмесячную скользящую среднюю.

Решение:

Чтобы рассчитать первую скользящую среднюю, находим сумму продукции за январь, февраль, март (графа 3) и делим ее на 3:

Найденную среднюю относим к февралю(т.е. к среднему из трех суммируемых месяцев – графа 4). Для отыскания второй скользящей средней находим сумму продукции за февраль, март, апрель и делим на 3:

.

Найденную среднюю относим к марту и т.д.

Результаты подсчета скользящих сумм и средних из них показаны в графах 3 и 4 таблицы.

9.3. Выявление сезонных колебаний

При анализе рядов динамики важное значение имеет выявление сезонных колебаний. Этим колебаниям свойственны более или менее устойчивые изменения уровней ряда по внутригодовым периодам: месяцам, кварталам. Для выявления сезонных колебаний обычно анализируются месячные и квартальные уровни ряда динамики за год или несколько лет. При изучении сезонных колебаний используются специальные показатели – индексы сезонности ( ). Способы определения сезонных индексов различны; они зависят от характера основной сезонности ряда динамики.

Для ряда внутригодовой динамики, в которой основная тенденция роста незначительна (или она не наблюдается совсем), изучение сезонности основано на методе постоянной средней: являющейся средней из всех рассматриваемых уровней. Самый простой способ заключается в следующем: для каждого года рассчитывается средний уровень, а затем с ним сопоставляется (в процентах) уровень каждого месяца. Это процентное отношение называется индексом сезонности:

.

Например, численность рабочих фирмы по месяцам представлена в таблице:

Таблица 8

Численность рабочих фирмы по месяцам

Месяцы	Численность рабочих, чел.
Январь Февраль Март Апрель Май Июнь Июль Август Сентябрь Октябрь Ноябрь Декабрь
Итого

человек.

Индекс сезонности составляет для января ;

для февраля и т. д.

На практике для выявления закономерности колебаний пользуются помесячными данными за ряд лет, т.е.

, где

- средняя для каждого месяца за 3 года;

- общий средний месячный уровень за 3 года.

Например, рассчитаем индексы сезонности для числа расторгнутых браков населением города по месяцам за 2003 – 2005 гг., исходя из данных представленных ниже:

Месяцы	Число расторгнутых браков	Индекс сезонности
			в среднем за 3 года
Январь Февраль Март Апрель Май Июнь Июль Август Сентябрь Октябрь Ноябрь Декабрь				165,7 147,0 150,7 136,0 136,0 125,7 126,0 120,7 118,0 128,0 131,7 139,3	122,4 108,6 111,3 100,4 100,4 92,8 93,1 89,1 87,2 94,5 97,3 102,9
Средний уровень ряда ( )	138,7	135,6	131,8	135,4	100,0

январь ;

февраль ;

декабрь .

Определим осредненные значения уровней ряда для каждого месяца годового цикла (графа 5 таблицы):

январь ;

февраль и т.д.

Далее по исчисленным месячным средним уровням определяем общий средний уровень ( ):

,

где n – число месяцев.

Значение общего среднего уровня можно вычислить также и по итоговым данным за отдельные годы:

, где

m – число лет;

- сумма среднегодовых уровней ряда динамики.

И, наконец, определим по месяцам года индексы сезонности:

январь ;

февраль и т.д.

Совокупность исчисленных для каждого месяца годового цикла индексов сезонности характеризует сезонную волну развития числа расторгнутых браков в городе во внутригодовой динамике.

Контрольные вопросы к теме:

1. Что такое ряд динамики. Из каких элементов состоит ряд динамики.

2. Расскажите о классификации рядов динамики.

3. Перечислите правила построения рядов динамики.

4. Какие характеристики являются основными аналитическими характеристиками рядов динамики.

5. Чем цепные показатели отличаются от базисных.

6. Расскажите об «абсолютном приросте» ряда динамики.

7. Расскажите о «темпе роста» ряда динамики.

8. Расскажите о «темпе прироста» ряда динамики.

9. Расскажите об «абсолютном значении одного процента прироста» ряда динамики.

10. В чем заключаются основные приемы обработки и анализа рядов динамики.

11. Объясните суть метода выявления сезонных колебаний.

10.СРЕДНИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ РЯДОВ ДИНАМИКИ

Для обобщающей характеристики динамики исследуемого явления за ряд периодов определяют следующие средние показатели динамики:

1. Средний уровень ряда.

2. средний абсолютный прирост.

3. средний темп роста.

4. средний темп прироста.

1. Средний уровень ряда

Метод расчета среднегодового уровня ряда динамики зависит от вида этого ряда.

а) Для интервального ряда динамики абсолютных показателей средний уровень за период определяется по формуле простой средней арифметической.

где n-число уровней ряда.

В примере темы 9:

т. к. ряд интервальный

б) Для моментального динамического ряда средний уровень определяется двумя способами, в зависимости от величины интервала между датами.

– Когда промежутки между датами одинаковы, то расчет ведется по формуле средней хронологической (полные ряды):

Например, определить размер среднего запаса материалов на складе, если остатки текущего хранения составили: 1.01.–120 т. руб.; 1. 02.– 140 т. руб.;1. 03.–130 т. руб.; 1. 04.–160 т. руб.

тыс. руб.

–Когда промежутки между датами неравные (неполные ряды) вычисляется средняя арифметическая взвешенная; в качестве весов принимается продолжительность промежутков времени между моментами.

Например: Определить средний размер вкладов, если: на 1. 01. он составил 400 тыс. руб.; на 1. 03.–300 тыс. руб.; на 1. 07.–440 тыс. руб.; на 1. 08.–460тыс. руб.

2. Средний абсолютный прирост представляет собой обобщенную характеристику индивидуальных абсолютных приростов. Определяется как средняя арифметическая из цепных абсолютных приростов.

,

где ∑∆У_цi – сумма цепных абсолютных приростов; n – число абсолютных приростов.

А так как сумма абсолютных приростов цепных равна абсолютному приросту базисному последнего периода, то формула среднего абсолютного прироста имеет вид:

где m– число периодов.

Убедимся на примере из темы 9:

3. Средний темп ростаопределяется по следующей формуле:

, где

Τ_рц – цепные темпы роста, представленные в виде коэффициента;

n– число цепных темпов роста, а т. к., исходя из взаимосвязи цепных и базисных темпов роста, мы знаем, что произведение последовательных цепных темпов роста равно базисному темпу роста последнего периода, то формула среднего прироста примет вид:

, где m–число периодов.

Разберем на примере из темы 9:

4. Средний темп приростаопределяется по единственной методике на основе взаимосвязи между темпами роста и прироста.

или

В примере из темы 9:

Если при расчете среднего темпа роста важно обеспечить не только конечный уровень, но и суммарное значение исследуемого показателя за анализируемый период, то

- средняя параболическая

-средний параболический коэффициент.

Контрольные вопросы к теме:

1. Как вычисляется средний уровень для интервального и моментного рядя динамики.

2. Что такое средний абсолютный прирост и как его вычислить.

3. Расскажите способы вычисления среднего темпа роста.

4. Расскажите способы вычисления среднего темпа прироста.

11.ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ

11.1. Абсолютные показатели вариации

Различие индивидуальных значений признака внутри изучаемой совокупности в статистике называется вариацией признака.

Она возникает в результате того, что индивидуальные значения складываются под влиянием разнообразных факторов.

Колеблемость отдельных значений характеризуют показатели вариации.

Показатели вариации могут быть:

1. абсолютными:

а ) размах;

б) среднее линейное отклонение;

в) средний квадрат отклонений или дисперсия;

г) среднее квадратическое отклонение.

2. относительными:

а) коэффициент осцилляции;

б) относительное линейное отклонение;

в) коэффициент вариации.

Абсолютные показатели вариации:

Наиболее простой показатель – размах вариации (R), определяемый как разность между наибольшим(X_max)и наименьшим (X_min)значениями вариантов:

R = X_max − X_min

Задача 1

Известны данные по региону А об объеме товарооборота предприятий (данные условные).

Рассмотрим колеблемость показателей товарооборота в среднем на одно предприятие для уяснения расчетов показателей вариации.

Группы предприятий по объему товарооборота, млн. руб.	Число предприятий	Расчетные показатели
90–100
100–110
110–120
120 –130
ИТОГО

Средний объем товарооборота на одно предприятие равен:

млн руб.

Показатель размаха вариации составил: R = 130 – 90 = 40 млн.руб.

Этот показатель улавливает только крайние отклонения и не отражает отклонения всех вариант в ряду. Однако безусловным достоинством этого показателя является простота вычисления.

Чтобы дать обобщающую характеристику распределения отклонений, исчисляют среднее линейное отклонение ( ), которое учитывает различиевсех единиц изучаемой совокупности. Оно определяется как среднее арифметическое из отклонений индивидуальных значений от средней, без учета знака этих отклонений.

, или

В нашем примере:

млн руб.

На практике меру вариации более объективно отражает показатель дисперсии (δ²) – средний квадрат отклонений, определяемый, как средняя из отклонений, возведенных в квадрат :

Корень квадратный из дисперсии δ² среднего квадрата отклонений представляет собой среднее квадратическое отклонение:

млн. руб.

Среднее квадратическое отклонение является мерилом надежности средней. Чем меньше среднее квадратическое отклонение, тем лучше средняя отражает собой всю представляемую совокупность.

Различают: − дисперсия признака по всей изучаемой совокупности;

− межгрупповая дисперсия – это мера колеблемости частных средних по группами вокруг общей средней;

− внутригрупповая дисперсия – это вариация, обусловленная влиянием прочих факторов.

Общая дисперсия измеряет вариацию признака во всей совокупности под влиянием всех факторов, обусловливающих эту вариацию:

_.

Межгрупповая дисперсия характеризует систематическую вариацию, т.е. различия в величине изучаемого признака, возникающие под влиянием признака-фактора, положенного в основание группировки. Она рассчитывается по формуле:

, где

x_i и n_i - соответственно средние и численности по отдельным группам.

Внутригрупповая дисперсия отражает случайную вариацию, т.е. часть вариации, происходящую под влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировки. Она исчисляется следующим образом:

Средняя из внутригрупповых дисперсий

.

Дисперсия обладает рядом свойств, которые позволяют упростить расчеты:

1. Общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгрупповой дисперсии.

– Если из всех значений вариант отнять какое-то постоянное число А, то средний квадрат отклонений от этого не изменится.

– Если все значения вариант разделить на какое-то постоянное число А, то средний квадрат отклонений уменьшится от этого в А раз, а среднее квадратическое отклонение в А раз:

Дисперсия равна разности средней из квадратов значений признака и квадрата средней арифметической (способ моментов).

или

В примере:

Размах вариации, среднее линейное и среднее квадратическое отклонение являются величинами именованными и имеют те же единицы измерения, что и индивидуальные значения признака.

11.2. Относительные показатели вариации

Эти показатели исчисляются как отношение абсолютных показателей вариации к средней арифметической, умножая на 100%.

1. Коэффициент осцилляции:

2. Относительное линейное отклонение:

3. Коэффициент вариации:

Исходя из того, что среднеквадратическое отклонение дает обобщающую характеристику колеблемости всех вариантов совокупности, коэффициент вариации является наиболее распространенным показателем, используемым для оценки типичности средних величин. При этом, если коэффициент больше 40%, то это говорит о большой колеблемости признака.

В нашем примере V=7,6%, следовательно, совокупность считается однородной.

Задача 2.

Определить групповые дисперсии, среднюю из групповых дисперсий, межгрупповую дисперсию, общую дисперсию по следующим данным:

1–я бригада	2–я бригада
№ п/п	Изготовлено деталей за час, шт. хi			№ п/п	Изготовлено деталей за час, шт. хi
1. 2. 3. 4. 5. 6.		-2 –1				-3 -2 -1

Решение:

Для расчета групповых дисперсий вычислим средние по каждой группе:

Промежуточные расчеты дисперсий по группам представлены в таблице. Подставив полученные значения в формулу, получим:

Средняя из групповых дисперсий

Затем рассчитаем межгрупповую дисперсию. Для этого предварительно определим общую среднюю как среднюю взвешенную из групповых средних:

Теперь определим межгрупповую дисперсию:

Таким образом, общая дисперсия по правилу сложения дисперсий

Проверим полученный результат, вычислив общую дисперсию обычным способом:

Задача 3.

Имеются следующие данные по трем группам рабочих с разным стажем работы:

Стаж работы, лет	Число рабочих, ni	Средняя заработная плата руб.	Среднее квадратическое отклонение заработной платы руб.
До 3 3 –10 Более 10

Рассчитать: среднюю заработную плату для всей рабочих; общую дисперсию и среднее квадратическое отклонение заработной платы.

Решение:

1. Общая средняя

2. Общая дисперсия находится по правилу сложения дисперсий

Найдем среднюю из групповых дисперсий

=

Найдем межгрупповую дисперсию:

=

Тогда общая дисперсия заработной платы

=25880 + 6100 = 31980

Контрольные вопросы к теме:

1. Расскажите о классификации показателей вариации.

2. Перечислите абсолютные показатели вариации.

3. Какие виды дисперсии вы знаете. Дайте характеристику каждому виду.

4. Перечислите основные свойства дисперсий, их взаимосвязь.

5. Перечислите относительные показатели дисперсии. Как проверить однородность выборки.

12.ИНДЕКСЫ

12.1. Понятие об индексах

Наряду со средними величинами наиболее распространёнными статистическими показателями являются индексы.

Индекс - это относительный показатель динамики общественных явлений, который характеризует изменение объёма или уровня явлений в отчётном периоде по сравнению с базисным.

Например, изменение объёма выпуска, цен, стоимости, себестоимости. Индексы играют большую роль при анализе различных социально - экономических яв­лений.

По степени охвата элементов совокупности различают индивидуальные и общие индексы.

Индивидуальный индекс характеризует изменение объёма или уровня относительно одного предмета.

Общий индекс характеризует изменение относительно нескольких предметов, характеризует изменение разнородной продукции или различных предметов и явлений.

Введём некоторые условные обозначения:

i - индивидуальный индекс;

I - общий индекс;

р - цена единицы продукции;

q - объём выпуска продукции.

индивидуальный индекс цен,

где цена единицы продукции соответственно в отчетном и базисном периоде.

- индивидуальный индекс физического объёма, где

- объём выпуска в отчётном периоде;

- объём выпуска в базисном периоде.

Если объём выпуска в натуральном выражении умножить на цену единицы продукции данного вида, то получим стоимость: qp - стоимость.

- индивидуальный индекс стоимости, где

- стоимость продукции в текущем периоде;

- стоимость продукции в базисном периоде.

Если статистическая совокупность неоднородна, т.е. включает различные единицы, определяют общий индекс, который охватывает все эти единицы.

Пусть статистическая совокупность включает единицы а, б и в.

Индекс pq равен:

общий индекс стоимости

12. 2. Агрегатные индексы физического объёма, цен и себестоимости

На изменение стоимости оказывает влияние, как изменение цен, так и изменение объёма выпуска продукции.

Чтобы определить влияние только объёма продукциина изменение стоимости, строят агрегатный индекс физического объёма.

Для этого изменяют объём продукции базисный на отчётный, а цена за единицу продукции не изменяется, а фиксируется на уровне базисного периода и поэтому не влияет на индекс.

- агрегатный (общий) индекс физического объёма (индекс количественного показателя), где

объём - индексируемая величина;

цена - вес индекса, соизмеритель.

Чтобы определить влияние только изменения цен, строят агрегатный индекс цен: в нём изменяется цена, а объём фиксируется на уровне текущего периода, т.е. не влияет на индекс.

- агрегатный (общий) индекс цен (индекс качественного показателя), где

цена – индексируемая величина;

объём - вес индекса, соизмеритель.

Между агрегатными индексами существует взаимосвязь - индекс стоимости равен произведению индекса физического объёма на индекс цен

Наличие этой взаимосвязи позволяет проследить и проанализировать связь между экономическими явлениями.

Формулы агрегатных индексов позволяют разложить общий абсолютный прирост стоимости по факторам, т.е.:

где pq - абсолютный прирост стоимости продукции (общий);

абсолютный прирост стоимости продукции, обусловленный изменением физического объёма продукции;

pq ( р) - абсолютный прирост стоимости продукции, обусловленный изменением уровня цен на продукцию.

Каждая из названных величин абсолютного прироста рассчитывается как разность числителя и знаменателя соответствующего агрегатного индекса:

Например: определить общие индекс (I p_q) и агрегатные (I _q и I _р)

Вид продукции	Цена изделия (тыс.руб).	Выпуск продукции (шт).
1кв.р0	2кв. р1	lкв. q0	2кв. q1
А В		19,5

1. Определим общий индекс стоимости:

Таким образом стоимость продукции уменьшилась на 1,39%, а экономический эффект составил 48,5 тыс.руб.

2. Определим общий индекс цены:

Таким образом, общий индекс цены возрос на 0,04%, а абсолютный прирост стоимости, вызванный увеличением цен равен 1,5 тыс. руб.

3. Определим общий индекс физического объёма:

Таким образом, на 1,43% стоимость снизилась из-за уменьшения выпуска

продукции, что в абсолютном выражении равно 50 тыс. руб.

Индивидуальный индекс себестоимости

- характеризует изменение себестоимости отдельных видов продукции.

Сводный индекс себестоимости рассчитывается для определения себестоимости нескольких видов продукции, выпускаемых предприятием.

При этом себестоимость взвешивается по объему производства отдельных видов продукции текущего периода.

- показывает сумму экономии предприятия от снижения себестоимости.

Сводный индекс физического объема, взвешенный по себестоимости

Сводный индекс затрат на производство

=

12.3. Средние арифметические и средние гармонические индексы

На практике очень часто не известны абсолютные значения индексируемых величин, а имеются данные об их относительном изменении. В таких случаях вместо агрегатных индексов вычисляются средние из индивидуальных индексов, которые в свою очередь делятся на:

- средние арифметические

- средние гармонические

Применение той или иной формулы индекса зависит от имеющейся в нашем распоряжении информации

- средний арифметический индекс физического объема;

рассмотрим вывод:

т.к.

- средний гармонический индекс физического объёма;

- средний арифметический индекс цены;

- средний гармонический индекс цены.

(Для индексов цены вывод аналогичен).

Задача 1.

Имеются следующие данные о выпуске продукции мебельной фабрики:

Наименование изделий	Изменение выпуска в мае по сравнению с апрелем, %	Товарооборот продукции в апреле, млн. руб.
Столы Диваны Стулья	+12 +10 +15

Определить увеличение выпуска всей продукции в мае по сравнению с апрелем (в %), т.е. рассчитать общий индекс физического объема.

Решение.

Общий индекс физического объема может быть рассчитан как средний арифметический:

или 111,9%

Задача 2.

По данным таблицы получите сводную оценку изменения цен.

Реализация овощной продукции

Товар	Реализация в текущем периоде, руб.	Изменение цен в текущем периоде по сравнению с базисным, %	Расчетные графы
Морковь Свекла Лук		+4,0 +2,3 – 0,8	1,040 1,023 0,992
Итого		х	х

Решение.

Вычислим средний гармонический индекс цен:

или 101,6%.

Таким образом, цены по данной товарной группе в текущем периоде по сравнению с базисным периодом, в среднем выросли на 1,6%.

12.4. Базисныеи цепные индексы, их взаимосвязь

Так как индексы являются относительной величиной динамики, то они также могут быть базисными и цепными:

– базисные индексы получают сопоставлением с уровнем периода, принятого за базу сравнения, т.е. база сравнения, остаётся постоянной;

– цепные индексы получают сопоставлением текущих уровней с предшествующим, т.е. база сравнения непрерывно меняется.

Для индивидуальных индексов цен, физического объёма и стоимости продукции справедливо следующее правило:

1. Последовательное произведение цепных индексов даёт базисный индекс последнего периода:

или

2. Отношение базисного индекса отчётного периода к базисному индексу предшествующего периода даёт цепной индекс отчётного периода

или

Задача 3.

Имеются следующие данные об изменении численности рабочих на заводе, в % к предыдущему году:

+5	+4	+7	+5	+6

Определить на сколько процентов увеличилось число рабочих на заводе за 5 лет, т.е. в 2011 году по сравнению с 2006 годом.

Решение.

Зная, что базисный индекс можно получить путем перемножения цепных индексов, находим:

(или 130%), т.е. за 5 лет число рабочих на заводе возросло на 30%.

12.5. Индексы средних величин

1. Индекс переменного состава - - отношение 2-х средних величин – учитывает одновременно и структурные изменения в составе совокупности и изменение уровня качественного признака у отдельных объектов. Если индексируемую величину обозначить через х, а веса через f , то в общем виде индекс переменного состава можно записать в виде:

2. Индекс постоянного состава вычисляется по типу индекса цены. Если при расчете средних величин за два периода зафиксировать веса одного и того же периода, то при сравнении таких средних величин индекс постоянного (или фиксированного) состава:

3. Индексрассчитанных по типу - индекс структурных изменений (сдвигов).

- показывает, во сколько раз изменился общий средний уровень за счёт изменения удельного веса каждого объекта в общем объёме признака. При сравнении средних показателей принимают неизменными значения х, тогда на динамику изменения средних будет оказывать влияние только изменение весов.

Взаимосвязь: или

Контрольные вопросы к теме:

1. Расскажите, что такое индекс, перечислите индивидуальные индексы.

2. Назовите формулы общих индексов цены, физического объема и стоимости. Поясните взаимосвязь индексов.